2019-2020学年数学人教A版4-5检测：模块综合测评 .docx
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若a>b>c,则1b-c-1a-c的值()A.大于0B.小于0C.小于或等于0D.大于或等于0解析因为a>b>c,所以a-c>b-c>0.所以1a-c<1b-c,所以1b-c-1a-c>0,故选A.答案A2.不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.x|-3x<2B.RC.D.x|x<-3或x>2解析令f(x)=|x+3|+|x-2|=-2x-1,x<-3,5,-3x<2,2x+1,x2,则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为.故原不等式的解集是.答案C3.若P=x1+x+y1+y+z1+z(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是()A.P3B.P<3C.P3D.P>3解析因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,所以x1+x+y1+y+z1+z<1+x1+x+1+y1+y+1+z1+z=3,即P<3.答案B4.不等式ax-1x>a的解集为M,且2M,则a的取值范围为()A.14,+B.14,+C.0,12D.0,12解析由已知2M,可得2RM,于是有2a-12a,即-a2a-12a,解得a14,故应选B.答案B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n29=23=6,当且仅当n=9n,即n=3时等号成立.答案C6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|a2-2a-1在R上的解集为,则实数a的取值范围是()A.a<-1或a>3B.a<0或a>3C.-1<a<3D.-1a3解析|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,则它的最小值为2.原不等式的解集为,a2-2a-1<2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.故选C.答案C7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A.65B.635C.3635D.6解析由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)112+32+52(1x+3y+5z)2135=62135=3635当且仅当x=y3=z5,即x=635,y=1835,z=3035时,等号成立.答案C8.设函数f(n)=(2n+9)3n+1+9,当nN+时,f(n)能被m(mN+)整除,猜想m的最大值为()A.9B.18C.27D.36解析当n=1时,f(1)=(21+9)31+1+9=108.当n=2时,f(2)=(22+9)32+1+9=360.故猜想m的最大值为36.(1)当n=1时,猜想成立.(2)当n=k(k1)时猜想成立,即f(k)=(2k+9)3k+1+9能被36整除.当n=k+1时,f(k+1)=2(k+1)+93k+2+9=(2k+9+2)33k+1+9=3(2k+9)3k+1+9+63k+1-18=3(2k+9)3k+1+9+18(3k-1).(2k+9)3k+1+9,18(3k-1)均能被36整除,猜想成立.综上,m的最大值为36.答案D9.(2017 山东淄博一模)设向量OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.9解析AB=(a-1,1),AC=(-b-1,2),A,B,C三点共线,2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得2a+b=1.又a>0,b>0,则1a+2b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当b=2a=12时,等号成立.故选C.答案C10.用反证法证明“ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<2”,假设正确的是()A.B是锐角B.B不是锐角C.B是直角D.B是钝角答案B11.实数ai(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为()A.3B.22C.6D.1解析因为(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2(1+1+1+4+1)(a2-a1)1+(a3-a2)1+(a4-a3)1+(a5-a4)2+(a6-a5)12=(a6+a5)-(a1+a4)2,所以(a6+a5)-(a1+a4)28,即(a6+a5)-(a1+a4)22.答案B12.导学号26394073已知x,y,z,a,b,c,k均为正数,且x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则k=()A.19B.13C.3D.9解析因为x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2,当且仅当ax=by=cz=k时,等号成立,则a=kx,b=ky,c=kz,代入a2+b2+c2=90,得k2(x2+y2+z2)=90,于是k=3.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知关于x的不等式2x+2x-a7在x(a,+)上恒成立,则实数a的最小值为.解析2x+2x-a=2(x-a)+2x-a+2a22(x-a)2x-a+2a=2a+47(当且仅当(x-a)2=1时,等号成立),则a32,即实数a的最小值为32.答案3214.不等式|x-4|+|x-3|a有实数解的充要条件是.解析不等式a|x-4|+|x-3|有解a(|x-4|+|x-3|)min=1.答案a115.设x,y,zR,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析由柯西不等式可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2=(2x+2y+z-1)2=81,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)29当且仅当x-12=y+22=z-31,即x=-1,y=-4,z=2时,等号成立.答案916.导学号26394074对于任意实数a(a0)和b,不等式|a+b|+|a-b|a|x-1|恒成立,则实数x的取值范围是.解析依题意只需不等式的左边的最小值|a|x-1|,由绝对值三角不等式得|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|,故只需求解2|a|a|x-1|即可,解得-1x3.答案-1,3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+1x2-2xy+y22y+3.证明因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+1x2-2xy+y2-2y=2(x-y)+1(x-y)2=(x-y)+(x-y)+1(x-y)233(x-y)21(x-y)2=3当且仅当x-y=1x-y时,等号成立,所以2x+1x2-2xy+y22y+3.18.(本小题满分12分)已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|1的解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.解(1)m>1,不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1.其解集为0,4,3-m=0,m+1=4,解得m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b292当且仅当a=b=32时,等号成立,a2+b2的最小值为92.(方法二:利用柯西不等式)(a2+b2)(12+12)(a1+b1)2=(a+b)2=9,a2+b292当且仅当a=b=32时,等号成立,a2+b2的最小值为92.(方法三:消元法求二次函数的最值)a+b=3,b=3-a.a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+9292,a2+b2的最小值为92.19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:n+12n>n!(n>1,nN+).(n!=n(n-1)21)证明(1)当n=2时,2+122=322=94>2!=2,不等式成立.(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即k+12k>k!.当n=k+1时,(k+1)+12k+1=k+12+12k+1=Ck+10k+12k+1+Ck+11k+12k12+Ck+1k+112k+1>k+12k+1+12(k+1)k+12k=(k+1)k+12k>(k+1)k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,对n>1的一切自然数,不等式成立.20.(本小题满分12分)已知x+y>0,且xy0.(1)求证:x3+y3x2y+y2x;(2)如果xy2+yx2m21x+1y恒成立,试求实数m的取值范围.(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y>0,(x-y)20,所以x3+y3-(x2y+y2x)0,故x3+y3x2y+y2x.(2)解若xy<0,则xy2+yx2m21x+1y等价于m2x3+y3xy(x+y)=x2-xy+y2xy.又因为x2-xy+y2xy=(x+y)2-3xyxy<-3xyxy=-3,即x3+y3xy(x+y)<-3,因此m>-6.若xy>0,则xy2+yx2m21x+1y等价于m2x3+y3xy(x+y)=x2-xy+y2xy.因为x2-xy+y2xy2xy-xyxy=1,即x3+y3xy(x+y)1(当且仅当x=y时,等号成立),故m2.综上所述,实数m的取值范围是(-6,2.21.导学号26394075(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)2;(2)当xR,0<y<1时,求证:|x+2|-|x-2|1y+11-y.(1)解由已知可得,f(x)=4,x2,2x,-2<x<2,-4,x-2,故f(x)2的解集为x|x1.(2)证明由(1)知,|x+2|-|x-2|(x+2)-(x-2)|=4.0<y<1,0<1-y<1.1y+11-y=1y+11-yy+(1-y)=2+1-yy+y1-y4,当且仅当1-yy=y1-y,即y=12时,等号成立.|x+2|-|x-2|1y+11-y.22.导学号26394076(本小题满分12分)已知a,b,c为非零实数,且a2+b2+c2+1-m=0,1a2+4b2+9c2+1-2m=0.(1)求证:1a2+4b2+9c236a2+b2+c2;(2)求实数m的取值范围.(1)证明由柯西不等式得1a2+2b2+3c2(a2+b2+c2)1aa+2bb+3cc2,即1a2+2b2+3c2(a2+b2+c2)36.1a2+4b2+9c236a2+b2+c2.(2)解由已知得a2+b2+c2=m-1,1a2+4b2+9c2=2m-1,(m-1)(2m-1)36,即2m2-3m-350,解得m-72或m5.又a2+b2+c2=m-1>0,1a2+4b2+9c2=2m-1>0,m5,即实数m的取值范围是5,+).
