2022年正弦函数余弦函数的性质知识 .pdf

. 1.4.2 （1）正弦、余弦函数的性质(教学设计 ) 教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：一、创设情境 , 导入新课：1现实生活中的“周而复始”现象：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？（2）现在下午 2 点 30，那么每过 24小时候是几点？（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）2数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律正弦函数( )sinf xx性质如下：（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2 规律是：每隔 2 重复出现一次（或者说每隔2k ,kZ重复出现）222525Oxy11名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - . 3 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有(2)sin(2)sin( )f xkxkxf x也即： （1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x，sin(2)sinxkx恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二、师生互动，新课讲解：1周期函数定义：对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x) 那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。问题：（1） 正弦函数sinyx，xR是不是周期函数，如果是， 周期是多少？ （2k，kZ且0k）余弦函数呢？（2） 观察等式4sin)24sin(是否成立？如果成立，能不能说2是 y=sinx 的周期？（3）若函数( )f x的周期为T，则kT，*kZ也是( )f x的周期吗？为什么？（是，其原因为：( )()(2 )()f xf xTf xTf xkT） 2.最小正周期： T往往是多值的（如 y=sinx 2,4,-2,-4, 都是周期）周期 T 中最小的正数叫做f (x) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为 2（一般称为周期）从图象上可以看出sinyx，xR；cosyx，xR的最小正周期为2；3、例题讲解例 1（课本 P35例 2） 求下列三角函数的周期：xycos3xy2sin（3）12sin()26yx，xR解： （1）3cos(2 )3cosxx，自变量x只要并且至少要增加到2x，函数3cosyx，xR的值才能重复出现，所以，函数3cosyx，xR的周期是2（2）sin(22 )sin 2()sin 2xxx，自变量x只要并且至少要增加到x，函数sin 2yx，xR的值才能重复出现，所以，函数sin2yx，xR的周期是（3）),621sin(6)4(21sin22)621sin(2xxx，自变量x只要并且至少要增加到4x，函数sin 2yx，xR的值才能重复出现，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - . 所以，函数)621sin(2xy，xR的周期是4变式训练 1：求下列三角函数的周期：（1）y=sin3x （2）y=cos3x（3）y=3sin4x (4) y=sin(x+10) (5) y=cos(2x+3) 解：1 sin(3x+2)=sin3x 又 sin(3x+2)=sin3(x+32) 即：f (x+32)=f (x)周期 T=322 cos3x=cos(23x)=cos)6(31x即：f (x+6 )=f (x) T=6 3 3sin4x=3sin(4x+2 )=3sin(）（841x)=f (x+8 ) 即：f(x+8)=f(x) T=8 4sin(x+10)=sin(x+10+2 ) 即 f(x)=f(x+2) T=2 5cos(2x+3)=cos(2x+3)+2 =cos2(x+)+3 即：f(x+)=f(x) T=由以上练习，请同学们自主探究T 与 x 的系数之间的关系。小结：形如 y=Asin( x+) (A,为常数 ,A 0, xR) 周期2|Ty=Acos(x+)也可同法求之一般结论：函数sin()yAxb及函数cos()yAxb，xR的周期2|T课堂巩固练习 2 快速求出下列三角函数的周期(1)y=sinx43（2） y=cos4x+1 (3) y=)5cos(21x (4)y=sin(431x) (5)y=3cos(-352x)-1 三、课堂小结： 1. 周期函数定义：对定义域内任意x, 都有 f(x+T)=f(x). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - . 2.y=sin x与 y=cos x 的周期都是 2k , 最小正周期是 2. 3.sin()yAxb及cos()yAxb的周期2|T四、作业布置 1 、P52 3 2、金太阳导学案与固学案4奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1) 余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。例如：f(-3)=21,f(3)=21 , 即 f(-3)=f(3) ；由于 cos( x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是： 如果点（x,y ）是函数 y=cosx 的图象上的任一点 , 那么,与它关于 y 轴的对称点 (-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有 f(-x)= f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。(2) 正弦函数的图形观察函数 y=sinx 的图象， 当自变量取一对相反数时， 它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - . 也就是说，如果点（ x,y ）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数 y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f( x)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。如果函数 f(x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x) 还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。例 2： 判断下列函数的奇偶性 (1)y=sinxcosx (2)y=cos2x 变式训练 2：判断下列函数的奇偶性（1）y=sinx+cosx (2)y=sin2x 5. 单调性从ysinx，x23,2的图象上可看出：当x2，2时，曲线逐渐上升， sinx的值由 1 增大到 1. 当x2，23时，曲线逐渐下降， sinx的值由 1 减小到 1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间22k，22k(kZ) 上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间22k，232k(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - . 余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到 1；在每一个闭区间 2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到1. 例 3：求函数 y=1sin()23x的单调递增区间。变式训练 3：求函数 y=1sin()23x的单调递减区间。6最大值与最小值。正弦函数 y=sinx 当 x=22k时取最大值 1，当 x=322k时取最小值 -1 。余弦函数 y=cosx 当 x=2k时取最大值 1，当 x=2k最取最小值 -1 。 （以上kZ）例 4： （课本 P38 例 3）下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？（1）y=cosx+1 (2)y= -3sin2x 变式训练 4： （课本 P39例 4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。sin()sin()1810与；2317cos()cos()54与名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - . 课堂巩固练习 2（课本 P40练习 NO ：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思1、正弦函数与余弦函数的周期性，最小正周期的求法。2、正弦函数与余弦函数的奇偶性，会判定三角函数的奇偶性。3、会求sin()yAxb的单调区间。4、会求sin()yAxb的最值。四、课时必记：1、一般结论：函数sin()yAxb及函数cos()yAxb，xR的周期2|T2、y=sinx 为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx 是偶函数，图象关于y 轴对称。3、正弦函数 y=sinx 每一个闭区间22k，22k(kZ) 上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间22k，232k(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到 1. 余弦函数 y=cosx 在每一个闭区间 (2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间 2k，(2k1) (kZ) 上都是减函数，其值从1减小到 1. 4、正弦函数 y=sinx 当 x=22k时取最大值 1，当 x=322k时取最小值 -1 。余弦函数 y=cosx 当 x=2k时取最大值 1，当 x=2k最取最小值 -1 。 （以上kZ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - . 五、分层作业：A组：1、 （课本 P46习题 1.4 A 组 NO：2）2、 （课本 P46习题 1.4 A 组 NO：3）3、 （课本 P46习题 1.4 A 组 NO：4）4、 （课本 P46习题 1.4 A 组 NO：5（1） ）B组：1、 （课本 P46习题 1.4 A 组 NO：5（2） ）2、(tb0135302) 函数 y=Asin(wx+)+C中，A、w、C为常数，且 A0 ，w0 ，则这个函数的最小值是（ C） 。（A）A+C （B）A-C （C）-A+C （D）-A-C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - . C组：1、作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期（1）y=|sinx| (2)y=|cosx| 2、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为 -4，求 k,b 的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -