2022年高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 .pdf

学习必备欢迎下载高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1 研究集合必须注意集合元素的特征即三性( 确定 , 互异 , 无序 ); 已知集合 A=x,xy,lgxy,集合 B=0, x,y,且 A=B,则 x+y= -22 研究集合 , 首先必须弄清代表元素, 才能理解集合的意义. （1）已知“集合M=yy=x2 ,x R,N=y y=x2+1,x R, 求 M N” ；与“集合M=（ x,y ） y=x2 ,xR,N=(x,y)y=x2+1,x R求 M N”的区别 . （2） 已知集合AB圆 ，直线， 则AB中的元素个数是_0 或 1 或 2_个 .你注意空集了吗？（3）设( )f x的定义域A是无限集，则下列集合中必为无限集的有 |( ),y yf xxA( , ) |( ),x yyf xxA|( )0,xf xxA|( )2,xf xxA|( )x yf x3 集合 A、B，BA时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集BA时是否忘记A. 例如：012222xaxa对一切Rx恒成立， 求 a 的取植范围， 你讨论了2a的情况了吗？4 (CUA) ( CU B) = CU(AB) , (CUA)( CUB) = CU(AB)；,ABBBA ABBAB, 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n如满足条件4, 3 ,2, 11M的集合M共有多少个（特别注意）答案：325解集合问题的基本工具是韦恩图. 某文艺小组共有10 名成员 , 每人至少会唱歌和跳舞中的一项, 其中 7人会唱歌跳舞5 人会 , 现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目, 问有多少种不同的选法？答案： 35 6两集合之间的关系., 14, 12ZkkxxNZkkxxM7 命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题. （1）原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. （2） “命题的否定”与“否命题”的区别：_ 练习：（1）命题“异面直线,a b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”，求出该命题的否命题. （2）命题“2,3xQx使成立” ，求该命题的否定. （3）若存在13a，使不等式2(2)20axax，求x的取值范围 . （213xx或）8、你对映射的概念了解了吗？映射f ：AB 中， A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，映射与函数的关系如何？例如：函数xfy与直线ax的交点的个数有 1 个9、函数的几个重要性质：如果函数xfy对于一切Rx， 都有xafxaf或 f （2a-x ） =f （x） ， 那么函数xfy的图象关于直线ax对称 . 函数xfy与函数xfy的图象关于直线0 x对称；函数xfy与函数xfy的图象关于直线0y对称；函数xfy与函数xfy的图象关于坐标原点对称. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载若奇函数xfy在区间,0上是递增函数，则xfy在区间0,上也是递增函数若偶函数xfy在区间,0上是递增函数，则xfy在区间0,上是递减函数函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数axfy()0(a的图象是把函数xfy的图象沿x 轴向右平移a个单位得到的；函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的; 函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y 轴向下平移a个单位得到的. 函数yfxa与函数yfxb的图象关于直线2abx对称例如：（1）函数xfy满足11fxfx则关于直线1x对称（2）函数1yfx与1yfx关于直线1x对称（3）函数2log1yax（0a）的图象关于直线2x对称，则a=12（4）函数sin 3yx的图象可由1cos3yx的图象按向量a(,1)2（a最小）平移得到. 10、求一个函数的解析式，你标注了该函数的定义域了吗？例如：（1）若(sin)cos2fxx，则fx1,1（2）若3311()f xxxx，则fx33xx11、求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？例如：（1）函数 y=2)3lg()4(xxx的定义域是0,3(3,4)；（2）函数)(xf的定义域是 0,1,求)(log5. 0 xf的定义域 .1,12（3）函数(2 )xf的定义域是（0,1,求2(log)fx的定义域 . 2,4（4）函数)(xf的定义域是 ba,0ab求函数)()()(xfxfxF的定义域,aa12、你知道求函数值域的常用方法有哪些吗，含参的二次函数的值域、最值要记得讨论. 例如（ 1）已知函数xfy的值域是 ba, ，则函数1yfx的值域是, a b（2）函数12yxx的值域是1,2（3）函数21yxx的值域是231,2（4）函数2121xxy的值域是,113、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？在公共定义域内: 两个奇函数的乘积是偶函数; 两个偶函数的乘积是偶函数; 一个奇函数与一个偶函数的乘积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载是奇函数 ; 例如：（1）函数2(0)fxxx的奇偶性是非奇非偶（2）函数xfy是 R上的奇函数，且0 x时，12xfx，则fx的表达式为14、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？( 取值 , 作差 , 判正负 .) 可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法. 在求函数的单调区间或求解不等式时，你知道函数的定义域要优先考虑吗？例如：（1）函数212log (23)yxx的单调减区间为3,（2）若函数212log (3 )yxaxa在区间2,上是减函数，则实数a 的取值范围是（3）若定义在R 上的偶函数fx在区间0,上是单调增函数，则不等式1flgfx的解集为10,10,1015、你知道钩型函数0axaxy的单调区间吗？（该函数在a,和,a上单调递增；在0 ,a和a,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！例如：函数2221xyx的值域为3 2,22232xyx的值域为4 3,316、幂函数与指数函数有何区别？例如：（1）若幂函数223233fxx是0,上的单调减函数，则= 2 ，1 （2）若关于x 的方程4210 xxaa有解，则实数a 的取值范围是22 2a17、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（bbabbanaccanloglog,logloglog）你还记得对数恒等式吗？（babalog）例如： （1） x、 y、 z0,且346xyz， 则 3x、 4y、 6z 的大小关系可按从小到大的顺序排列为 6z4y3x （2）若集合111log2,23nAnnN，则 A的子集有 32 个18、求解对数函数问题时，注意真数与底数的限制条件！例如：（1）方程122log (2)xx的解的个数是 2 （2）不等式(1)(1)log(21)log(1)aaxx成立的充要条件是1x19、 “实系数一元二次方程02cbxax有实数解”转化为“042acb” ，你是否注意到必须0a；当 a=0 时， “方程有解”不能转化为042acb若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？已知函数22lg111yaxax（ 1）若函数的定义域为R，求 a 的取值范围是（2）若函数的值域为R，求 a 的取值范围是51,13aaa二三角1 三角公式记住了吗？两角和与差的公式_； 二倍角公式 :_ 解题时本着“三看”的基本原则来进行: “看角 , 看函数 , 看特征” , 基本的技巧有: 巧变角 , 公式变形使用, 化切割为弦 , 用倍角公式将高次降次, 2 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？3 在三角中，你知道1 等于什么吗？（221sincosxxtancottansincos0142xx这些统称为1 的代换 ) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用诱导公试：奇变偶不变，符号看象限4 在 三 角 的 恒 等 变 形 中 ， 要 特 别 注 意 角 的 各 种 变 换 （ 如,)(,)(222等）5 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）6 你还记得三角化简的通性通法吗？（切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2 7 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？会求吗？41518sin,42615cos75sin,42675cos15sin练习：（1）tan(0)baa是cos2sin2aba的充分不必要条件 . 解析：sintansincossinsincossincos1cos2sin 2cos2sin 222bbababaaababa反之，若cos2sin2aba成立，则未必有tan,ba取0,2a即可，故为充分不必要条件易错原因：未考虑tan不存在的情况（2）已知34sin,cos,2525则角的终边在第四象限解 析 ： 因 为34sin,cos,2525故2是 第 二 象 限 角 ， 即22()22kkkZ， 故424()kkkZ，在第三或第四象限以上的结果是错误的，正确的如下：由34sin,cos,2525知322()42kkkZ所以3424()2kkkZ，故在第四象限易错原因：角度的存在区间范围过大8 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lrSrl21,扇形) 9辅助角公式：xbaxbxasincossin22( 其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由abtan确定 ) 在求最值、化简时起着重要作用. 10. 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的 x 值的集合吗？（别忘了kZ）三角函数性质要记牢. 函数 y=)sin(xAk 的图象及性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载振幅 |A| ，周期 T=2, 若 x=x0为此函数的对称轴，则x0是使 y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值 的x的 集 合 为,2kx xkz，当0, 0 A时 函 数 的 增 区 间 为22,22kkkz，减区间为；当0时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论. 五点作图法：令x依次为2,23,20求出 x 与 y，依点yx,作图练习：如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，（1）试确定在时刻mint时点P距地面的高度； （2）摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距地面超过70m? 11. 三角函数图像变换：（1）将函数为( )yfx的图像向右平移4个单位后， 再作关于x轴的对称变换， 得到函数cos2yx的图像，则( )f xsin2x（2）( )2sin()2cos6f xxx的图像按向量m平移得到( )g x的图像，若( )g x是偶函数，求|m最小的向量,03m12. 有关斜三角形的几个结论：在Rt ABC中，222,ACAD AB BCBD BA CDAD BD内切圆半径2abcr（ S为ABC的面积）在ABC中，sin()sin,cos()cos,ABCABCtantantantanantanABCA tBCsincos,cossin2222ABCABC正弦定理余弦定理面积公式111sinsinsin222SabCbcAacB内切圆半径2srabc13在ABC中，判断下列命题的真假（1）AB的充要条件是cos2cos2AB（真）(2) tantantan0ABC, 则ABC是锐角三角形（真）（3）若ABC是锐角三角形，则cossinAB（真）40 50 A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载三、数列1等差数列中的重要性质：（1）若qpnm，则qpnmaaaa；（2）212nn, a, kanab数列仍成等差数列；仍成等差数列n23nn2nnSS,SS,S；（3）若 na ，nb 是等差数列，,nnST分别为它们的前n项和，则2121mmmmaSbT；（4） 在等差数列中, 求Sn 的最大 ( 小 ) 值, 其中一个思路是找出最后一正项（负项）ka， 那么max(min)()nkSS练习：在等差数列na 中，若9418,240,30nnSSa，则n 15 na ，nb 都是等差数列，前n项和分别为,nnST，且2132nnSnTn，则99ab3353若 na 的首项为 14，前n和为nS，点1(,)nnaa在直线20 xy上，那nS最大时，n 8 2等比数列中的重要性质：（1）若qpnm，则qpnmaaaa；（2）kS，kkSS2，kkSS23成等比数列；（3）若 na 是等差数列，则nab是等比数列，若na 是等比数列且0na，则 lognab是等差数列；（4）类比等差数列而得的有关结论练习：若 na 是等比数列，4738512,124a aaa，公比q为整数，则10a 512 已知数列 nx满足31212313521nnxxxxxxxxn，并且128nxxx，那么1x28n 等 差 数 列 na 满 足12212nnaanabn， 则 nb 也 是 等 差 数 列 ， 类 比 等 比 数 列 nA 满 足1 2 323123nnnnBa a aa则nB 也是等比数列3等差数列的通项，前n项和公式的再认识：1(1)naandAnB是关于n的一次函数，1()2nnn aaSn a中，2nSAnBn等比数列呢？练习：等比数列 na 中，前 n项和123nnSr，则r234你知道“错位相减”求和吗？（如：求1(21) 33nn的前 n项和）你知道“裂项相消”求和吗？（如：求1(2)n n的前 n项和）5由递推关系求通项的常见方法：练习：na 中，112,21nnaaa，则na121n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载na 中，1112,22nnnaaa，则na2nn（注：关系式中的2换成 3呢）na 满足11a且212nnnaaa，则na1221nna 满足12a且1121()2nnaaaa，则na1322n，ns342n6善于捕捉利用分项求和与放缩法使所得数列为等差等比数列再求和的机会练习：正项数列 na 中，111,21nnaaa，求证：12111111112nnaaa分析：1111112112(1)121nnnnnnaaaaaa231211111111( )()()111122222nnnaaa已知 na 中111,(2,)(1)!naannNn，求证：1233naaaa分析：11111(3)(1)!1 2 3(2)(1)(2)(1)21nannnnnnnn12311111111133223211naaaannn四、不等式1、同向不等式能相减，相除吗？（不能）2、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）3、分式不等式0aaxgxf的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回）4、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零. ）5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？( 一般是根据定义分类讨论) 6、 利用重要不等式abba2以及变式22baab等求函数的最值时， 你是否注意到a， bR（或a ，b 非负） ，且“等号成立”时的条件，积ab 或和 ab 其中之一应是定值？( 一正二定三相等) 7、)Rb,(a,ba2ab2222abbaba( 当且仅当cba时，取等号） ； a 、 b、 cR，cabcabcba222（当且仅当cba时，取等号）；8、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10a或1a）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是9、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”10、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）五、向量1两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意ba是向量平行的充分不必要条件.( 定义及坐标表示) 2 向 量 可 以 解 决 有 关 夹 角 、 距 离 、 平 行 和 垂 直 等 问 题 ， 要 记 住 以 下 公 式 ： |a|2=aa，121222221122cos|x xy yababxyxy3利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载(1)0,(,0,022aba baba bab,0,)2a b（2）0ba是向量ba和向量夹角为钝角的必要而非充分条件. 4向量的运算要和实数运算有区别：（1）如两边不能约去一个向量，即abac推不出bc， （ 2）向量的乘法不满足结合律，即cbacba)()(， （3）两向量不能相除. 5你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？6 几个重要结论： （1） 已知,OA OB不共线，OPOAOB， 则 A， P， B三点共线的充要条件是1；（ 2）向量中点公式：若C 是 AB 的中点，则1()2OCOAOB； （ 3）向量重心公式：在ABC中，0OAOBOCO是ABC的重心 . 例 ： 设F 为 抛 物 线24yx的 焦 点 ， A， B， C 为 该 抛 物 线 上 三 点 ， 若0FAFBFC， 则|F AF BF C_6_ 7向量等式OCOAOB的常见变形方法： （1）两边同时平方； （2）两边同时乘以一个向量；（3）合并成两个新向量间的线性关系. 8一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量. 例1 ABC内 接 于 以O 为 圆 心 ， 1为 半 径 的 圆 ， 且3450OAOBOC， 求 数 量 积,OA OB OB OC OC OA. 430,55OA OBOB OCOC OA例 2平面四边形ABCD 中，313,5,5,cos,5ABADACDAC12cos13BAC，设ACxAByAD，求, x y的值5141514xy. 例 3如图，设点O在ABC内部，且有230OAOBOC，则:AOCABCSS=1: 3六、导数1导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形. 2几个重要函数的导数：0C, （C为常数）1(xx为常数）()ln(0 xxaaa a且1)a1(log)(0lnaxaxa且1)a()xxee1(ln)xx(sin)cosxx(cos )sinxx导数的四运算法则fxg xfxgxCfxCfx（ C为常数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载fxg xfxg xfxgx2(0)fxfxg xfxgxg xg xgx3 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当( )0fx或( )0fx，带上等号 . 例. 已知20,ab且关于x的函数3211( )32f xxaxa bx在 R上有极值，则a与b的夹角的范围为,340()0fx是函数 f(x)在 x0处取得极值的必要非充分条件，f(x) 在 x0处取得极值的充分必要条件是什么？5求函数极值的方法：（1）先找定义域，求导数xf；（2）求方程xf=0 的根nxxx,21找出定义域的分界点；（3）列表，根据单调性求出极值. 已知( )f x在0 x处的极值为A，相当于给出了两个条件：函数在此点导数值为零，函数在此点的值为定值 . 6 利用导数求最值的步骤：（1）求函数在给定区间上的极值；（2）比较区间端点所对的函数值与极值的大小, 确定最大值与最小值. 7含有参数的函数求最值的方法：看导数为0 的点与定义域之间的关系. 8利用导数证明不等式( )( )f xg x的步骤：（1）作差( )( )( )F xf xg x；（2）判断函数( )F x在定义域上的单调性并求它的最小值；（3）判断最小值0A；（4）结论：( )0F xA，则( )( )f xg x. 9利用导数判断方程的解的情况. 已知函数( )f x在1x处的导数为1，则当0 x时(1)(1)2fxfx趋近于12解析：由定义得当0 x时，(1)(1)1(1)(1)11(1)2222fxffxffxx易错原因：不会利用导数的定义来解题. 例 2. 函数32( )f xxaxbxc，其中, ,a b cR，当230ab时，( )f x在 R上的增减性是解析：2( )32fxxaxb，则24(3 )0ab在 R上( )0fx，故是增函数 . 易错原因：不善于利用导函数的来判别单调性. 例 3. 若函数321( )( 1)53f xxfxx，则( 1)f= 解析：设321( )53f xxaxx， 则2( )21fxxax.故( 1)22fa. 由22aa知2a.有( 1)f=-2. 易错原因：不会运用待定系数法解题. 例 4.3( )f xxx，则当(0,2)x时，( )f x的值域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载解析：2( )31fxx，令3( )03fxx，( )f x在区间3,23上单调增，在区间30,3上单调减，( )f x的值域为2 3,69. 易错原因：求导之后判别单调区间时概念模糊. 七. 概率 : 1. 古典概型和几何概型的区别. 例如 :(1) 任意取实数 x1,100,恰好落在 50,100之间的概率为12 (2)任意取整数 x1,100,恰好落在 50,100之间的概率为511002有关某个事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率. （1）若 A、B互斥，则 P（A+B ）=P（A）+P（B）；（2）若 A、B对立，则( )1()P AP A. 3. 概率题的解题步骤: (1)记事件 (2)交代总共结果数与A事件中结果数( 几何概率即 D,d ) (3)计算 (4)作答例如 .1 、在等腰直角三角形ABC 中，（1）在斜边 AB 上任取一点 M ，求 AM 小于 AC的概率；22（2）过顶点 C在ACB内任作一条射线CM ，与线段 AB 交于点 M ，求AMAC的概率 .342已知在矩形ABCD 中， AB=5 ，AC=7 ，在矩形内任取一点P，求090APB的概率 .5 696八、统计 : 1. 抽样方法主要有简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体数目较少时，主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，主要特征是均衡分成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。2. 样本估计总体中:注意频率分布直方图的纵坐标常为频率/ 组距 , 小长方形的面积为其频率. 总体特征数的估计 : 121122.nnnxxxxxxxn（ix表示各组的组中值，i表示各组的频率）222122.nxxxxxxsn2ss3. 线性回归方程: 步骤 :(1) 由散点图初步判定是否线性相关; (2)列表求值 ; (3)代入计算 ; (4)交代结论九、立体几何: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载(1) 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化: 线/ 线线/ 面面 / 面, 线线线面面面, 垂直常用向量来证. (2) 已知斜三棱柱的相邻侧面组成的三个二面角中有两个分别为300和 700, 那么第三个二面角的大小为 . 解析 : 作斜三棱柱的直截面, 则第三个二面角的大小为800. 易错原因 : 不知道作直截面. (2) 立体几何中的位置关系, 你都搞清楚了吗? 1. 若nmnlml, 则l ( ) 2. 若,/nnm则/m () 3. 若,nmnm则/n ( ) 4. 若,nm则nm ( ) 5. 若nm,是异面直线 ,/,mnm则/n ( ) 6. 经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b ( ) 7. 若,ll,是两个不同平面, 则/ ( ) 8过平面外两点，有且仅有一个平面与垂直（）9若l上有两点到距离相等，则/l（）10若nmnm,/,/，则/（）11若/,/,nm，则nm（）12若,/,/,mnm则n（）（4）这些公式，你记住了没有？1,21,chschs正棱锥侧直棱柱侧（c：底面周长，h：高，,h：斜高）,)(21hccs正棱台侧（c与,c：上下底面周长，,h：斜高）2rls2圆柱侧rls圆锥侧lrrs)(,圆台侧（r：底面半径，l：母线长）3shV柱体shV31锥体)(31,sssshV台体4334rV球24 rS球十、解析几何1 设直线方程时， 一般可设直线的斜率为k， 你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率 k 不存在的情况？ （例如：一条直线经过点23, 3，且被圆2522yx截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程. 该题就要注意，不要漏掉x+3=0 这一解 .）2倾斜角的范围：0,；两直线夹角的范围：0,2；两向量夹角的范围：0,（1）若aR，则直线cos10 xy的倾斜角的取值范围是解析：cos1yx，设倾斜角为，则tancos，由cos1知1tan1，故30,44. 易错原因：倾斜角理解有误；误以为倾斜角为3,44. （2）直线l过点（ -4 ，-1 ） ，横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程是解析：设直线方程为12yxaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载直线l过点（ -4， -1 ） ，有1412aa，故3a，则直线l的方程为260 xy. 易错分析：错了！ ！ ！遗漏了直线过原点的情况，正确答案是14yx或260 xy. （3）过点 P（1， 1）作直线l，设l与两坐标轴围成的三角形的面积为10，这样的直线有条. 解析：设直线方程为1(1)yk x，则在, x y轴上的截距分别为1,1kkk111102kSkk，k有 4 解，故有4 条. 易错原因：距离与截距概念模糊. 3直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式以及各种形式的局限性. （如点斜式不适用于斜率不存在的直线）4对不重合的两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有1221122121/CACABABAll；0212121BBAAll5直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0. 6直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可设为1xyaa，但不要忘记当 a=0 时，直线y=kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等7 两直线01CByAx和02CByAx的距离公式d= 1222CCAB8直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L 的方向向量为m=（x0，y0）时，直线斜率k= 0oyx；当直线斜率为k 时，直线的方向向量m= 1,k9已知两直线分别过（-2，3）和（ 3，-2 ） ，若这两条直线分别绕者这两个点旋转且保持平行，则这两条直线间的距离的取值范围是解析：这两条直线间的距离最大为52d，则取值范围为0,52错误原因：未注意“保持平行”. 10处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离； （2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷11过直线yx上的一点P向圆 C：22670 xyx作切线，则切线长的最小值为解析： P点在哪里切线长最小呢？设( ,)P x y，切点为A，则在Rt PAC中，222PCACPA22235(3)22()22xxx当 P在点3 3,2 24 切线长最小，为102. 易错原因：找不到等量关系：222PCACPA. 12处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系. 15在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质. 13在求圆的方程及圆的切线方程时，不妨回忆一下其几何作图方法. 尤其是三角形的外接圆、内切圆的作法，两圆内外公切线的作法. 14垂径定理的几种形式：垂直于弦的直径平分弦；平分弦的直径垂直于弦；垂直平分弦的直线过圆心 . 15圆的切线的判定：圆心到直线的距离等于圆的半径；经过半径外端垂直于半径的直线；直线与圆的方程联立0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载16在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便.（焦半径公式：椭圆：|PF1|=；|PF2|=；双曲线： |PF1|=；|PF2|=（其中 F1为左焦点F2为右焦点） ；抛物线：|PF|=|x0|+2p）17 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式0的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0下进行） . 18椭圆中， a，b，c 的关系为；离心率 e=；准线方程为；焦点到相应准线距离为双曲线中， a，b，c 的关系为；离心率 e=；准线方程为；焦点到相应准线距离为19通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 20你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等. 圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便. 数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟！21你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的. 求轨迹方程可别忘了寻求范围呀! （1）1F是椭圆221259xy的一个焦点， M在椭圆上，若12MF，N 是线段1MF的中点，则 |ON|的长度是（ O是原点）解析：考虑椭圆的定义，利用三角形的中位线，|ON|=4 易错原因：找不到快速解题的思路，对于三角形的中位线应用不熟练. （2）已知过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若 |FA|=2|FB|，则椭圆离心率为解析：作图，过B作 AC的垂线，垂足为E，可知 E为 AC的中点 . 1cos6033AEDBABBFe，故23e. 易错原因：应用定义解题不够熟练，构造三角形ABE有困难 . （ 3 ） 若 点P是 以1F、2F为 焦 点 的 椭 圆22221(0)xyabab上 的 一 点 ， 且121210 , t a n2P FP FP F F，则椭圆离心率为解析：120PFPF12PF F为直角三角形. 又121tan2PF F，则122PFPF，设12PFx，则125F Fx故53e. 易错原因：12PF F为直角三角形；121tan2PF F未用好 . （4）已知点1F、2F为椭圆2214xy的焦点， 若 P为椭圆上的点， 当12PF F的面积为1 时，12PFPF的值为解析：猜想120PFPF，然后验证此时12PF F的面积为1，这种考虑抓住了填空题的特殊性，若设(2cos,sin)P，由点到直线的距离公式求12PF F的高，同样可以完成解答. 易错原因：找不到解题的捷径. （5）已知椭圆221xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m的值为解析：将椭圆方程转化为标准形式，注意焦点在y轴，故14m易错原因：未考虑11m的条件 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载附加题 ( 二项式定理 , 概率 ) 1. 分类 加法原理 （加法原理 ）12nNmmm. 2. 分步计数原理（乘法原理 ）12nNmmm. 3. 排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn) 注 : 规定1! 0. 4. 排列恒等式（1）11mmnnAnA； （ 2）11nnnnnnnAAA； （ 3）11mmmnnnAAmA；(4) 1!2 2!3 3!(1)! 1n nn. 5. 组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn). 6. 组合数的两个性质(1)mnC=mnnC ;(2) mnC+1mnC=mnC1；注 : 规定10nC. 7. 组合恒等式（1）11mmnnnCCm； （2）nrrnC0=n2； （3）1121rnrnrrrrrrCCCCC；(4)13502412nnnnnnnCCCCCC8. 排列数与组合数的关系：mmnnAm C！ . 9. 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，. 例题：函数为实数并且是常数axxaxf()()(9) （1）已知)(xf的展开式中3x的系数为49，求常数.a（2）是否存在a的值，使x在定义域中取任意值时，27)(xf恒成立？如存在，求出a的值，如不存在，说明理由. 解析（ 1）Tr+1=C9239999)()(rrrrrrxaCxxa由3923r解得8r498989aC41a（2）),0()()(9xxxaxf要使（27)9xxa只需313xxa10当0a时，设xxaxg)(32212)2(021)(axxaxxgx（0，)2(32a32)2( a（)2(32a，+）)(xg0 + )(xg极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载94343)2()2()(313133232minaaaaaxg20当0a时，不成立 30当1a时，不成立故当27)(94xfa时另解法34322)(axxxaxxaxg只需94,343313aa即10. 等可能性事件的概率()mP An. 11. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) 12.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 例题 :. 由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数0 1 2 3 4 5 人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求： (1) 至多有 2 个人排队的概率；(2) 至少有 2 人排队的概率解析 :(1) 设没有人排除为事件A，1 个人排队为事件B， 2个人排队为事件C，则P(A)=0.1, P(B)=0.16, P(C)=0.3 ，依题意A、B、