人教出版八年级数学上册第十二章全等三角形的综合角平分线讲义(有答案解析).doc

#+第7讲 全等三角形的综合、角平分线第一部分 知识梳理知识点一：全等三角形的综合 平移全等型 对称全等型 旋转全等型 知识点二：角平分线的性质、角平分线上的点到角的两边的距离相等；、到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍， 知识点三：角平分线的作法角平分线的作法（尺规作图）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；过点P作射线OP，射线OP即为所求第二部分 考点精讲精练考点1、三角形全等综合1、全等三角形实际应用1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定ACBECD的理由是（）A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果PQONMO，则只需测出其长度的线段是（B）APO BPQ CMO DMQ （1） （2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军试问：法军能命中目标吗？请说明理由用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案： 甲：如图，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离乙：如图，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离丙：如图，过点B作BDAB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使BDC=BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有_；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由2、证两次全等相关问题1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, B= E,AF CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF求证：BF=DE3、如图，AB=AD，BC=DE，且BAAC，DAAE，你能证明AM=AN吗？3、探索两线段的关系问题1、如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）ECBF.2、已知：如图，ABC中，ADBC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。求证：BFAC。3、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB求证：（1）AM=AN；（2）AMAN4、探索三线段的数量关系问题1、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。2、已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE3、四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，ADC+B=180，求证：2AE=AB+AD5、构造全等三角形问题1、如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：AD平分BAC 2、如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 3、已知：如图，AD是ABC的中线，求证：AB+AC2AD4、如图，RtABC中，BAC=90，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC，交AC于F，求证：AE=CF 考点2、角平分线的性质例1、如图，在RtABC中，A=90，ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则BDC的面积是 例2、三角形ABC中，A=60，则内角B，C的角平分线相交所成的角为 。例3、如图，在ABC中，A=45，C=75，BD是ABC的角平分线，则BDC的度数为（ ）A60 B70 C75 D105例4、根据“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”来观察下图：（1）已知OM是AOB的平分线，P是OM上的一点，且PEOA，PFOB垂足分别为EF，那么 = 这是根据“ ”可得POEPOF而得到的（2）如图，ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB，垂足为E，AB=6cm，则DEB的周长为 cm例5、如图，D、E、F分别是ABC的三条边上的点，CE=BF，DCE和DBF的面积相等求证：AD平分BAC 例6、如图，ABC中，A=60，ACB的平分线CD和ABC的平分线BE交于点G求证：GE=GD举一反三：1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A 三条中线的交点 B 三条高的交点C 三条边的垂直平分线的交点 D 三条角平分线的交点2、如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EFAB于F，则下列结论中不正确的是（ ）ACH=HD BACD=B CCH=CE=EF DAC=AF3、已知：如图，ABCD，O为BAC、ACD的平分线的交点，OEAC于点E，若两平行线间的距离为6，则OE= （2） （3）4、已知：在等腰RtABC中，AC=BCC=90，AD平分BAC，DEAB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC（2）求DBE的周长5、如图，已知ABC的周长是22，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，ABC的面积是多少？ 6、如图，ABC中，ACB=90，AD平分BAC，DEAB交AB于点E，点F是AC上一点，FDC=CAB求证：CF=BE；第三部分 课堂小测1、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL2、如图所示，DEAB，DFAC，AEAF，则下列结论成立的是（ ）ABDCD BDEDF CBC DABAC3、如图，在ABC中，C=90，BD平分ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8，则ABD的面积是（ ） A3 B10 C12 D16 （1） （2） （3）4、如图，OP是AOB的平分线，PCOA于点C，PC=2，点D是边OB上一动点，则PD长度最小为 5、已知AD平分BAC，DEAB，AB=60，AC=50，ABC的面积是330，则DE= 6、如图BD是ABC的一条角平分线，AB=8，BC=4，且SABC=24，则DBC的面积是 （4） （5） （6）7、小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释8、已知：如图，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DB=DC，求证：ABC是等腰三角形9、已知：如图所示，AQ，BM，CN是ABC的三条角平分线试说明AQ，BM，CN交于一点10、小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则ACB与ADB有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论请你帮他画出图形，并写出结论，不要求说明理由（如图3）第四部分 提高训练1、如图AB=AE，ABAE，AD=ACADAC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM2、如图，AC平分BAD，CMAB，且AB+AD=2AM，证明：ADC+ABC90 。第五部分 课后作业1、如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去玻璃店A、带去， B、带去 C、带去 D、都带去2、如图，ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是（）A.点F在BC边的垂直平分线上 B点F在BAC的平分线上CBCF是等腰三角形 DBCF是直角三角形3、如图，在ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E,DE=5，BD=2CD,则BC=（ ）A.20 B.15 C.10 D.5 （1） （2） （3）4、如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）AAB=AD BAC平分BCD CAB=BD DBECDEC5、如图，点O是ABC的两条角平分线的交点，若BOC118，则A的大小是 。6、如图，在ABC中，C是直角，AD平分BAC，交BC于点D。如果AB8，CD2，那么ABD的面积等于。 （4） （5） （6）7、如图ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E，给出下列结论：DC=DE；DA平分CDE；DE平分ADB；BE+AC=AB；BAC=BDE其中正确的是 （写序号）8、如图，等边ABC中，在顶点A、C处各有一只蚂蚁，他们同时出发，分别以同样速度由A向B和由C向A爬行，经过t秒后，他们分别到达D、E处请问两只蚂蚁在爬行过程中，（1）BE与CD有何数量关系，为什么？（2）DC与BE所成的BFC的大小是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，求出BFC9、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点PDOA交OA于D，PEOB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF求证：DF=EF10、如图，已知点 D 为等腰直角ABC 内一点，CAD = CBD = 15，E 为AD 延长线上的一点. 且 CE=CA. (1)、求证：DE平分BDC；(2)、若点M在DE上，且DC=DM. 求证：ME=BD.第7讲 全等三角形的综合、角平分线第二部分 考点精讲精练考点1、三角形全等综合1、全等三角形实际应用1、B 2、B3、 4、 因此，按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处；如果拿破仑站在O处，只需转过身来仍可用帽舌边缘视线法测出河岸两边的距离5、2、证两次全等相关问题1、 2、证明：ABC和CDA中，AB=CD，BC=DA，AC=CA，ABCCDA，ACB=CAD在BCF和DAE中，BC=DA，ACB=CAD，CF=AE，BCFDAE，BF=DE3、 3、探索两线段的关系问题1、 2、 3、 4、探索三线段的数量关系问题1、证明：（1）ADC=ACB=90，1+2=3+2=90，1=3又AC=BC，ADC=CEB=90，ADCCEB；ADCCEB，CE=AD，CD=BE，DE=CE+CD=AD+BE（2）ACB=CEB=90，1+2=CBE+2=90，1=CBE又AC=BC，ADC=CEB=90，ACDCBE，CE=AD，CD=BE，DE=CE-CD=AD-BE；（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）ACB=CEB=90，ACD+BCE=CBE+BCE=90，ACD=CBE，又AC=BC，ADC=CEB=90，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD。2、B+D=180，3+4=180，4=B，CM=CB，CEAB，ME=EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），AE=AM+ME，AE=AD+BE3、证明：过C作CFAD于F，AC平分BAD，FAC=EAC，CEAB，CFAD，DFC=CEB=90，AFCAEC，AF=AE，CF=CE，ADC+B=180FDC=EBC，FDCEBCDF=EB，AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE2AE=AB+AD5、构造全等三角形问题1、 2、 3、证明：如图延长AD到P使DP=AD,连接BP,PCAP=2AD.1)D为ABC的BC边中线BD=DCAD=DP，BDP=ADC(对顶角）BDPADC(SAS)AC=BP.2)在ABP中，AB+BP>AP（两边之和大于第三边）由1）、2）得到 AB+AC>2AD4、 考点2、角平分线的性质例1、15例2、60和120。例3、C 例4、 例5、例6、 举一反三：1、D2、A3、 3 4、解：（1）AD平分BAC，DEAB，C=90，CD=DE，BC=BD+CD=BD+DE， AC=BC，AC=BD+DE；（2）CD=DE，AD=AD，C=AED=90，ACDAED，AC=AE，AC=BD+DE，BD+DE=AE，BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm5、 6、第三部分 课堂小测1、A 2、B 3、C 4、25、 6 6、 8 7、 8、 9、证明：设BM，CN交于点P，过点P作PDAB，PEBC，PFAC，垂足分别为：D，E，F，BM平分ABC，CN平分ACB，PD=PE，PE=PF，PD=PF，AP平分BAC，即AQ，BM，CN交于一点P10、第四部分 提高训练1、2、解答：解：过点C作CNAD，交AD的延长线于点N，AC平分BAD，CMAB，CNAD，CM=CN，在RtACMRtACN中，RtACMRtACN，AM=AN，又AB+AD=2AM，BM=DN，在RtBCM与RtDCN，RtBCMRtDCN（SAS），ABC=CDN，ADC+ABC=ADC+CDN=180，ADC+ABC90 。第五部分 课后作业1、C 2、B3、B 4、C 5、56。6、8。7、8、9、 10、解：(1)在等腰直角ABC中， CAD=CBD= 15， BAD=ABD= 45-15= 30，. BD= AD , BDCADC, DCA= DCB=45. 由BDM = ABD+BAD = 30+30= 60， EDC= DAC+DCA= 15+45= 60， BDM=EDC， DE平分BDC. (2)如图.连接 MC. DC=DM，且MDC= 60， MDC是等边三角形. 即 CM=CD. 又EMC=180-DMC = 180- 60= 120； ADC= 180-MDC= 180-60= 120， EMC=ADC. 又CE=CA， DAC =CEM =15，ADC EMC, ME=AD= DB.