2019-2020学年数学人教A版4-5检测：1.1.2 基本不等式 .docx
2.基本不等式课后篇巩固探究A组1.下列结论正确的是()A.若3a+3b23a3b,则a>0,b>0B.若ba+ab2,则a>0,b>0C.若a>0,b>0,且a+b=4,则1a+1b1D.若ab>0,则ab2aba+b解析当a,bR时,则3a>0,3b>0,所以3a+3b23a3b(当且仅当a=b时,等号成立),故选项A错误.要使ba+ab2成立,只要ba>0,ab>0即可,这时只要a,b同号,故选项B错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,则1a+1b=4ab.因为aba+b22=4,所以1a+1b=4ab1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C错误.当a>0,b>0时,a+b2ab,所以2aba+b2ab2ab=ab.而当a<0,b<0时,显然有ab2aba+b,所以当ab>0时,一定有ab2aba+b(当且仅当a=b,且a,b>0时,等号成立),故选项D正确.答案D2.若a<1,则a+1a-1的最大值是()A.3B.aC.-1D.2aa-1解析因为a<1,所以a-1<0,所以a+1a-1=a-1+1a-1+1-2(1-a)11-a+1=-1,当且仅当1-a=11-a,即a=0时,取最大值-1,故选C.答案C3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1x+13y的最小值是()A.2B.22C.4D.23解析lg 2x+lg 8y=lg 2,lg(2x8y)=lg 2,2x+3y=2,x+3y=1.x>0,y>0,1x+13y=(x+3y)1x+13y=2+3yx+x3y2+23yxx3y=4,当且仅当x=3y=12时,等号成立.故选C.答案C4.函数f(x)=x+4x-1的值域是()A.(-,-35,+)B.3,+)C.(-,-53,+)D.(-,-44,+)解析当x>0时,x+4x-12x4x-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+4x-1=-(-x)+-4x-1-2(-x)-4x-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f(x)的值域为(-,-53,+).答案C5.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.解析由基本不等式可得x+4y24xy=4xy(当且仅当x=4y时,等号成立),又x+4y=4,所以4xy4,即xy1,故xy的最大值为1.答案16.(2017山东高考)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.解析直线xa+yb=1过点(1,2),1a+2b=1.a>0,b>0,2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案87.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x6=4x+900x42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.答案308.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg xlg y的最大值.解因为x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,所以lg xlg ylgx+lgy22=lgxy22=lg1 00022=322=94,当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立,故lg xlg y的最大值等于94.9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证1+1x1+1y9.证明左边=1+1x1+1y=1+x+yx1+x+yy=2+yx2+xy=5+2yx+xy5+4=9,当且仅当yx=xy,即x=y=12时,等号成立,所以1+1x1+1y9.10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?解设侧面的长度为x米(0<x5).由题意可得,总造价y=32x150+12x400+5 800=900x+16x+5 800(0<x5).由基本不等式可知y=900x+16x+5 8009002x16x+5 800=13 000(元),当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.由上可知,当侧面的长度为4米时,总造价最低.B组1.若a0,b0,且a+b=2,则下列不等式正确的是()A.ab1B.ab1C.a2+b24D.a2+b24解析由已知可得aba+b22=1(当且仅当a=b时,等号成立),而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2,故选项A正确.答案A2.爬山是一种简单有趣的户外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1v2),乙上山和下山的速度都是v1+v22(甲、乙两人中途不停歇),则甲、乙两人上山下山所用的时间t1,t2的关系为()A.t1>t2B.t1<t2C.t1=t2D.不能确定解析设山路的长度为h,则依题意有t1=hv1+hv2=hv1+v2v1v2>h2v1v2v1v2=h2v1v2,t2=2hv1+v22=h4v1+v2<h42v1v2=h2v1v2,故t1>t2.答案A3.(2017天津高考)若a,bR,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析a,bR,且ab>0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.答案44.导学号26394006已知关于x的二次不等式ax2+2x+b>0的解集为xx-1a,且a>b,则a2+b2a-b的最小值为.解析由已知可得关于x的方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是=4-4ab=0,则ab=1,所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b2(a-b)2a-b=22当且仅当a-b=2a-b时,等号成立,故a2+b2a-b的最小值为22.答案225.已知a>2,求证log(a-1)a>loga(a+1).证明log(a-1)a-loga(a+1)=lgalg(a-1)-lg(a+1)lga=lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1),而lg(a-1)lg(a+1)<lg(a-1)+lg(a+1)22=lg(a2-1)22<lg a222=lg2a,即lg2a-lg(a-1)lg(a+1)>0.又a>2,lg alg(a-1)>0,lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1)>0,即log(a-1)a-loga(a+1)>0,log(a-1)a>loga(a+1).6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=80n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为80n+1元,进行技术革新投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100-80n+1-100n(nN+).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100-80n+1-100n=1 000-80n+1+9n+1520.当且仅当n+1=9n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.
