2022年用导数求函数的极值. .pdf

用导数来求函数的极值例求下列函数的极值：1xxxf12)(3；2xexxf2)(；3.212)(2xxxf分析： 按照求极值的基本方法，首先从方程0)(xf求出在函数)(xf定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值解： 1函数定义域为R).2)(2(3123)(2xxxxf令0)(xf，得2x当2x或2x时，0)(xf，函数在2,和, 2上是增函数；当22x时，0)(xf，函数在（2，2）上是减函数当2x时，函数有极大值16)2(f，当2x时，函数有极小值.16)2(f2函数定义域为Rxxxexxexxexf)2(2)(2令0)(xf，得0 x或2x当0 x或2x时，0)(xf，函数)(xf在0 ,和,2上是减函数；当20 x时，0)(xf，函数)(xf在（ 0，2）上是增函数当0 x时，函数取得极小值0)0(f，当2x时，函数取得极大值24)2(ef3函数的定义域为R.) 1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222xxxxxxxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 38 页 - - - - - - - - - 令0)(xf，得1x当1x或1x时，0)(xf，函数)(xf在1,和, 1上是减函数；当11x时，0)(xf，函数)(xf在（ 1，1）上是增函数当1x时，函数取得极小值3)1(f，当1x时，函数取得极大值.1)1(f说明： 思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意0)(0 xf只是函数)(xf在0 x处有极值的必要条件，如果再加之0 x附近导数的符号相反，才能断定函数在0 x处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误复杂函数的极值例求下列函数的极值：1)5()(32xxxf；2.6)(2xxxf分析： 利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数)(xf的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数)(xf在定义内可能取到极值的全部“可疑点”解： 1.3)2(533)5(2)5(32)(33323xxxxxxxxxf令0)(xf，解得2x，但0 x也可能是极值点当0 x或2x时，0)(xf，函数)(xf在0 ,和,2上是增函数；当20 x时，0)(xf，函数)(xf在（ 0，2）上是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 38 页 - - - - - - - - - 当0 x时，函数取得极大值0)0(f，当2x时，函数取得极小值343)2(f2),32( ,6),32( ,6)(22xxxxxxxxf或).32( ,),32(, 12),32(, 12)(xxxxxxxxf或不存在或令0)(xf，得21x当2x或321x时，0)(xf，函数)(xf在2,和3,21上是减函数；当3x或212x时，0)(xf，函数)(xf在, 3和21, 2上是增函数当2x和3x时，函数)(xf有极小值0，当21x时，函数有极大值425说明： 在确定极值时， 只讨论满足0)(0 xf的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题1 中0 x处， 2 中2x及3x处函数都不可导， 但)(xf在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(xf在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关根据函数的极值确定参数的值例已知)0()(23acxbxaxxf在1x时取得极值，且1)1 (f1试求常数a、b、c 的值；2试判断1x是函数的极小值还是极大值，并说明理由分析： 考察函数)(xf是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(xf的根建立起由极值点1x所确定的相关等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 38 页 - - - - - - - - - 式，运用待定系数法求出参数a、b、c 的值解： 1解法一：cbxaxxf23)(21x是函数)(xf的极值点，1x是方程0)(xf，即0232cbxax的两根，由根与系数的关系，得）（）（2,131,032acab又1)1(f，1cba，（3）由（ 1） 、 （2） 、 （3）解得23,0,21cba解法二：由0)1()1(ff得023cba，（1）023cba（2）又1)1(f，1cba，（3）解（ 1） 、 （2） 、 （3）得23,0,21cba2xxxf2321)(3，).1)(1(232323)(2xxxxf当1x或1x时，0)(xf，当11x时，.0)(xf函数)(xf在1,和, 1上是增函数，在（1，1）上是减函数当1x时，函数取得极大值1)1(f，当1x时，函数取得极小值1)1 (f说明： 解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想， 合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导之后，不会应用0)1(f的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 38 页 - - - - - - - - - 1xxxf12)(3；2xexxf2)(；3.212)(2xxxf分析： 按照求极值的基本方法，首先从方程0)(xf求出在函数)(xf定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值解： 1函数定义域为R).2)(2(3123)(2xxxxf令0)(xf，得2x当2x或2x时，0)(xf，函数在2,和, 2上是增函数；当22x时，0)(xf，函数在（2，2）上是减函数当2x时，函数有极大值16)2(f，当2x时，函数有极小值.16)2(f2函数定义域为Rxxxexxexxexf)2(2)(2令0)(xf，得0 x或2x当0 x或2x时，0)(xf，函数)(xf在0 ,和,2上是减函数；当20 x时，0)(xf，函数)(xf在（ 0，2）上是增函数当0 x时，函数取得极小值0)0(f，当2x时，函数取得极大值24)2(ef3函数的定义域为R.) 1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222xxxxxxxxf令0)(xf，得1x当1x或1x时，0)(xf，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 38 页 - - - - - - - - - 函数)(xf在1,和, 1上是减函数；当11x时，0)(xf，函数)(xf在（ 1，1）上是增函数当1x时，函数取得极小值3)1(f，当1x时，函数取得极大值.1)1(f说明： 思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意0)(0 xf只是函数)(xf在0 x处有极值的必要条件，如果再加之0 x附近导数的符号相反，才能断定函数在0 x处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误复杂函数的极值例求下列函数的极值：1)5()(32xxxf；2.6)(2xxxf分析： 利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数)(xf的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数)(xf在定义内可能取到极值的全部“可疑点”解： 1.3)2(533)5(2)5(32)(33323xxxxxxxxxf令0)(xf，解得2x，但0 x也可能是极值点当0 x或2x时，0)(xf，函数)(xf在0 ,和,2上是增函数；当20 x时，0)(xf，函数)(xf在（ 0，2）上是减函数当0 x时，函数取得极大值0)0(f，当2x时，函数取得极小值343)2(f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 38 页 - - - - - - - - - 2),32( ,6),32( ,6)(22xxxxxxxxf或).32( ,),32(, 12),32(, 12)(xxxxxxxxf或不存在或令0)(xf，得21x当2x或321x时，0)(xf，函数)(xf在2,和3,21上是减函数；当3x或212x时，0)(xf，函数)(xf在, 3和21, 2上是增函数当2x和3x时，函数)(xf有极小值0，当21x时，函数有极大值425说明： 在确定极值时， 只讨论满足0)(0 xf的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题1 中0 x处， 2 中2x及3x处函数都不可导， 但)(xf在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(xf在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关根据函数的极值确定参数的值例已知)0()(23acxbxaxxf在1x时取得极值，且1)1 (f1试求常数a、b、c 的值；2试判断1x是函数的极小值还是极大值，并说明理由分析： 考察函数)(xf是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(xf的根建立起由极值点1x所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c 的值解： 1解法一：cbxaxxf23)(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 38 页 - - - - - - - - - 1x是函数)(xf的极值点，1x是方程0)(xf，即0232cbxax的两根，由根与系数的关系，得）（）（2,131,032acab又1)1(f，1cba，（3）由（ 1） 、 （2） 、 （3）解得23,0,21cba解法二：由0)1()1(ff得023cba，（1）023cba（2）又1)1(f，1cba，（3）解（ 1） 、 （2） 、 （3）得23,0,21cba2xxxf2321)(3，).1)(1(232323)(2xxxxf当1x或1x时，0)(xf，当11x时，.0)(xf函数)(xf在1,和, 1上是增函数，在（1，1）上是减函数当1x时，函数取得极大值1)1(f，当1x时，函数取得极小值1)1 (f说明： 解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想， 合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导之后，不会应用0)1(f的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍利用导数求函数的单调性例讨论下列函数的单调性：1xxaaxf)(（0a且1a） ；2)253(log)(2xxxfa（0a且1a） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 38 页 - - - - - - - - - 3)0, 11(1)(2bxxbxxf分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(xf，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(xf的符号，来确定函数)(xf在该区间上的单调性当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性解：1函数定义域为R).(ln)(lnln)(xxxxaaaxaaaaxf当1a时，.0)(,0,0lnxfaaaxx函数)(xf在),(上是增函数当10a时，.0)(, 0,0lnxfaaaxx函数)(xf在),(上是减函数2函数的定义域是31x或.2x)2)(13(log)56()253(253log)(22xxexxxxxexfaa若1a，则当31x时，0)2)(13( , 056 ,0logxxxea，0)(xf，函数)(xf在，31上是增函数；当2x时，0)(xf，函数)(xf在2,上是减函数若10a，则当31x时，0)(xf，函数)(xf在，31上是减函数；当2x时，0)(xf，函数)(xf在2,上是增函数3函数)(xf是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性当10 x时，2222)1()1() 1()(xxxxxbxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 38 页 - - - - - - - - - 222) 1() 1(xxb若0b，则0)(xf，函数)(xf在（ 0， 1）上是减函数；若0b，则0)(xf，函数)(xf在（ 0， 1）上是增函数又函数)(xf是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性所以当0b时，函数)(xf在（ 1，1）上是减函数，当0b时，函数)(xf在（ 1，1）上是增函数说明： 分类讨论是重要的数学解题方法它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定)(xf的符号，否则会产生错误判断分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力利用导数求函数的单调区间例求下列函数的单调区间：132)(24xxxf；222)(xxxf；3).0()(bxbxxf分析： 为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误解： 1函数)(xf的定义域为R，xxxxxxf) 1)(1(44)(4令0)(xf，得01x或1x函数)(xf的单调递增区间为（1，0）和), 1(；令0)(xf，得1x或10 x，函数)(xf的单调递减区间为)1,(和（ 0，1） 2函数定义域为.20 x.2122)2()(222xxxxxxxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 38 页 - - - - - - - - - 令0)(xf，得10 x函数)(xf的递增区间为（0，1） ；令0)(xf，得21x，函数)(xf的单调递减区间为（1，2） 3函数定义域为).)(11)(,022bxbxxxbxfx令0)(xf，得bx或bx函数)(xf的单调递增区间为),(b和),(b；令0)(xf，得bxb且0 x，函数)(xf的单调递减区间是)0,(b和), 0(b说明： 依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性 解决这类问题， 如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1 函数)(xf的单调递增区间和递减区间分别写成), 1()0 , 1(和)1 ,0() 1,(的错误结果这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用求解析式并根据单调性确定参数例已知cxxf2)(，且).1()(2xfxff1设)()(xffxg，求)(xg的解析式；2设)()()(xfxgx，试问：是否存在实数，使)(x在1,内为减函数，且在（ 1， 0）内是增函数分析： 根据题设条件可以求出)(x的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设， 然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数)(x是可导函数，因此选择好解题的突破口， 要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解解： 1由题意得ccxcxfxff222)()()(，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 38 页 - - - - - - - - - ) 1()(.) 1() 1(2222xfxffcxxf，. 1, 1,)1()(222222cxcxcxccx. 1) 1()1()()(, 1)(2222xxfxffxgxxf2)2()2()()()(24xxxfxgx若满足条件的存在，则.)2( 24)(3xxx函数)(x在1,内是减函数，当1x时，0)(x，即0)2(243xx对于)1,(x恒成立.44, 1,4)2(222xxx4)2(2，解得4又函数)(x在（ 1，0）上是增函数，当01x时，0)(x即0)2(243xx对于)0 , 1(x恒成立，.044, 01,4)2(222xxx4)2(2，解得4故当4时，)(x在1,上是减函数，在（1，0）上是增函数，即满足条件的存在说明： 函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系 因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径， 具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决不善于应用axf)(恒成立axfmax)(和axf)(恒成立axfmin)(，究其原因是对函数的思想方法理解不深利用导数比较大小例已知 a、b 为实数，且eab，其中 e 为自然对数的底，求证：abba分析： 通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法根据题目自身的特点，适当的构造函数关系， 在建立函数关系时， 应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 38 页 - - - - - - - - - 一般地， 证明),(),()(baxxgxf，可以等价转化为证明0)()()(xgxfxF，如果0)(xF，则函数)(xF在),(ba上是增函数，如果0)(aF，由增函数的定义可知，当),(bax时，有0)(xF，即)()(xgxf解： 证法一：eab，要证abba，只要证baablnln，设)(lnln)(ebbaabbf，则baabfln)(eab，1ln a，且1ba，.0)(bf函数baabbflnln)(在),(e上是增函数0lnln)()(aaaaafbf，即0lnlnbaab，.,lnlnabbabaab证法二：要证abba，只要证)(lnlnbaebaab，即证bbaalnln，设)(ln)(exxxxf，则0ln1)(2xxxf，函数)(xf在),(e上是减函数又)()(,bfafbae，即.,lnlnabbabbaa说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向， 即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合解决 这 种 问 题 常 见 的 思 维 误 区 是 不 善 于 构 造 函 数 或 求 导 之 后 得 出)()()()(xgxfxgxf的错误结论判断函数在给定区间上的单调性例函数xy11log21在区间), 0(上是（）A增函数，且0yB减函数，且0yC增函数，且0yD减函数，且0y分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小；二是要判断此函数的单调性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 38 页 - - - - - - - - - 解： 解法一：令xu11，且1),0(ux，则0log21uy，排除 A、B由复合函数的性质可知，u 在), 0(上为减函数又uy21log亦为减函数， 故xy11log21在),0(上为增函数， 排除 D，选 C解法二：利用导数法0log)1(11log1112221exxxexy（),0(x） ，故 y 在),0(上是增函数由解法一知0y所以选C说明： 求函数的值域，是中学教学中的难关一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的利用公式 2 求函数的导数例求下列函数的导数：112xy； 241xy；353xy分析： 根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整函数41xy和53xy的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导解： 1.1212)(1111212xxxy2.44)4()(55144xxxxy3.535353)()(52521535353xxxxxy说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式， 以免求导过程中出现指数或系数的运算失误运算的准确是数学能力高低的重名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 38 页 - - - - - - - - - 要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准根据斜率求对应曲线的切线方程例求曲线122xy的斜率等于4 的切线方程分析： 导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程解： 设切点为),(00yxP，则xxy4) 12(2，40 xxy，即440 x，10 x当10 x时，10y，故切点P 的坐标为（ 1，1） 所求切线方程为)1(41xy即.034yx说明： 数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大求直线方程例求过曲线xycos上点21,3P且与过这点的切线垂直的直线方程分析： 要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程解：xycos，.sin xy曲线在点21,3P处的切线斜率是.233sin3xy过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为32，所求的直线方程为33221xy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 38 页 - - - - - - - - - 即0233232yx说明 ：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y是否为零，当0y时，切线平行于x 轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在求曲线方程的交点处切线的夹角例设曲线21xy和曲线xy1在它们的交点处的两切线的夹角为，求ta n的值分析： 要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可解： 联立两曲线方程12xyxy解得两曲线交点为（1，1） 设两曲线在交点处的切线斜率分别为21kk、，则.111,221121213121xxxxxxkxxk由两直线夹角公式.31) 1()2(1) 1(21tan2121kkkk说明： 探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算两曲线交点是一个关键条件， 函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题，而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提求常函数的导数例设2y，则y等于（）A2B2C 0 D以上都不是分析： 本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可解： 因为是常数，常数的导数为零，所以选C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 38 页 - - - - - - - - - 根据条件确定函数的参数是否存在例已知函数1log)(223cxxbaxxxf，是否存在实数a、b、c，使)(xf同时满足下列三个条件：（1）定义域为R 的奇函数；（ 2）在, 1上是增函数；（3）最大值是1若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由分析： 本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a、b、c 存在，然后用三个已给条件逐一确定a、b、c 的值解：)(xf是奇函数. 1, 0log0)0(3bbf又)()(xfxf，即11log11log223223cxxaxxcxxaxx，222222222222)1()1(1111xcxxaxaxxcxxcxxaxxcaca22或ca，但ca时，0)(xf，不合题意；故ca这时11log)(223cxxcxxxf在, 1上是增函数，且最大值是1设11)(22cxxcxxxu在, 1上是增函数，且最大值是3222222222)1()1)(1(2) 1()1(2)1()1)(2()1)(2()(cxxxxccxxxccxxcxxcxcxxcxxu，当1x时0)(012xux，故0c；又当1x时，0)(xu；当) 1 , 1(x时，0)(xu；故0c，又当1x时，0)(xu，当)1 , 1(x时，0)(xu所以)(xu在), 1()1,(是增函数，在（1，1）上是减函数又1x时，1, 1)(, 1122xxucxxcxx时)(xu最大值为3.1, 1,31111accc经验证：1, 1, 1cba时，)(xf符合题设条件，所以存在满足条件的a、b、c，即.1, 1, 1cba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 38 页 - - - - - - - - - 说明： 此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施若用求导数的方法解决就迎刃而解因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法切不可忘记供水站建在何处使水管费最少例有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足D 与 A 相距 50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和 5a 元，问供水站 C建在岸边何处才能使水管费用最省？分析： 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元， 构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C 的位置解： 解法一：根据题意知，只有点C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km，则222240,50,40 xCDBDBCxACBD又设总的水管费用为y元，依题意有).500(405)50(322xxaxay224053xaxay令0y，解得.30 x在（ 0，50）上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在30 x（km）处取得最小值，此时2050 xAC（km） 供水站建在A、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省解法二：设BCD，则).20( ,cot40,sin40CDBCcot4050AC设总的水管费用为)(f，依题意，有sincos3540150sin405)cot4050(3)(aaaaf2sin)(sin)cos35(sin)cos35(40)(af名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 38 页 - - - - - - - - - 2sincos5340a令0)(f，得53cos根 据 问 题 的 实 际 意 义 ， 当53cos时 ， 函 数 取 得 最 小 值 ， 此 时20cot4050,43cot,54sinAC（km） ，即供水站建在A、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省说明： 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题， 选择合适的数学方法求解对于这类问题， 学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路， 在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择利用导数求函数的最值例求下列函数的最值：1) 33( ,3)(3xxxxf；2)22(,2sin)(xxxxf；3)0, 0, 10( ,1)(22baxxbxaxf421)(xxxf分析：函数)(xf在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间ba,上函数的最值时，只需求出函数)(xf在开区间),(ba内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可解： 1233)(xxf，令0)(xf，得1x，2) 1(, 2)1(ff又.18)3(, 0)3(ff.18)( , 2)(minmaxxfxf212cos2)(xxf，令0)(xf，得6x，6236,6236ff，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 38 页 - - - - - - - - - 又22,22ff.2)( ,2)(minmaxxfxf32222222222)1 ()1()1()(xxxaxbxbxaxf令0)(xf，即0)1(2222xaxb，解得.baax当baax0时，0)(xf，当1xbaa时，0)(xf函数)(xf在点baax处取得极小值，也是最小值为.)(2babaaf即2min)()(baxf4函数定义域为11x，当)1 ,1(x时，.11)(2xxxf令0)(xf，解得22x，222f，又1)1 (, 1)1(ff，. 1)( ,2)(minmaxxfxf说明： 对于闭区间ba,上的连续函数，如果在相应开区间),(ba内可导，求ba,上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）值解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距 运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病求两变量乘积的最大值例已知yx、为正实数，且满足关系式04222yxx，求yx的最大值分析： 题中有两个变量x 和 y，首先应选择一个主要变量，将yx、表示为某一变量（x或 y 或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值解： 解法一：222221, 0,24xxyyxxy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 38 页 - - - - - - - - - 2221xxxyx由0202xxx解得20 x设).20(221)(2xxxxxyxf当20 x时，222)1 (221)(xxxxxxxf222)23(xxxx令0)(xf，得23x或0 x（舍） 83323f，又0)2(f，函数)(xf的最大值为833即yx的最大值为833解法二：由04222yxx得)0, 0( 14)1(22yxyx，设)0(sin21,cos1yx，)cos1(sin21yx，设)cos1 (sin21)(f，则cos)cos1(sin21)(2f.21cos)1(cos)1coscos2(212令0)(f，得1cos或21cos3,0，此时.43,23yx.8333,8333maxff即当43,23yx时，.833maxyx说明： 进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 38 页 - - - - - - - - - 途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化， 方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑直接利用导数的运算法则求导例求下列函数的导数：165324xxxy；2xxytan3)3)(2)(1(xxxy；4.11xxy分析： 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成解： 1)653(24xxxy.564)6(5)(3)(324xxxxx2xxxxxxxxxxxxy2cos)(cossincos)sin(cossin)tan(xxxxxxxxxxxxx22222c o s)si n(c o sc o ssi nc o ss i nc o s)c o s( si n.c o s222si nc o ssi nc o s2si n212222xxxxxxxxx3解法一：)3)(2)(1()3( )2)(1(xxxxxxy)2)(1()3()2)(1()2() 1(xxxxxxx)2)(1()3)(12(xxxxx)2)(1()3)(32(xxxx.111232xx解法二：611623xxxy，.111232xxy4解法一：2)1()1)(1() 1()1(11xxxxxxxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -