2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：2.2.2-2.2.4 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程 .docx
2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课后篇巩固探究A组1.曲线x=5cos,y=3sin(为参数)的左焦点的坐标是()A.(-4,0)B.(0,-4)C.(-2,0)D.(0,2)解析:由x=5cos,y=3sin(为参数),得x225+y29=1,故左焦点的坐标为(-4,0).答案:A2.圆锥曲线x=4cos,y=3tan(为参数)的焦点坐标是()A.(-5,0)B.(5,0)C.(5,0)D.(0,5)解析:由x=4cos,y=3tan(为参数),得x216-y29=1,故它的焦点坐标为(5,0).答案:C3.过点M(2,1)作曲线C:x=4cos,y=4sin(为参数)的弦,使点M为弦的中点,则此弦所在直线方程为()A.y-1=-12(x-2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=-12(x-1)D.y-2=-2(x-1)解析:把曲线C的参数方程化为普通方程为x2+y2=16,表示圆心在原点,半径为4的圆,过点M的弦与线段OM垂直,又kOM=12,弦所在直线的斜率为-2,直线方程为y-1=-2(x-2).答案:B4.已知P(x,y)是曲线x=2+cos,y=sin(为参数)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()A.36B.6C.26D.25解析:由参数方程可知,(x-2)2+y2=1,圆心O(2,0),另一定点M(5,-4),|OM|=(5-2)2+(-4-0)2=5.(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.答案:A5.导学号73144031对任意实数,直线y=x+b与椭圆x=2cos,y=4sin(为参数,且02)恒有公共点,则b的取值范围是.解析:将(2cos ,4sin )代入y=x+b得4sin =2cos +b.恒有公共点,以上方程有解.令f()=4sin -2cos =25sin(-).-25f()25.-25b25.答案:-25,256.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数).(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为4,2,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解(1)把极坐标系下的点P4,2化为直角坐标,得P(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(3cos ,sin ),从而点Q到直线l的距离d=|3cos-sin+4|2=2cos+6+42=2cos+6+22.由此得,当cos+6=-1时,d取得最小值,且最小值为2.7.求椭圆x29+y24=1的参数方程.(1)设x=3cos ,为参数;(2)设y=2t,t为参数.解(1)把x=3cos 代入椭圆方程,得9cos29+y24=1,所以y2=4(1-cos2)=4sin2,即y=2sin .由的任意性,可取y=2sin .故x29+y24=1的参数方程为x=3cos,y=2sin(为参数).(2)把y=2t代入椭圆方程,得x29+4t24=1.即x2=9(1-t2),x=31-t2.故参数方程为x=31-t2,y=2t(t为参数)或x=-31-t2,y=2t(t为参数).8.已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点,(1)求2x+y的取值范围;(2)若x+y+a0恒成立,求实数a的取值范围.解(1)设圆的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数),则2x+y=2cos +sin +1=5sin(+)+1,故-5+12x+y5+1.(2)x+y+a=cos +sin +1+a0.a-(cos +sin )-1=-2sin+4-1,a2-1.9.导学号73144032已知点A,B是椭圆x29+y24=1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.解椭圆的参数方程为x=3cos,y=2sin(为参数).设点P的坐标为(3cos ,2sin ),其中0<2,SOAPB=SAPB+SAOB,其中SAOB为定值,只需SAPB最大即可.又AB为定长,故只需点P到AB的距离最大即可.AB的方程为2x+3y-6=0,点P到AB的距离为d=|6cos+6sin-6|13=6132sin+4-1.当=4时,d取最大值,从而SOAPB取最大值,这时点P的坐标为322,2.B组1.若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆x=a+rcos,y=b+rsin(为参数)的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为直线y=ax+b经过第二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以圆心(a,b)在第三象限.答案:A2.已知椭圆x=acos,y=bsin(为参数),若0,2),则椭圆上的点(-a,0)对应的=()A.B.2C.2D.32解析:由-a=acos,0=bsin,得cos=-1,sin=0,所以=.答案:A3.如图,若以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.解析:由三角函数定义知yx=tan (x0),y=xtan ,由x2+y2-x=0,得x2+x2tan2-x=0,x=11+tan2=cos2,则y=xtan =cos2tan =sin cos ,又=2时,x=0,y=0也适合题意,故参数方程为x=cos2,y=sincos(为参数).答案:x=cos2,y=sincos(为参数)4.若点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则x+y的最大值为,最小值为.解析:点P在椭圆x2+y24=1上,可以设点P的坐标为(cos ,2sin ),即x=cos ,y=2sin ,x+y=cos +2sin =5sin(+),其中tan =12.sin (+)-1,1,x+y的最大值为5,最小值为-5.答案:5-55.导学号73144033已知曲线C的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.解析:曲线C的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),其普通方程为x2+y2=2.又点(1,1)在曲线C上,切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为cos +sin =2,即sin+4=2.答案:sin+4=26.设方程x=t+2cos,y=2t+tan,(1)当t=1时,为参数,此时方程表示什么曲线?(2)当=4时,t为参数,此时方程表示什么曲线?解(1)当t=1时,为参数,原方程化为x=1+2cos,y=2+tan,消去参数,得x-122-(y-2)2=1,即(x-1)24-(y-2)2=1,这是一个焦点在x轴的双曲线.(2)当=4时,t为参数,原方程化为x=22+t,y=1+2t,消去参数t,得y=2x+1-42,这是一条直线.7.已知直线l:x-y+9=0和椭圆C:x=23cos,y=3sin(为参数).(1)求椭圆C的左右焦点F1,F2的坐标;(2)求以F1,F2为焦点,且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程.解(1)由椭圆的参数方程消去参数,得椭圆的标准方程为x212+y23=1,得a2=12,b2=3,c2=a2-b2=9,则c=3.故F1(-3,0),F2(3,0).(2)2a=|MF1|+|MF2|,只需在直线l:x-y+9=0上找到点M,使得|MF1|+|MF2|最小即可.点F1(-3,0)关于直线l的对称点是F1(-9,6),点M为F2F1与直线l的交点,则|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=|F1F2|=(-9-3)2+(6-0)2=65,a=35.又c=3,b2=a2-c2=36,所求椭圆的方程为x245+y236=1.8.导学号73144034已知曲线C的方程为x=12(et+e-t)cos,y=12(et-e-t)sin,当t是非零常数,为参数时,C是什么曲线?当为不等于k2(kZ)的常数,t为参数时,C是什么曲线?两曲线有何共同特征?分析研究曲线的参数方程首先要明确哪个量是参变量.解当为参数时,将原参数方程记为,将参数方程化为2xet+e-t=cos,2yet-e-t=sin,平方相加消去,得x2et+e-t22+y2et-e-t22=1.(et+e-t)2>(et-e-t)2>0,方程表示的曲线为椭圆.当t为参数时,将方程化为2xcos=et+e-t,2ysin=et-e-t.平方相减,消去t,得x2cos2-y2sin2=1.方程表示的曲线为双曲线,即C为双曲线.在方程中et+e-t22-et-e-t22=1,c=1,椭圆的焦点为(-1,0),(1,0).在方程中cos2+sin2=1,c=1,双曲线的焦点也为(-1,0),(1,0).因此椭圆和双曲线有共同的焦点.
