2022年样本及抽样分布 .pdf

. . 第六章样本及抽样分布【内容提要】一、简单随机样本与统计量1. 总体 用来表征某一随机试验的数量指标X，其概率分布称为总体的分布。2. 简单随机样本在相同条件下，对总体X进行n次独立的重复观察，将所得结果12,.,nXXX称为从总体X中抽取的容量为n的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值12,.,nx xx，称其为12,.,nXXX的观察值。注: 若12,.,nXXX为总体X的简单随机样本，则12,.,nXXX相互独立，且与总体X同分布。3. 统计量设12,.,nXXX为总体X的简单随机样本，12(,.,)nTg XXX为样本12,.,nXXX的实值函数， 且不含任何未知参数，则称12(,.,)nTg XXX为一个统计量， 将样本值12,.,nx xx代入后算出的函数值12(,.,)ntg xxx称为该统计量的值。注: 设12,.,nXXX为总体X的简单随机样本，12,.,nx xx为相应的样本值，则常用的统计量有: 名称统计量统计量的值样本均值11niiXXn11niixxn样本方差2211()1niiSXXn2211()1niisxxn样本标准差2SS2ss样本k阶原点矩11nkkiiAXn11nkkiiaxn样本k阶中心矩11()nkkiiBXXn11()nkkiibxxn4. 经验分布函数设12,.,nXXX为总体X的简单随机样本，12,.,nxxx为相应的样本值，将样本值按由小到大的顺序重新编号12,1rxxxrn，并设12,.,nxxx中取到kx的频数为km，其中10kkkrmnmn且， 则称1110 ,( ),111,kkinkkikxxrxxmmFxxxxkrnnxx若若其中若为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . 总体X的经验分布函数(或样本分布函数)。注: 设( ),( )nF xFx为总体X的概率分布函数与经验分布函数，则xR，有 : lim( )( )01nnPF xFx，即只要n充分大，则( )( )nFxF x与只有微小的差别。二、抽样分布1.2分布 :设12,.,nXXX为总体(0,1)XN的简单随机样本，则称221nkkX服从自由度为n的2分布，记为2221( )nkkXn。【定理】 设随机变量22( ) ,()nm，且二者相互独立，则.的密度函数为 :2 122,0( )2(2)0 ,0nxnxexf xnx若若；.2分布的再生性 :2()mn；.2分布的数字特征:( ),( )2En Dn；.2分布的临界值 :221( )( )PnPn.( 查表 ) 2. t分布: 设随机变量2(0,1) ,( )XNYn，且二者相互独立，则称随机变量XtY n服从自由度为n的t分布，记为( )tt n。【定理】 设随机变量( )t n，则yx021( )n2( )n2( )( )nyf x分布的密度函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . .的密度函数为 :2(1) 2(1) 2( )(1),(,)(2)nnf xxnxnn；.t分布的极限分布:n时，(0,1)N，即221lim( )( ),(,)2xnf xxex；.t分布的数字特征: 若2n，则( )0 ,( )(2)EDn n；.t分布的临界值 :( )( )PtnPtn.( 查表 ) 3. F分布 : 设随机变量22() ,( )XmYn，且二者相互独立，则称随机变量X mFY n服从自由度为(, )m n的F分布，记为(, )FF m n。【定理】 设随机变量(, )F m n，则.的密度函数为 :222 1() 2() 2,0( )(2)(2) ()0 ,0mnmmnmnmnxxf xmnmxnx若若；.F分布的倒数不变性:1( ,)F n m；.F分布的数字特征:若4n，则222(2)( ),( )2(2) (4)nnmnEDnm nn；.F分布的临界值 :(, )1( ,)PFm nPFn m.( 查表 ) ( )tn( )tny0 x(0,1)( )( )( )Nyxt nyf x虚线：分布的密度函数实线：分布的密度函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . 三、正态总体的统计量的分布1单个正态总体的情形设12,.,nXXX为正态总体2( ,)XN的简单随机样本，令2222111111,() ,()1kkkknknknXXSXXXnnn，则.(0,1)XNn；.222( )nn；.2XS与相互独立，且222(1)(1)nSn；.(1)Xt nSn。2两个正态总体的情形设112,.,nXXX为总体211(,)XN的简单随机样本，212,.,nY YY为总体222(,)YN的简单随机样本，且两个样本之间相互独立，令1212222212111112121111,() ,()11kkkkknknknk nXXYYSXXSYYnnnn，1222222211221122111212(1)(1)11() ,() ,2kkwknknnSnSXYSnnnn，则.1212121122()()(0,1)XYNnn；.2211122222(,)F n n；(, )( )F m nyf x分布的密度函数y10(, )(, )Fm nFm nx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . .2211122222(1,1)SF nnS；. 若2212，则12121112()()(2)wXYt nnSnn。【第六章作业】一、填空题1、设12,.,.nXXX独立同分布， 且有有限的期望()kE X与方差2()0kD X，则n充分大时，近似地有211(,)nkkXXNnn，即(0,1)XNn，特别当12,.,.nXXX独立同分布于2( ,)N时，上述结论还是精确成立的。2、设12,.,.nXXX独立同分布，且有有限的期望()kE X与方差2()0,1,2,.kD Xk，则211nkkYXn依概率收敛到22()，即0，有22211lim()1nknkPXn。3、设1234,XXXX是2(0,2 )N的简单随机样本，且2221234()()(2)YCXXXX，则1 8C。4、设容量为9n的样本之观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6，则该样本之观察值的样本均值为65 9x，样本方差为2140 81s。5、设12,.,nXXX是2( ,)N的简单随机样本，则211( ,)nkkXXNnn。二、单项选择题1、设123,XXX是母体2(,)N的简单随机样本，其中已知，0未知，则下列选项中非统计量的是 (C): A123XXX；B123max,XXX；C2222123()XXX；D1X。2、设12,.,nXXX是母体(1, )Bp的简单随机样本，则下列选项中错误的是(,B D):A当n充分大时，近似地有( ,(1)XN p ppn；B()(1),0,1,2,.,kknknP XkC ppkn；C()(1),0,1,2,.,kkn knP Xk nC ppkn；D()(1),0,1,2,.,kkn kinP XkC ppkn。3、设( )Xt n，则(A):名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . A2(1, )XFn；B2( ,1)XF n；C22( )Xn；D2( )Xt n。4、设12,.,nXXX是总体2(,)N的简单随机样本，令2211111,()1kkk nk nXXSXXnn，而222222234111111() ,() ,()1nnnkkkkkkSXXSXSXnnn，则服从(1)t n的是 (C):A11XtSn；B21XtSn；C3XtSn；D4XtSn。5、设1212,. . ,. ,nnnn mXXXXXX是总体2(0,)N的容量为()nm的简单随机样本，则统计量2211() ()knkknkmVmXnX服从的分布是 (C):A(, )F m n；B(1,1)F nm；C( ,)F n m；D(1,1)F mn。三、计算题1、为了研究某种零件的加工工时定额，随机观察了12 人次的加工工时，测得如下数据(分钟 ):9.8,7.8,8.2,10.5,7.5,8.8,10.0,9.4,8.5,9.5,8.4,9.8，试求样本均值、样本方差、样本标准差。解:22211119.02,()0.8359,0.91431nnkkkkxxsxxssnn。2、从一批人中随机抽取10 人，测得每个人的身高，得到如下数据(cm):173,170,148,160,168,181,151,168,154,177，求该样本观察值的样本分布函数。解:该样本观察值的样本分布函数为: x(,148)148,151151,154154,160160,168( )nFx00.10.20.30.4x168,170170,173173,177177,181181 ,( )nFx0.60.70.80.913、在总体2(52.6,3 )N中随机抽取一容量为36 的样本，求样本均值X落在50.853.8之间的概率。解:由于22(,)(52.6,0.5 )XNnN，故52.6(50.853.8)( 3.62.4)(2.4)(3.6)1(2.4)0.99180.5XPXP。4、在总体(20,3)N中随机抽取两个容量分别为10,15的独立样本，求两个样本均值只差的绝对值大于0.3的概率。解:由于221122(,)(20,0.3),(,)(20,0.2)XNnNXNnN，且相互独立，故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . 12(0,0.5)XXN，从而1212(0.3)1(0.30.5)2(0.30.5)12(0.42) 10.5XXP XXP20.6628 10.3256。5、设1210,.,XXX是总体2(0,0.3 )N的简单随机样本，求2110(1.44)kkPX。解:由于1210,.,XXX是总体2(0,0.3 )N的简单随机样本，故2221101(10)0.3kkX，从而2221101101(1.44)(16)0.10.3kkkkPXPX。6、设1210,.,XXX是总体2( )n的简单随机样本，求2(),(),()E XD XE S。解:由于1210,.,XXX是总体2( )n的简单随机样本，故(),()2 , 110kkE XnD Xnk，故1 01 021111()(),()()0.021010kkkkE XE XnD XD Xn，1 01 0222221111()(10)()()10()()1010kkkKKE SEXXD XEXD XEX22(2)(0.02 )1.98nnnnn。7、在总体2( ,)N中随机抽取一容量为16的简单随机样本(其中,均未知 )， 求22(2.041)P S及22(),()E SD S。解:由于1216,.,XXX是总体2(,)N的简单随机样本，故22215(15)S，故2222(2. 0 4 1 )1(1 53 0. 6 1 5 )10. 0 10. 9 9P SPS，222222()(15)151515E SES，24422222()()(15)301522515D SDS。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -