2019-2020学年数学人教A版4-4检测：2.3 直线的参数方程 .docx
三直线的参数方程课后篇巩固探究A组1.已知以t为参数的直线方程为x=-1+t2,y=2+32t,点M0(-1,2)与M(x,y)分别是曲线上的定点和动点,则t的几何意义是()A.t=M0Ma(a=(1,0)B.t=MM0a(a=(1,0)C.|t|=|M0M|D.|t|=22解析由于所给参数方程表示直线参数方程的标准形式,所以t的几何意义是|t|=|M0M|.答案C2.直线x=-2+5t,y=1-2t(t为参数)与坐标轴的交点坐标是()A.0,25,12,0B.0,15,12,0C.(0,-4),(8,0)D.0,59,(8,0)解析令x=0得t=25,于是y=15,即直线与y轴的交点坐标为0,15;令y=0得t=12,于是x=12,即直线与x轴的交点坐标为12,0.答案B3.若直线的参数方程为x=x0+12t,y=y0-32t(t为参数),则该直线的倾斜角为()A.60B.120C.300D.150解析y-y0=-3(x-x0),斜率k=-3,倾斜角为120.答案B4.过点(1,1),倾斜角为135的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为()A.225B.425C.22D.325解析直线的参数方程为x=1-22t,y=1+22t(t为参数),将其代入圆的方程得t2+2=4,解得t1=-2,t2=2.所以所求弦长为|t1-t2|=|-2-2|=22.答案C5.导学号73574050若x=x0-3,y=y0+4(为参数)与x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数)表示同一条直线,则与t的关系是()A.=5tB.=-5tC.t=5D.t=-5解析由x=x0-3,x=x0+tcos,得-3=tcos .由y=y0+4,y=y0+tsin,得4=tsin ,消去的三角函数,得252=t2,得t=5,借助于直线的斜率,可排除t=-5,所以t=5.答案C6.直线x=3+at,y=-1+4t(t为参数)过定点.解析由x=3+at,y=-1+4t,得-(y+1)a+(4x-12)=0,该式对于任意的a都成立,则x=3,y=-1,即直线过定点(3,-1).答案(3,-1)7.直线l:x=-1+3t,y=1+t(t为参数)上的点P(-4,1-3)到l与x轴的交点Q的距离是.解析在直线l:x=-1+3t,y=1+t中令y=0,得t=-1.故l与x轴的交点为Q(-1-3,0).所以|PQ|=(-1-3+4)2+(3-1)2=4(3-1)2=23-2.答案23-28.若直线x=1-2t,y=2+3t(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=.解析由已知可得直线x=1-2t,y=2+3t的斜率为-32,因此直线4x+ky=1的斜率等于23,于是k=-6.答案-69.设直线的参数方程为x=5+3t,y=10-4t(t为参数).(1)求直线的普通方程;(2)化参数方程为标准形式.解(1)由y=10-4t,得t=10-y4,将其代入x=5+3t,得x=5+310-y4.化简得普通方程为4x+3y-50=0.(2)把方程变形为x=5+3t=5-35(-5t),y=10+45(-5t).令t=-5t,则参数方程的标准形式为x=5-35t,y=10+45t(t为参数).10.导学号73574051已知直线l经过点P(-1,2),且方向向量为n=(-1,3),圆的方程为=2cos+3.(1)求直线l的参数方程;(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|PN|的值.解(1)n=(-1,3),直线l的倾斜角为23.直线l的参数方程为x=-1+tcos 23,y=2+tsin 23(t为参数),即x=-1-12t,y=2+32t(t为参数).(2)=212cos-32sin=cos -3sin ,2=cos -3sin .x2+y2-x+3y=0.将直线的参数方程代入得t2+(3+23)t+6+23=0.|t1t2|=6+23,即|PM|PN|=6+23.11.导学号73574052求经过点(1,1),倾斜角为120的直线截椭圆x24+y2=1所得的弦长.解由直线经过点(1,1),倾斜角为120,可得直线的参数方程为x=1-12t,y=1+32t(t为参数),将其代入椭圆的方程,得1-12t24+1+32t2=1,整理,得13t2+4(43-1)t+4=0.设方程的两实根分别为t1,t2,则t1+t2=4(1-43)13,t1t2=413.|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=42132(1-43)2-4213=413(1-43)2-13=4134(9-23)=89-2313.所以直线被椭圆所截得的弦长为89-2313.B组1.直线x=2-t,y=-3+t(t为参数)上与点A(2,-3)的距离等于1的点的坐标是()A.(1,-2)或(3,-4)B.(2-2,-3+2)或(2+2,-3-2)C.2-22,-3+22或2+22,-3-22D.(0,-1)或(4,-5)解析根据题意可设直线上任意一点的坐标为P(2-t,-3+t),则|PA|=2t2=1,解得t=22.当t=22时,点P的坐标为2-22,-3+22;当t=-22时,点P的坐标为2+22,-3-22.故所求的点的坐标为2-22,-3+22,2+22,-3-22.答案C2.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为3的弦AB,则弦AB的长是()A.16B.3C.163D.316解析抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),又倾斜角为3,所以弦AB所在直线的参数方程为x=1+12t,y=32t(t为参数).将其代入抛物线方程y2=4x,得32t2=41+12t,整理得3t2-8t-16=0.设方程的两个实根分别为t1,t2,则有t1+t2=83,t1t2=-163.所以|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=832+643=163.故弦AB的长为163.答案C3.对于参数方程x=1-tcos30,y=2+tsin30(t为参数)和x=1+tcos30,y=2-tsin30(t为参数),下列结论正确的是()A.它们表示的是倾斜角为30的两条平行直线B.它们表示的是倾斜角为150的两条重合直线C.它们表示的是两条垂直且相交于点(1,2)的直线D.它们表示的是两条不垂直但相交于点(1,2)的直线解析因为参数方程x=1-tcos30,y=2+tsin30可化为标准形式x=1+tcos150,y=2+tsin150,所以其倾斜角为150.同理,参数方程x=1+tcos30,y=2-tsin30可化为标准形式x=1+(-t)cos150,y=2+(-t)sin150,所以其倾斜角也为150.又因为两条直线都过点(1,2),故两条直线重合.答案B4.已知直线的参数方程为x=-4+22t,y=22t(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为2,若将该直线的参数方程改写成x=-4+t,y=t(t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为.解析由|PM0|=2知t=2,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1),再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.答案15.已知一条直线的参数方程是x=7+12t,y=-5+32t(t为参数),另一条直线的方程是x-y-43=0,则两条直线的交点到点(7,-5)的距离是.解析把直线的参数方程x=7+12t,y=-5+32t(t为参数)代入另一条直线方程x-y-43=0,得7+12t-5+32t-43=0,解得t=83.故交点到点(7,-5)的距离为|t|=83.答案836.已知直线l的参数方程为x=2+3t,y=33t(t为参数),曲线C的极坐标方程为2cos 2=3.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.解(1)由曲线C:2cos 2=2(cos2-sin2)=3,得2cos2-2sin2=3,化成直角坐标方程为x2-y2=3.(2)(方法一)把直线的参数方程化为标准参数方程x=2+12t,y=32t(t为参数,t=6t),把代入得2+12t2-32t2=3,整理,得t2-4t-2=0.设其两根为t1,t2,则t1+t2=4,t1t2=-2.从而弦长为|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=42-4(-2)=24=26.(方法二)把直线l的参数方程化为普通方程为y=3(x-2),代入x2-y2=3,得2x2-12x+15=0.设l与C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=152.所以|AB|=1+3(x1+x2)2-4x1x2=262-30=26.7.导学号73574053过点P102,0作倾斜角为的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N,求|PM|PN|的最小值及相应的的值.解设直线的参数方程为x=102+tcos,y=tsin(t为参数),将其代入x2+2y2=1,得(1+sin2)t2+10tcos +32=0.设点M,N对应的参数分别为t1,t2,则|PM|PN|=|t1t2|=32(1+sin2).因为直线与曲线相交,所以=10cos2-432(1+sin2)0.得sin214.而当sin =12(0<),即=6或=56时,|PM|PN|有最小值65.8.导学号73574054已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,求|PA|PB|的值为最小时的直线l的参数方程.解设直线l的倾斜角为,则l的参数方程为x=3+tcos,y=2+tsin(t为参数),由题意知,A(xA,0),B(0,yB).由0=2+tsin ,得|PA|=|t|=2sin.由0=3+tcos ,得|PB|=|t|=-3cos.故|PA|PB|=2sin-3cos=-12sin2.2<<,当2=32,即=34时,|PA|PB|有最小值,此时直线l的参数方程为x=3-22t,y=2+22t(t为参数).
