2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：1.2.1 绝对值不等式 .docx
2含有绝对值的不等式2.1绝对值不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:|a+b|>|a|;|a+b|<|b|;|a+b|<|a-b|;|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.B.C.D.解析:ab>0,a,b同号.|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.正确.答案:C2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4解析:|3-x|+|x-7|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数的最小值为4.答案:D3.已知|a|b|,m=|a|-|b|a-b|,n=|a|+|b|a+b|,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.mn解析:由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|ab|a|+|b|.|a|-|b|a-b|1|a|+|b|a+b|,mn.答案:D4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定解析:当(a+b)(a-b)0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.答案:B5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(aR)的解集为,则a的取值范围是()A.-1,1B.(-1,1)C.(-,1D.(-,1)解析:|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,若关于x的不等式|x|+|x-1|的解集为,则a1.答案:C6.若a,bR,且|a|3,|b|2,则|a+b|的最大值是,最小值是.解析:|a|-|b|a+b|a|+|b|,所以1=3-2|a+b|3+2=5.答案:517.若不等式|x-4|-|x-3|a对一切xR恒成立,则实数a的取值范围是.解析:设f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)a对一切xR恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.|x-4|-|x-3|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,a1.答案:1,+)8.不等式|a+b|a|-|b|1成立的充要条件是.解析:|a+b|a|-|b|1|a+b|-(|a|-|b|)|a|-|b|0(|a|-|b|)|a+b|-(|a|-|b|)0(且|a|-|b|0).|a+b|a|-|b|,|a+b|-(|a|-|b|)0.|a|-|b|>0,即|a|>|b|.答案:|a|>|b|9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:ax+bx2<2.证明m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,|x|>m|a|,|x|>m|b|,|x|>m1|x|>|a|,|x|2>|b|.ax+bx2ax+bx2=|a|x|+|b|x|2<|x|x|+|x|2|x|2=2.故原不等式成立.10.导学号35664004已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.解(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|x-1+5-x|=4,当a=2时,g(x)min=4,f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.|x-1|+|x-5|-a>0,a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.a<4,即a的取值范围是(-,4).B组1.对任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析:|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)x0,(1-y)(1+y)0,即0x1,-1y1时等号成立,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.答案:C2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=12(|x-a2|+|x-2a2|-3a2),若xR,f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为()A.-16,16B.-66,66C.-13,13D.-33,33解析:当x0时,f(x)=-x,0xa2,-a2,a2<x<2a2,x-3a2,x2a2.由f(x)是奇函数,可作出f(x)的图像,如图所示.因为xR,f(x-1)f(x),所以f(x-1)的图像恒在f(x)图像的下方,即将f(x)的图像往右平移一个单位后恒在f(x)图像的下方,所以-3a2+13a2,解得a-66,66.故选B.答案:B3.已知x,y,aR,且|x-y|<a,则|y|与|x|+a的关系是.解析:a>|x-y|=|(-y)+x|-y|-|x|=|y|-|x|,|y|<|x|+a.答案:|y|<|x|+a4.已知a和b是任意非零实数,则|2a+b|+|2a-b|a|的最小值为.解析:|2a+b|+|2a-b|a|2a+b+2a-b|a|=4.答案:45.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).证明|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号35664005已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1x1时,|f(x)|1,求证:(1)|c|1;(2)当-1x1时,|g(x)|2.证明(1)当-1x1时,|f(x)|1,|f(0)|1,即|c|1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在-1,1上是增加的,g(-1)g(x)g(1).当-1x1时,|f(x)|1,且|c|1,g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2,|g(x)|2.当a<0时,g(x)=ax+b在-1,1上是减少的,g(-1)g(x)g(1).当-1x1时,|f(x)|1,且|c|1,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2.g(1)=a+b=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)-2.|g(x)|2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1x1,|g(x)|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2.综上可知,|g(x)|2.
