2022年高考数学双曲线标准方程典型例题 .pdf

学习必备欢迎下载（一）双曲线的标准方程典型例题例 1讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征分析： 由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论解： （1） 当9k时，025k，09k， 所给方程表示椭圆， 此时ka252，kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（4， 0） ， （4，0） （ 2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（4，0） ， ） （ 4，0） （3）25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹例 2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上（2）6c，经过点（5， 2） ，焦点在x轴上（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，解： （1）设双曲线方程为122nymx，P、Q两点在双曲线上，12592561162259nmnm解得916nm所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在x轴上，6c，设所求双曲线方程为：1622yx（其中60）双曲线经过点 （5，2） ，16425，5或30（舍去）， 所求双曲线方程是1522yx（3）设所求双曲线方程为：160141622yx，双曲线过点223，14416184或14（舍） ，所求双曲线方程为181222yx说明：与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622yx后，便有了以上巧妙的设法例 3 已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F， 点P在双曲线上的左支上且3221PFPF， 求21PFF解：点P在双曲线的左支上， 621PFPF， 362212221PFPFPFPF， 1002221PFPF100441222221bacFF，9021PFF说明： “点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载例 4 已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点， 点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积 解： P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点4221aPFPF,52221cFF9021PFF，在21FPFRt中，202212221FFPFPF162212221221PFPFPFPFPFPF，1622021PFPF，221PFPF1212121PFPFSPFF例 5在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹 解： 以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则01，B，01 ，C设yxA，由ABCsin21sinsin及正弦定理可得：121BCACAB2BC， 点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：0012222babyax，12a，22c， 21a，1c， 43222acb， 所求双曲线方程为134422yx01ACAB， 21x，点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分例6在周长为48 的直角三角形MPN中，90MPN，43tanPMN，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程分析： 由双曲线定义可知aPNPM2，cMN2，所以利用条件确定MPN的边长是关键解： MPN的周长为48，且43tanPMN，设kPN3，kPM4，则kMN5由48543kkk，得4k12PN，16PM，20MN以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222byax)0,0(ba由4PNPM，得42a，2a，42a由20MN，得202c，10c由96222acb，得所求双曲线方程为196422yx例 7求下列动圆圆心M的轨迹方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载（1）与2222yxC：内切，且过点02，A（2）与11221yxC：和41222yxC ：都外切（3）与93221yxC：外切，且与13222yxC ：内切 分析： 这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如果相切的1C、2C的半径为1r、2r且21rr，则当它们外切时，2121rrOO；当它们内切时，2121rrOO解： 设动圆M的半径为r（1）1C与M内切，点A在C外2rMC，rMA，2MCMA，点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：22a，2c，27222acb，双曲线方程为2172222xyx（2）M与1C、2C都外切，11rMC，22rMC，112MCMC点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有：21a，1c，43222acb所求的双曲线的方程为：43134422yxy（3）M与1C外切，且与2C内切，31rMC，12rMC，421MCMC点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5222acb所求双曲线方程为：215422xyx例 8P是双曲线1366422yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值解： 在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c由P是双曲线上一点，得1621PFPF12PF或332PF又22acPF，得332PF说明： 本题容易忽视acPF2这一条件，而得出错误的结论12PF或332PF例 9若椭圆122nymx)0(nm和双曲线122tysx)0,(ts有相同的焦点1F和2F，而P是这两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载条曲线的一个交点，则21PFPF的值是 () AsmB)(21smC22smDsm解： 因为P在椭圆上，所以mPFPF221又P在双曲线上，所以sPFPF221两式平方相减，得)(4421smPFPF，故smPFPF21选 (A) 例 10 若一个动点),(yxP到两个定点)0,1(A、)0,1 (1A的距离之差的绝对值为定值a)0(a，讨论点P的轨迹 分析： 本题的关键在于讨论a因21AA，讨论的依据是以0 和 2 为分界点，应讨论以下四种情况：0a，)2,0(a，2a，2a解：21AA(1)当0a时，轨迹是线段1AA的垂直平分线，即y轴，方程为0 x(2)当20a时，轨迹是以A、1A为焦点的双曲线，其方程为14142222ayax(3)当2a时，轨迹是两条射线)1(0 xy或)1(0 xy(4)当2a时无轨迹例11如图，圆422yx与y轴的两个交点分别为A、B，以A、B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点分别为C、D，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程分析： 求双曲线的方程，即需确定a、b的值，而42c，又222bac，所以只需确定其中的一个量由双曲线定义aBCAC2，又BCA为直角三角形，故只需在梯形ABCD的周长最大时， 确定BC的值即可解： 设双曲线的方程为12222bxay(0,0 ba)，),(00yxC(00 x，00y)，tBC(220t)连结AC，则90ACB作ABCE于E，则有ABBEBC24)2(02yt，即4220ty梯形ABCD的周长0224ytl即10)2(21822122tttl当2t时，l最大此时，2BC，32AC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载又C在双曲线的上支上，且B、A分别为上、下两焦点，aBCAC2，即2322a13a，即3242a32222acb所求双曲线方程为13232422xy说明： 解答本题易忽视BC的取值范围，应引起注意例 12A、B、C是我方三个炮兵阵地，A和B正东 6 千米，C在B正北偏西30，相距4 千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此s4后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1skm，A若炮击P地，求炮击的方位角分析： 点P到B、C距离相等，因此点P在线段BC的垂直平分线上又4PAPB，因此P在以B、A为焦点的双曲线的右支上由交轨法可求P的坐标，进而求炮击的方位角解： 如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则)0,3(B、)0,3(A、)32,5(C因为PCPB，所以点P在线段BC的垂直平分线上因为3BCk，BC中点)3,4(D，所以直线)4(313xyD：又4PAPB，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上设),(yxP，则双曲线方程为15422yx)0(x联立、式，得8x，35y所以)35,8(P因此33835PAk故炮击的方位角为北偏东30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页