2019-2020学年数学人教A版4-4检测：模块综合测评A .docx
模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.极坐标方程8=sin 表示的曲线是()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线解析方程8=sin 可化为8x2+8y2-y=0,所以它表示圆.答案B2.将参数方程x=cos2-1,y=cos2(为参数)化为普通方程为()A.y=x-1B.y=x+1C.y=x-1(-1x0)D.y=x+1(-1x0)解析把cos2=y代入x=cos2-1,得x=y-1,即y=x+1.因为-1cos2-10,所以-1x0.答案D3.将曲线x2+4y=0作如下变换:x=2x,y=4y,则得到的曲线方程为()A.x2=-yB.x=-14y2C.y=-14x2D.y2=-x解析由x=2x,y=4y可得x=12x,y=14y,将其代入x2+4y=0得14x2+y=0,即y=-14x2.答案C4.极坐标方程=42cos4-表示的图形的面积是()A.4B.4C.8D.8解析因为=42cos4-=4222cos+22sin=4cos +4sin ,所以2=4cos +4sin ,即x2+y2=4x+4y,(x-2)2+(y-2)2=8,故方程表示的图形是圆,半径为22,其面积为8.答案D5.已知点P1的球坐标是4,2,53,P2的柱坐标是2,6,1,则|P1P2|=()A.21B.29C.30D.42解析点P1的直角坐标为(2,-23,0),点P2的直角坐标为(3,1,1),由两点间的距离公式得|P1P2|=21.答案A6.已知A(4sin ,6cos ),B(-4cos ,6sin ),当为一切实数时,线段AB的中点的轨迹为()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析设线段AB的中点为M(x,y),则x=2sin-2cos,y=3sin+3cos(为参数),所以3x+2y=12sin,3x-2y=-12cos.消去参数,得(3x+2y)2+(3x-2y)2=144,整理得x28+y218=1,它表示椭圆.答案C7.参数方程x=tan,y=2sec(为参数)表示的曲线的离心率等于()A.32B.52C.2D.2解析由x=tan,y=2sec得x=tan,12y=sec.所以y24-x2=1,即曲线为双曲线,其中a=2,b=1,故c=a2+b2=5,e=ca=52.答案B8.导学号73574069若点M的极坐标是-2,-6,则它关于直线=2的对称点的极坐标是()A.2,116B.-2,76C.2,-6D.-2,-116解析如图,描点-2,-6时,先找到角-6的终边,因为=-2<0,所以再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点-2,-6.直线=2就是极角为2的那些点构成的集合.故点M-2,-6关于直线=2的对称点为M2,6,但是选项中没有这样的坐标.又因为点M2,6还可以表示为-2,76,所以选B.答案B9.已知直线l的参数方程为x=2+t,y=3+t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2-4cos =0(0,0<2),则直线l与曲线C的公共点的极径=()A.5B.5C.2D.3解析直线l的普通方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,联立两方程,得y=x+1,y2=4x,解得x=1,y=2.所以直线l与曲线C的公共点的坐标为(1,2).所以公共点的极径为=22+1=5.答案A10.设曲线C的参数方程为x=t,y=t2(t为参数),若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为()A.cos2-sin =0B.cos -sin =0C.cos -sin2=0D.cos2-sin =0解析把曲线C的参数方程x=t,y=t2化为普通方程是y=x2,把曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程是sin =2cos2.由于曲线经过极点,则极坐标方程可简化为cos2-sin =0.故选A.答案A11.已知双曲线C的参数方程为x=3sec,y=4tan(为参数),在下列直线的参数方程中,x=-3t,y=4t;x=1+32t,y=1-12t;x=35t,y=-45t;x=1-22t,y=1+22t;x=3t,y=4t(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是()A.B.C.D.解析由双曲线的参数方程知a=3,b=4,且双曲线的焦点在x轴上,因此其渐近线方程是y=43x.检验所给直线的参数方程可知只有适合条件.答案A12.导学号73574070若动点(x,y)在曲线x24+y2b2=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为()A.b24+4,0<b42b,b>4B.b24+4,0<b<22b,b2C.b24+4D.2b解析设动点(x,y)的坐标为(2cos ,bsin ),将其代入x2+2y,得4cos2+2bsin =-2sin-b22+4+b24,当0<b4时,(x2+2y)max=b24+4;当b>4时,(x2+2y)max=-2-b22+4+b24=2b.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆锥曲线x=t2,y=2t(t为参数)的焦点坐标是.解析将参数方程化为普通方程为y2=4x,它表示开口向右,焦点在x轴正半轴上的抛物线,由2p=4p=2,则焦点坐标为(1,0).答案(1,0)14.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x=t,y=t-a(t为参数)过椭圆C:x=3cos,y=2sin(为参数)的右顶点,则常数a的值为.解析把直线和椭圆的参数方程分别化为普通方程为l:y=x-a,C:x29+y24=1.椭圆的右顶点坐标为(3,0),将其代入l的方程得0=3-a,a=3.答案315.将方程x=tant,y=1-cos2t1+cos2t(t为参数)化为普通方程是.解析由y=1-cos2t1+cos2t=2sin2t2cos2t=tan2t,将tan t=x代入上式,得y=x2,即所求的普通方程为y=x2.答案y=x216.在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆=4sin 和直线sin =a相交于A,B两点.若AOB是等边三角形,则a的值为.解析由=4sin 得2=4sin ,所以x2+y2=4y.所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,设圆心为点C,则圆心为C(0,2),半径r=2.由sin =a,得直线的直角坐标方程为y=a.由于AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心.设AB的中点为D(如图),连接CB.则|CD|=|CB|sin 30=212=1,即a-2=1,所以a=3.答案3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l的方程为sin+6=2,求极点在直线l上的射影的极坐标.解把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,得x+3y-4=0,过极点且与l垂直的直线方程为y=3x.由x+3y-4=0,y=3x,得射影的直角坐标为(1,3),将其化成极坐标为2,3.故极点在直线l上的射影的极坐标为2,3.18.(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cos,y=4sin(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,所以圆C的圆心到直线l的距离d=|-2a|54,解得-25a25.故实数a的取值范围为-25,25.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.解(1)由=23sin ,得2=23sin ,从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.故C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t,32t,又C(0,3),所以|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos-4=22.(1)求C1与C2交点的极坐标.(2)设点P为C1的圆心,点Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为x=t3+a,y=b2t3+1(tR,t为参数),求a,b的值.解(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解x2+(y-2)2=4,x+y-4=0,得x1=0,y1=4,x2=2,y2=2.所以C1与C2交点的极坐标为4,2,22,4.(2)由(1)可得,点P与点Q的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=b2x-ab2+1.所以b2=1,-ab2+1=2,解得a=-1,b=2.21.导学号73574071(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos ,0,2.(1)求半圆C的参数方程;(2)设点D在半圆C上,半圆C在点D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的直角坐标.解(1)半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0y1).由此可得半圆C的参数方程为x=1+cost,y=sint(t为参数,0t).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为半圆C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tan t=3,t=3.故点D的直角坐标为1+cos3,sin3,即32,32.22.导学号73574072(本小题满分12分)已知ABC的顶点A(0,3),底边BC在横轴上,|BC|=2,当BC在横轴上移动时,求:(1)ABC外接圆圆心的轨迹的普通方程;(2)过点(0,2)且被所求轨迹所在曲线截得的线段长为552的直线方程.解(1)设B(t-2,0),C(t,0),AC的垂直平分线方程为y=t3x-t2+32,BC的垂直平分线方程为x=t-1,ABC的外心为O,则O的轨迹方程是x=t-1,y=16t2-13t+32(t为参数),O的轨迹的普通方程为y=16x2+43.(2)过点(0,2)的直线方程为y=kx+2,联立y=16x2+43,y=kx+2,消去y,得x2-6kx-4=0.设该方程的两根是x1,x2,则(x1-x2)2=36k2+16.所以弦长的平方为(1+k2)(36k2+16)=1254,解得k=12.故所求直线方程为x-2y+4=0或x+2y-4=0.
