2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：1.2.3-1.2.5 直线和圆的极坐标方程 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆锥曲线统一的极坐标方程 .docx
www.ks5u.com2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程课后篇巩固探究A组1.若极坐标方程=()满足()=(-),则=()表示的图形()A.关于极轴对称B.关于极点对称C.关于直线=2对称D.不确定解析:由()=(-)可知=()表示的图形关于直线=2对称.答案:C2.过点A(2,0),并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()A.cos =2B.sin =2C.cos =1D.sin =1解析:如图,设点M(,)为直线上除点A(2,0)外的任意一点,连接OM,则有AOM为直角三角形,并且AOM=,|OA|=2,|OM|=,所以|OM|cos =|OA|,即cos =2,当=2,=0时,也满足方程cos =2.故所求直线的极坐标方程为cos =2.答案:A3.在极坐标系中,过点2,32,且平行于极轴的直线的极坐标方程是()A.sin =-2B.cos =-2C.sin =2D.cos =2解析:过点2,32与极轴平行的直线为y=-2,即sin =-2.答案:A4.如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角=6.若将l的极坐标方程写成=f()的形式,则f()=.解析:如图所示,当<0时,有sin6=2sin56+,得=1sin6-.如图所示,当>0时,有2sin6-=sin56,得=1sin6-.当=0,=2时,符合=1sin6-.综上可知=1sin6-.答案:1sin6-5.两直线sin+4=2 016,sin-4=2 017的位置关系是.(填“垂直”或“平行”或“斜交”)解析:两直线方程可化为x+y=2 0162,y-x=2 0172,故两直线垂直.答案:垂直6.在极坐标系中,曲线C1为(2cos +sin )=1,曲线C2为=a(a>0).若曲线C1与C2的一个交点在极轴上,则a=.解析:(2cos +sin )=1,即2cos +sin =1,对应的直角坐标方程为2x+y-1=0;=a(a>0)对应的直角坐标方程为x2+y2=a2.在2x+y-1=0中,令y=0,得x=22,将22,0代入x2+y2=a2,得a=22.答案:227.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,点P为射线OM上一点,已知|OP|OM|=1,求点P的轨迹的极坐标方程.解以点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,直线2x+4y-1=0的方程可化为2cos +4sin -1=0.设点M(0,0),P(,),则20cos 0+40sin 0-1=0.因为|OP|OM|=1,所以0=1,=0,所以0=1,把0=,0=1代入20cos 0+40sin 0-1=0,得21cos +41sin -1=0,整理得=2cos +4sin .所以点P的轨迹的极坐标方程为=2cos +4sin .8.在极坐标系中,已知圆=2cos 与直线3cos +4sin +a=0相切,求实数a的值.解将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有|31+40+a|32+42=1,解得a=-8或a=2.故a的值为-8或2.9.导学号73144012在极坐标系中,已知圆C经过点P2,4,圆心为直线sin-3=-32与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解在sin-3=-32中,令=0,得=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P2,4,所以圆C的半径|PC|=(2)2+12-212cos4=1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为=2cos .B组1.在极坐标系中,圆=2cos 的所有切线里垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.=0(R)和cos =2B.=2(R)和cos =2C.=2(R)和cos =1D.=0(R)和cos =1解析:由=2cos ,得2=2cos ,化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,其垂直于极轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标方程为=2(R)和cos =2.答案:B2.在极坐标方程中,曲线C的方程是=4sin ,过点4,6作曲线C的切线,则切线长为()A.4B.7C.22D.23解析:=4sin 化为普通方程为x2+(y-2)2=4,点4,6化为直角坐标为(23,2),切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理,得切线长为(23)2+(2-2)2-22=22,故选C.答案:C3.在极坐标系(,)(0<2)中,曲线(cos +sin )=1与(sin -cos )=1的交点的极坐标为()A.1,2B.1,4C.(0,)D.1,-2解析:曲线(cos +sin )=1与(sin -cos )=1的直角坐标方程分别为x+y=1和y-x=1,两条直线的交点的直角坐标为(0,1),化为极坐标为1,2.答案:A4.在极坐标系中,由三条直线=0,=3,cos +sin =1围成图形的面积是.解析:=0,=3,cos +sin =1三条直线对应的直角坐标方程分别为y=0,y=3x,x+y=1,这三条直线围成的图形如图所示,求得S=3-34.答案:3-345.已知圆的极坐标方程为=4cos ,圆心为点C,点P的极坐标为4,3,则|CP|=.解析:由=4cos 可得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,因此圆心C的直角坐标为(2,0).又点P的直角坐标为(2,23),因此|CP|=23.答案:236.在极坐标系中,点P是曲线=12sin 上的动点,点Q是曲线=12cos-6上的动点,则|PQ|的最大值为.解析:=12sin ,2=12sin .x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36.又=12cos-6,2=12coscos6+sinsin6.x2+y2-63x-6y=0.(x-33)2+(y-3)2=36.|PQ|max=6+6+(33)2+32=18.答案:187.已知双曲线的极坐标方程为=31-2cos,过极点作直线与它交于A,B两点,且|AB|=6,求直线AB的极坐标方程.解设直线AB的极坐标方程为=1,A(1,1),B(2,1+),则1=31-2cos 1,2=31-2cos(1+)=31+2cos 1.|AB|=|1+2|=31-2cos 1+31+2cos 1=61-4cos21=6,所以11-4cos21=1.所以cos 1=0或cos 1=22.故直线AB的极坐标方程为=2或=4或=34.8.导学号73144013F为定点,l为定直线,点F到定直线l的距离为p(p>0),点M在直线l上滑动,动点N在MF的延长线上,且满足条件|FN|MN|=1|MF|,求动点N的轨迹.解如图,作FKl,垂足为点K,以点F为极点,FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.设动点N(,).根据题意,不妨取>0,cos >0,|MF|=pcos,|NF|=,|MN|=|MF|+|FN|=pcos+.由动点N所满足的条件,得pcos=pcos+.所求轨迹的极坐标方程为=11-1pcos(0<cos <1).设过极点F且与极轴垂直的直线为l.则当e=1p>1,即0<p<1时,所求轨迹是双曲线在直线l右边的部分;当e=1p=1,即p=1时,所求轨迹是抛物线在直线l右边的部分;当0<e=1p<1,即p>1时,所求轨迹是椭圆在直线l右边的部分.
