2022年高考数学三角函数知识点总结及练习 2.pdf
名师总结优秀知识点三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1. 与角终边相同的角的集合,2ZkkS2. 三角函数的定义（六种）三角函数是x、y、r三个量的比值3. 三角函数的符号口诀：一正二弦，三切四余弦。4. 三角函数线正弦线 MP=sin余弦线 OM=cos正切线 AT=tan5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cottan1c scsi n1s ecc o s口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。6. 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。k2222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页名师总结优秀知识点正弦sinsinsinsinsincoscos余弦coscoscoscoscossinsin正切tantantantantancotcot余切cotcotcotcotcottantan7. 两角和与差的三角函数t a nt a n1t a nt a n)t a n (t a nt a n1t a nt a n)t a n (s i ns i nc o sc o s)c o s (s i ns i nc o sc o s)c o s (s i nc o sc o ss i n)s i n (s inc o sc o ss i n)s i n (8. 二倍角公式代换：令22222tan1tan22tansincossin211cos22coscossin22sin降幂公式22cos1cos22cos1sin22半角公式：2cos12sin；2cos12cos；cos1cos12tancos1sinsincos12tan9. 三角函数的图象和性质函数xysinxycosxytan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页名师总结优秀知识点图象定义域R R ZkkxRxx,2|且值域最值 1 , 12/2kx时1maxykx22/时1miny1 , 1kx2时1maxykx2时1minyR 无最大值无最小值周期性周期为2周期为2周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在22,22kk上都是增函数；在232,22kk上都是减函数（Zk）在2,2kk上都是增函数，在2,2kk上都是减函数（Zk）在2,2kk内都是增函数（Zk）10. 函数)sin(xAy的图象变换0,0A函数)sin(xAy的图象可以通过下列两种方式得到：（1）倍横坐标缩短到原来的图象左移1)sin(sinxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页名师总结优秀知识点)sin(xy)sin( xAyA倍纵坐标伸长为原来的（2）图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin1xyxy)sin(xy)sin( xAyA倍纵坐标伸长为原来的（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。4. 角的和与差的相对性如：)(角的倍角与半角的相对性如：422,225. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。6. 数形结合：心中有图，观图解题。7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。【典型例题】1. 如：abxbaxbxaytan),sin(cossin22（化成一个角的一个三角函数）)6sin(2cossin3)3sin(2cos3sin)4sin(2cossinxxxyxxxyxxxy；例 1 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？（1）xxxxxf22cos3cossin2sin)(（2）1cossinsin)(2xxxxf解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页名师总结优秀知识点（1）)42sin(22xy，22maxy，)(8Zkkx)(83,22minZkkxy（2）)42sin(2223xy，223maxy，)(83Zkkx223miny，)(8Zkkx2.“1”的妙用凑一拆一熟悉下列三角式子的化简)4sin(2cossincossin21)42sin(22cos2sin2cos2sin21sin12sin2cos1；2cos2cos1例 2 化简8cos228sin12。答案：4sin23. 化异为同例 3 已知2tan，求：（1）cossincossin（2）222sincos32sin答案：（1）3； （2）14例 4 已知2,222tan，求：cossin1sin2cos22答案：223精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页名师总结优秀知识点4. cossin与cossin间的相互转化（1）若tcossin，则21cossin2t；1sin2t；cossin= 22t（2）若tcossin，则t21cossin；t21cossin（3）2sin2cossin1cottan例 5 化简：8cot8tan。答案：22例 6 若在第二象限，252cos2sin，求2cos2sin。答案：235. 互为余角的三角函数相互转化若2，则cossin；sincos例 7 已知41)3sin(，则)6cos(。答案：41例 8 求值：10cos50sin40sin。答案：21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页名师总结优秀知识点例 9 求值：54sin18sin。答案：416. 公式的变形及活用（1）tantan1)tan(tantan（2）若2)tan1)(tan1(4BABA例 10 计算)45tan1()3tan1)(2tan1)(1tan1(。答案：232例 11 10tan70tan310tan70tan。答案：37. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性例 12 若2)tan(,31tan，则tan。答案： 7 例 13 若02cos7)2cos(5，则2tan2tan。答案：6例14 在ABC中， A 为最小角，C 为最大角，且8.0)2cos(CA，8 .0sin B，求)22cos(CB的值。答案：625527精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页名师总结优秀知识点8. 角的范围的限定由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。例 15 已知),0(,31cossin，求2cos。答案：917例 16 若是第二象限角且252cos2sin，求2cos2sin的值。解法一： 利用公式sin1)2cos2(sin2然后限定角的范围。解法二： 设t2cos2sin利用平方和求t的值，然后限定角的范围。解法三： 利用)2cos2)(sin2cos2(sincos，可回避限定角的范围。答案：239. 在三角形中的有关问题180CBA；CBA180；222CBA结论：CBAsin)sin(；CBAcos)cos(2cos2sinCBA；2sin2cosCBA例 17 已知 A、B、C 是ABC的内角且2lgcoslgsinlgsinlgCBA，试判断此三角形的形状。答案： 等腰三角形， B=C 例 18 在锐角三角形ABC 中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页名师总结优秀知识点证明： 由2BA则220AB故BAcossin同理CBcossinACc o ss i n三式相加，得证。10. 形如n2cos8cos4cos2cos的化简例 19 求值： （1）72cos36cos（2）74cos72cos7cos答案：（1）41（ 2）8111. 三角函数图像和性质的应用会求定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”） ；会解简单的三角不等式、三角方程、比较大小。例 20 求下列函数的定义域。（1）)sin(coslgxy（2）xxytanlog25 .0答案：（1）)(22,22(Zkkk（2）4,)2,0(例 21 求下列函数的值域。（1）, 0sin2sinxxxy（2）若x是锐角，则xxycossin的值域。答案：（1）31,0（2）2, 1(12. 可化为形如：BxAy)sin(的形式（一个角的一个三角函数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页名师总结优秀知识点例 22 已知函数xxxxy22sincossin32cos3，求“一套”。答案：2)62sin(2xy，定义域： R；值域：4, 0，4maxy，0miny；T对称轴)(62Zkkx增区间：6,3kk减区间：)(32,6Zkkk13. 函数BxAy)sin(的图像的变换两个题型，两种途径题型一：已知解析式BxAy)sin(确定其变换方法变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。注： 关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系题型二：由函数图像求其解析式BxAy)sin(例 23 已知函数)sin(xAy， （0,0A，2）在一个周期内，当6x时，y有 最 大 值 为2 ， 当32x时 ，y有 最 小 值 为2， 求 函 数 表 达 式 ， 并 画 出 函 数)sin(xAy在一个周期内的简图。 （用五点法列表描点）答案：)62sin(2xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页名师总结优秀知识点14. 可化为形如：cbtaty2，Dt（定义域有限制的一元二次函数）例 24 求函数)cos5)(cos2(3xxy的值域解：21,41例 25 已知xaxysin2cos，若记其最大值为)(ag，求)(ag的解析式。解：41)2(sin22aaxy，当2a时，)(aga当22a时，41)(2aag当2a时，aag)(15. 周期函数与周期例 26 已知函数)(xfy对定义域中每一个x都有)2()2(xfTxf， 其中0T， 则)(xf的周期。解： T 例 27 已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)()2(xfxf成立，求其周期。解： 4 例 28 已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)2()2(xfxf成立，求其周期。解： 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页名师总结优秀知识点例 29 已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)(1)3(xfxf成立，求其周期。解： 6 例 30 已知奇函数)(xfy对定义域中每一个x都有)(1)(1)3(xfxfxf成立，求其周期。解： 6 16. 函数与方程的思想例 31 方程xxsin100的解的个数。解： 63 【模拟试题】（答题时间：60 分钟）1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？xxxf66co ss i n)(2. 已知2tan，求：22cos3cossin2sin3. 设41cossin，则cossin。4. 求xxxxycossincossin的最大值和最小值。5. 求值：40cos170sin)10tan31 (50sin40cos。6. 若51cossin；),0(，求cot7. 已知、),0(且21)tan(，71tan，求2的值。8. a为何值时方程0cos2cosaxx有解？9. 方程0sin2cosxax，,0 x有两解时求a的值。10. 求值：（1）80cos60cos40cos20cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页名师总结优秀知识点（2）54sin18sin11. 求下列函数的定义域。3t a ns i nlgxxy12. 已知函数xxxxy22sincossin32cos3，当4,4x时，求函数的最大值和最小值及何时取到？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页名师总结优秀知识点【试题答案】1. xy2sin4312，1maxy，)(2Zkkx41m i ny，)(42Zkkx2. 5113. 264. 令xxtcossin，43)1(212ty，2,2t，43miny，243maxy5. 26. 347. 提示： 关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。解：31)tan(tan1)t a n ()2t an (又由2得2，40得220则02故4328. 89,2a9. )1 ,(a10.（1）161（ 2）4111. )2,322()22,2(kkkk（Zk）12. 当4x时，32miny；6x时，4maxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页名师总结优秀知识点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
