2022年高考全国卷I数学试题及参考答案 .pdf

1 / 15 2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修 +选修）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至 2 页，第卷3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5 毫 M 黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试卷卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件AB，互斥，那么球 的 表面积公式()()()P ABP AP B24SR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()( )( )P A BP AP B球的体积公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 / 15 如果事件A在一次实验中发生的概率是P，那么343VRn次独立重复实验中恰好发生k次的概率其中R表示 球的半径( )(1)(01,2)kkn knnP kC PPkn， ， ，一、选择题（1）o585sin的值为(A) 22 (B)22 (C)32 (D) 32【解读】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：2245sin)45180sin()225360sin(585sinoooooo，故选择A。(2)设集合A= 4，5，7，9， B=3，4，7，8，9，全集UAB，则集合()UABe中的元素共有(A) 3 个 （B） 4个 （C）5 个 （D）6个【解读】本小题考查集合的运算，基础题。（同理1）解：3,4,5,7,8,9AB，4,7,9()3,5,8UABABe故选 A。也可用摩根定律：()()()UUUABAB痧?（3）不等式111xx的解集为（A）011xxx x（B）01xx（C）10 xx（D）0 x x【解读】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 / 15 解：0040)1()1(|1|1|11122xxxxxxxx，故选择 D。（4）已知 tana=4,cot=13,则 tan(a+)= (A)711 (B)711 (C) 713 (D) 713【解读】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题3tan，11712134tantan1tantan)tan(，故选择B。（5）设双曲线222200 xyabab1 ， 的渐近线与抛物线21yx 相切，则该双曲线的离心率等于（A）3（B）2 （C）5（D）6【解读】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线222200 xyabab1 ， 的一条渐近线方程为abxy，代入抛物线方程整理得02abxax，因渐近线与抛物线相切，所以0422ab，即5522eac，故选择 C。（6）已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx 2lgx，则)1()1(gf（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解读】本小题考查反函数，基础题。解： 由 题 令1lg21x得1x， 即1)1(f， 又1)1(g，所 以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 / 15 2)1()1(gf，故选择 C。（7）甲组有 5 名男同学、 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4 人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种【解读】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有345261315121625CCCCCC，故选择 D。（8）设非零向量a、b、c满足cbacba|,|，则ba,（A）150（B）120（C）60（D）30【解读】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。（9）已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为(A)34 (B) 54 (C) 74 (D)34【解读】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理 7）解：设BC的中点为 D，连结1AD，AD，易知1A AB即为异面直线AB与1CC所 成的 角, 由三 角余 弦定 理，易知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 / 15 113cocs4oscosADADA ADDABA AAB.故选 D (10) 如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为(A)6 (B) 4 (C) 3 (D)2【解读】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数cos 2yx3的图像关于点43，0中心对称4232k13()6kkZ由此易得min|6.故选 A （11）已知二面角l为 600 ，动点 P、Q 分别在面,内，P 到的距离为3，Q 到的距离为2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小值为【解读】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理 10）解:如图分别作,QAA AClC PBB于于于PDlD于，连,60 ,CQ BDACQPBD则2 3,3AQBP，2ACPD又222122 3PQAQAPAP当且仅当0AP，即AP点 与点重合时取最小值。故答案选C。（12）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线l，点Al，线段AF 交 C 于点 B。若3FAFB,则AF= (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D)3 【解读】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 / 15 题。解：过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X轴的交点为 N，易知FN=1.由题意3FAFB, 故2|3BM. 又由椭圆的第二定义 , 得222|233BF|2AF. 故选 A2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修选修）第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0.5 毫 M 黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第卷共7 页，请用直径0.5 毫 M 黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷卷上作答无效3本卷共 10小题，共 90分二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上（注意：在试卷卷上作答无效）（13）10()xy的 展 开 式中 ，73x y的系 数 与37x y的系 数 之 和等 于_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 / 15 【解读】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）解:因rrrrryxCT10101) 1(所以有373101010()2240CCC（ 14 ） 设 等 差 数 列na的 前n项 和 为nS。 若972S， 则249aaa_. 【解读】本小题考查等差数列的性质、前n项和，基础题。（同理14）解:na是等差数列 ,由972S,得599,Sa58a2492945645()()324aaaaaaaaaa。(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面 得 到圆M， 若 圆M的 面 积 为3，则 球O的 表 面 积等 于_. 【解读】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为R，圆 M 的半径为r，则32r，即32r由题得3)2(22RR，所以164422RR。（16）若直线m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解读】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为211|13|d，由图知直线m与1l的夹角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 / 15 为o30，1l的倾斜角为o45，所以直线m的倾斜角等于00754530o或00153045o。故填写或三解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . (17)(本小题满分 10分)(注意:在试卷卷上作答无效) 设等差数列 na的前n项和为ns，公比是正数的等比数列nb 的前n项和为nT，已知1133331,3,17,12,nnababTSb求a的通项公式. 【解读】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题。解：设na的公差为d，数列nb的公比为0q，由3317ab得212317dq3312TS得24qqd由及0q解得2,2 dq故所求的通项公式为112(1)21,32nnnannb。(18)(本小题满分 12分)（注意：在试用题卷上作答无效）在ABC中 ， 内 角ABC、 、的 对 边 长 分 别 为abc、 、. 已 知222acb，且sin4cossinBAC，求b. 【解读】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得Abcbcacos2222，又0,222bbca，bAbcb2cos22，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 / 15 即2cos2Acb由正弦定理得sinsinbBcC又由已知得sin4cossinBACsin4cossinBAC，所以4 cosbcA故由解得4b(19)(本小题满分12 分)（注决：在试卷卷上作答无效）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2AD，2DCSD，点M在侧棱SC上，60ABM（）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角SAMB的大小。（同理 18）解法一：（I ）作MECD交SD于点 E，则MEAB，ME平面 SAD 连接 AE ，则四边形 ABME 为直角梯形作MFAB，垂足为 F，则 AFME 为矩形设MEx，则SEx，222(2)2AEEDADx2(2)2,2MFAExFBx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 / 15 由2tan60 ,(2)23(2)MFFBxx。得解得1x即1ME，从而12MEDC所以M为侧棱SC的中点（）222MBBCMC，又60 ,2ABMAB, 所以ABM为等边三角形，又由（）知 M为 SC中点2,6,2SMSAAM，故222,90SASMAMSMA取AM 中 点G， 连 结BG， 取SA 中 点H， 连 结GH ， 则,B GA MG HA M, 由此知BGH为二面角SAMB的平面角连接BH，在BGH中，22312223,2222BGAMGHSMBHABAH所以2226cos23BGGHBHBGHBGGH二面角SAMB的大小为6arccos()3解法二 : 以 D为坐标原点，射线DA为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设( 2,0,0)A，则( 2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)BCS（）设(0)SMMC, 则2222(0,),(2,)1111MMB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 / 15 又(0,2,0),60ABMB AB故| |cos60MBABMBAB即222422( 2)()()111解得1，即SMMC所以 M为侧棱 SC的中点（II ）由(0,1,1), ( 2,0,0)MA，得 AM的中点2 1 1(,)22 2G又2 31(,),(0,1,1),(2,1,1)222GBMSAM0,0GBAMMSAM所以,GBAM MSAM因此,GB MS等于二面角SAMB的平面角6cos,3|GBMSGB MSGBMS所以二面角SAMB的大小为6arccos()3 (20)（本小题满分 12分）（注意：在试卷卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜1局。（）求再赛 2局结束这次比赛的概率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 / 15 （）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解读】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第i局甲获胜”为事件)5,4 ,3(iAi，“第j局乙获胜”为事件(3,4,5)jBj。（）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则4343BBAAA，由于各局比赛结果相互独立，故34343434( )()()()P AP AABBP AAP BB3434()()()()P AP AP BP B52.04 .04.06.06.0（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而54354343ABAAABAAB，由于各局比赛结果相互独立，故)()(54354343ABAAABAAPBP648. 06 .04.06.06.06 .04.06.06 .0)()()()()()()()()()()(5435434354354343APBPAPAPAPBPAPAPABAPAABPAAP（21）（本小题满分 12分）（注意：在试卷卷上作答无效）已知函数42( )36f xxx. （）讨论( )f x的单调性；（）设点 P在曲线( )yf x上，若该曲线在点P 处的切线l通过精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 / 15 坐标原点，求l的方程【解读】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）366( )464 ()()22fxxxx xx令( )0fx得026x或26x；令( )0fx得26x或260 x因 此，xf在区 间)0,26(和),26(为增 函 数 ； 在区 间)26,(和)26,0(为减函数。（）设点)(,(00 xfxP，由l过原点知，l的方程为0()yfxx，因此000()()f xx fx，即0)64(6303002040 xxxxx，整理得0)2)(1(2020 xx，解得20 x或20 x因此切线l的方程为xy2或2 2yx (22)（本小题满分 12分）（注意：在试卷卷上作答无效）如图 ， 已 知抛 物线2:E yx与 圆222: (4)(0)Mxyrr相交 于A、B、C、D 四个点。（）求r的取值范围（）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P的坐标。解：（）将抛物线2:E yx代入圆222: (4)(0)Mxyrr的方程，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 / 15 消去2y，整理得227160 xxrE与M有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根12xx、由此得2212212( 7)4(16)070160rxxxxr解得215164r又0r所以r的取值范围是15(,4)2（II） 设四个交点的坐标分别为11(,)A xx、11(,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx。则由（ I）根据韦达定理有212127,16xxx xr，15(,4)2r则2112211212 |()|()2Sxxxxxxxx222212121212()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr令216rt，则22(72 ) (72 )Stt下面求2S的最大值。方法 1：由三次均值有：221(72 ) (72 )(72 )(72 )(144 )2Sttttt331 7272144128()()2323ttt当 且 仅 当721 44tt， 即76t时 取 最 大 值 。 经 检 验 此 时15(,4)2r满足题意。方 法2 ： 设 四 个 交 点 的 坐 标 分 别 为11(,)A xx、11(,)B xx、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 / 15 22(,)C xx、22(,)D xx则直线 AC、BD 的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy解得点 P的坐标为)0 ,(21xx。设21xxt，由216rt及（）得7(0,)2t由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积|)22(212121xxxxS则4)(2(2122122112xxxxxxxxS将721xx，txx21代入上式，并令2)(Stf，得)270(34398288)27()27()(232tttttttf，2( )2456982(27)(67)fttttt，令( )0ft得67t，或27t（舍去）当670t时，( )0ft；当67t时( )0ft；当2767t时，( )0ft故当且仅当67t时，)(tf有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点 P的坐标为)0,67(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页