2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：1.5 不等式的应用 .docx
www.ks5u.com5不等式的应用课后篇巩固探究A组1.若a>0,则2a+1a2的最小值为()A.22B.332C.1D.3解析:2a+1a2=a+a+1a233aa1a2=3,当且仅当a=1a2,即a=1时,取最小值3.答案:D2.函数f(x)=x+4x-1的值域是()A.(-,-35,+)B.3,+)C.(-,-53,+)D.(-,-44,+)解析:当x>0时,x+4x-12x4x-1=3;当x<0时,x+4x-1=-(-x)+-4x-1-5,所以函数值域为(-,-53,+).答案:C3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.336B.22C.12D.1235解析:因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z332x22y23z=332x+2y+3z=34=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=23时取等号.答案:C4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则1a+1b+1c的最小值为()A.9B.8C.3D.13解析:因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c33abc,所以0<abc127,则1abc27,所以1a+1b+1c331abc3327=9.当且仅当a=b=c=13时等号成立.答案:A5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()A.25B.25.5C.26.1D.35解析:设长方体水箱长、宽、高分别为x,y,z,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x4xy+2y4xy=xy+8y+8x33xy8x8y=12,当且仅当x=y=22时等号成立.故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以A,B排除,而C,D均够用,但D剩较多,故选C.答案:C6.若a,b,c同号,且ba+cb+ack,则k的取值范围是.解析:因为a,b,c同号,所以ba,cb,ac>0,于是ba+cb+ac33bacbac=3,当且仅当a=b=c时等号成立.因此k的取值范围是(-,3.答案:(-,37.若x>3,则函数f(x)=x-2+1x-3的最小值等于.解析:因为x>3,所以x-3>0,所以f(x)=x-2+1x-3=x-3+1x-3+12(x-3)1x-3+1=3,当且仅当x-3=1x-3,即x=4时,函数取最小值3.答案:38.若a>b>0,则a+1(a-b)b的最小值为.解析:因为a>b>0,所以a-b>0,所以a+1(a-b)b=(a-b)+b+1(a-b)b33(a-b)b1(a-b)b=3,当且仅当a-b=b=1(a-b)b,即a=2,b=1时,取得最小值3.答案:39.某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?解设这种汽车使用n年后报废最合算,这n年中汽车每年的平均费用为y万元,则y=10+0.9n+0.2n+n(n-1)20.2n=10n+n10+13,当且仅当10n=n10,即n=10时取等号.故这种汽车使用10年后报废最合算.10.导学号35664026已知实数a,b,cR,a+b+c=1,求4a+4b+4c2的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.解由平均值不等式,得4a+4b+4c2334a4b4c2=334a+b+c2(当且仅当a=b=c2时,等号成立).a+b+c=1,a+b=1-c,a+b+c2=c2-c+1=c-122+34.当c=12时,a+b+c2取得最小值34.从而当a=b=14,c=12时,4a+4b+4c2取最小值,最小值为32.B组1.若logxy=-2,则x+y的最小值为()A.3322B.2333C.332D.223解析:由logxy=-2得y=1x2,因此x+y=x+1x2=x2+x2+1x233x2x21x2=3322,当且仅当x=32时,等号成立.答案:A2.若x>0,则f(x)=4-x-12x2的最大值为()A.4-22B.4-2C.不存在D.52解析:x>0,f(x)=4-x-12x2=4-x2+x2+12x24-33x2x212x2=4-32=52,当且仅当x=1时,等号成立.答案:D3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.VB.VC.V18D.V18解析:如图,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=Sh=R2h=RRhR+R+h33=,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.答案:B4.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:因为ab=a+b+32ab+3,当且仅当a=b时等号成立,所以ab-2ab-30,即(ab-3)(ab+1)0,所以ab-30,即ab 3,故ab9.答案:9,+)5.设x,y,z>0,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值是.解析:因为6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z66x2x2yyy4z=66x2y3z,所以x2y3z1,当且仅当x2=y=4z,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x2y3z的最大值为1.答案:16.某品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系:s=120x+1180x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h)解设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h,根据题意,得120x+1180x2>39.5,移项、整理,得x2+9x-7 110>0.因为>0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根,即x1-88.94,x279.94.然后,画出二次函数y=x2+9x-7 110的图像(图略),由图像得不等式的解集为x|x<-88.94或x>79.94.在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.7.导学号35664027如图所示,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间空白的宽度为5 cm,怎样确定广告的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?解设广告的长和宽分别为y cm,x cm,则每栏的长和宽分别为x-20,y-252,其中x>20,y>25.两栏面积之和为2(x-20)y-252=18 000,由此得y=18 000x-20+25.广告的面积S=xy=x18 000x-20+25=18 000xx-20+25x,整理得S=360 000x-20+25(x-20)+18 500.因为x-20>0,所以S2360 000x-2025(x-20)+18 500=24 500.当且仅当360 000x-20=25(x-20)时等号成立,此时有(x-20)2=14 400(x>20),解得x=140,代入y=18 000x-20+25,得y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500,故当广告的长为175 cm,宽为140 cm时,可使广告的面积最小.
