九年级数学图形的相似(带答案解析).doc

第3章 图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）（第6题）yxAOCBDEFA(，0)B(，)C(，)D(2，2) 【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的倍【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F, 若EC=2BE,则的值是（ ）ABCDFEA. B. C. D.解析：如图，由菱形ABCD得ADBE,，所以BEFADF, 又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故=.解答：选B点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014湖南省张家界市10题3分）已知与相似且面积比为425，则与的相似比为 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】与的相似比为=.【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）【解析】（）由于BDE=CDFBED=CFD=90，可得BDECDF。由于A=A，AFB=AEC=90，可得ABFACE。解：（1）在BDE和CDF中BDE=CDFBED=CFD=90，BDECDF（2）在ABF和ACE中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE【答案】BDECDF，ABFACE【点评】本题考查相似三角形的判定方法三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等 5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，AOD的面积为3，则BOC的面积为_【解析】由题意知ADBC，所以OAD=OCB，ODA=OBC，所以OADOCB又AD=1，BC=3，所以OAD与OCB的相似比为1:3，面积之比为1:9，而AOD的面积为3，所以BOC的面积为27【答案】27【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在ABC中，EFBC，=，S四边形BCFE=8，则SABC=（）A9B10C12D13解析：求出的值，推出AEFABC，得出=，把S四边形BCFE=8代入求出即可解：=，=，EFBC，AEFABC，=，9SAEF=SABC，S四边形BCFE=8，9（SABC8）=SABC，解得：SABC=9故选A答案：A点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE= 厘米.解析：BCE与CDE均为等腰三角形，且两个底角DEC=BCE，BCECDE，=, =,DE=3.6厘米.答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BFAE，垂足为H,交CD于F,作CGAE,交BF于G. (1)求证CG=BH;(2)FC2=BFGF;(3) =.BACDHEFG解析：(1)可证ABHBCG；(2)证CFGBFC可得；(3)先证BCGBFC得BC2=BFBG,结合AB=BC可得.证明： （1）BFAE，CGAE, CGBF, CGBF. 在正方形ABCD中，ABH+CBG=90o, CBG+BCG=90o, BAH+ABH=90o,BAH=CBG, ABH=BCG, AB=BC,ABHBCG,CG=BH; (2) BFC=CFG, BCF=CGF=90 o,CFGBFC, ,即FC2=BFGF; (3) 由（2）可知，BC2=BGBF,AB=BC,AB2=BGBF, =即= 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在ABC中，ACB=，CDAB，于点D，则图中相似三角形共有（ ）A、1对 B、2对 C、3对 D、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：BDCBCACDA【答案】C【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。10 （2014四川内江，11，3分）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=60，BD=4，CE=，则ABC的面积是（ ）A8 B15 C9 D12【思路分析】ADC= ADE +EDC =B +BAD，ADE=B=60，EDC =BAD又C=B=60，ABDDEC,EC:BD=DC:AB=1:3,AB=BC=3DC,BD=2DC，DC=2，BC=6，ABC的面积是9【答案】C【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解11. （山东省威，3,3分）在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF:CF=( ).A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5【解题思路】利用AEF与CBF相似，将AF:CF转化成AE:BC的比值.【答案】A.【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.ABDC题3图12（2014广东省，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（A）郑颖杰【解题思路】图形缩小，就是“大小变化而形状不变”，可判断选A符合要求.【答案】A【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大小变化而形状不变”这一本质，即图形相似. 难度较小.13 （2014山东潍坊，3，3分）如图，ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC；ADE的面积与ABC的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）A 0 个 B1个 C 2 个 D3个【解题思路】因为DE是三角形的中位线，所以DE=BC=1，DEBC，所以ADEABC，所以SADE：SABC=【答案】D【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半所构成的三角形与原三角形相似相似三角形的面积比等于相似比的平方难度中等14.（2014年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=，若点A的坐标为（1，2），则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是（）分析：延长AB交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比解：在正方形ABCD中，AC=BC=AB=3，延长AB交BC于点E，点A的坐标为（1，2），OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形ABCD的边长为1，正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是 故选B点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长15.（2014陕西18，6分）如图，在中，的平分线分别与、交于点、（1）求证：；（2）当时，求的值【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由先求出，再求.【答案】解：（1）如图，在中，是的平分线，（2），【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等.16.已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点 求证：ADQQCP思路点拨：因ADQ与QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定具体证明过程如下：证明：在正方形ABCD中，Q是CD的中点，=2=3，=4 又BC=2DQ，=2 在ADQ和QCP中，=，C=D=90，ADQQCP17.已知：如图，AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点 求证：DFEABC思路点拨：EF为ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似证明：在RtABD中，DE为斜边AB上的中线，DE=AB，即=同理=EF为ABC的中位线，EF=BC，即=DFEABC总结升华：本题证明方法较多，可先证EDF=EDA+ADF=EAD+FAD=BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明FED=EDB=B，同理EFD=FDC=C，都可以证出DEFABC18ABCDEF，若ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 思路点拨：因没有说明长4cm的线段是DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.(1)当DEF中长4cm线段与ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.(2)当DEF中长4cm线段与ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.(3)当DEF中长4cm线段与ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.综上所述，DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.19如图所示，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.解： 四边形EFGH是矩形， EHBC， AEHABC. ADBC， ADEH，MD=EF. 矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得， ， ，. EF=6cm，EH=12cm. .总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.20.ABC中，DEBC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.解：DEBC ，ADEABCM为DE中点， DMBC ， NDMNBC=1：2.总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.21.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m(1)图中ABC与ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度解：(1)ABCADE BCAE，DEAE ACB=AED=90 A=A ABCADE(2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m DE=16m答：古塔的高度为16m.22.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 思路点拨：光线AD/BE，作EFDC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC.解：作EFDC交AD于F.因为ADBE，所以又因为，所以，所以.因为ABEF， ADBE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.所以m.23已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积 思路点拨：利用ADEBCE，以及其他有关的已知条件，可以求出BCE的面积ABC的边AB上的高也是BCE的高，根据ABBE=32，可求出ABC的面积最后利用AEFABC，可求出AEF的面积解：DABC，ADEBCESADESBCE=AE2BE2AEBE=12，SADESBCE=14SADE=1，SBCE=4SABCSBCE=ABBE=32，SABC=6EFBC，AEFABCAEAB=13，SAEFSABC=AE2AB2=19SAEF=总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方举一反三24.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200和1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2. ABCA1B1C1A2B2C2且，.25.如图，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上(1)当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；解：(1)SPQC=S四边形PABQ SPQC：SABC=1：2 PQAB， PQCABC SPQC：SABC=(CP：CA)2=1：2 CP2=42， CP=.(2)SPQC的周长与四边形PABQ的周长相等， PC+CQ=PA+AB+QB=(ABC的周长)=6 PQAB， PQCABC ，即： 解得，CP=【经典练习】1.如图，已知PN/BC,ADBC交BC于点D，交PN于点E。（1）若AP:PB=1:2, =18cm，求的值。（2）若，求的值。（3）若BC=15cm,AD=10cm,且PN=ED=x，求x的值。2.请阅读下面材料，并回答问题。三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。已知：如图，在ABC中，AD是角平分线，试说明。3.如图，D为ABC的边AB上一点，已知AB=12,AC=15,AD=，如果AC上有一点E，使ADE与原三角形相似，求AE的长。4.如图所示，ABC=ADB，若AB=5cm，AC=9cm，DB=3cm，那么AD= ，BC= ，：= 。5在ABC中，B=25，AD是BC边上的高，并且AD=BDDC，则BCA为 。6在ABC中，BC=8cm，AC=6cm，点P从B出发，沿BC方向以2m/s的速度移动。点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动，若点P、Q分别从B、C同时出发，设运动的时间为t，则CPQ能否与CBA相似？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由。7如图所示，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，多长时间后PBQ与ABC相似？8晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自已被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时（如图），自已右边的影子长3米，左边的影子长1.5米，又知自已身高1.8米，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高度为多少米？9如图，ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E。（1）求证：ABDCED。（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长。10如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.（1）求AD的长。（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比。11如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=2，且四边形ABEF是一个正方形，则矩形EFDC矩形ADCB吗？说明你的现由。12.如图，在直角坐标系中，第一次将OAB变换成OAB，第二次将OAB变换成OAB，第三次将OAB变换成OAB，已知A（1，3）、A（2，3）、A（4，3）、A（8，3）、B（2，0）、B（4，0）、B（8，0）、B（16，0）.（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将OAB变换成OAB，则点A的坐标是 ，B的坐标是 。（2）若按第（1）题找到的规律将OAB进行了n次变换，得到OAM,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A的坐标为 ，B的坐标为 。