事故树的定量分析.pptx
1一、基本事件的发生概率一、基本事件的发生概率 基本事件的发生概率包括系统的基本事件的发生概率包括系统的单元单元( (部件或元部件或元件件) )故障概率故障概率及及人的失误概率人的失误概率等等, ,在工程上计算时在工程上计算时, ,往往用基本事件发生的往往用基本事件发生的频率来代替其概率值频率来代替其概率值。 1. 1. 系统的单元故障概率系统的单元故障概率 (1) (1) 可修复系统的单元故障概率。可修复系统可修复系统的单元故障概率。可修复系统的单元故障概率定义为的单元故障概率定义为: : 第1页/共48页2式中式中 q -q -单元故障概率单元故障概率; ; - -单元故障率单元故障率, , 是指单位时间内故障发是指单位时间内故障发生的频率生的频率; ; -单元修复率单元修复率, , 是指单位时间内元件修是指单位时间内元件修复的频率。复的频率。 式中式中K -K -综合考虑温度、湿度、振动及其他综合考虑温度、湿度、振动及其他条件影响的修正系数条件影响的修正系数, , 一般一般K=1-10;K=1-10; 0 0- - 单元故障率的实验值单元故障率的实验值, ,一般可根据一般可根据实验或统计求得实验或统计求得, ,等于元件平均故障间隔期等于元件平均故障间隔期(MTBF)(MTBF)的倒数的倒数, , 即即: :0K第2页/共48页3式中式中,MTBF ,MTBF 为平均故障为平均故障间间隔期隔期, , 是指相邻两故障是指相邻两故障间隔期内正常工作的平均时间间隔期内正常工作的平均时间, , 一般可按下式计一般可按下式计算获得算获得: : 式中式中 n-n-各单元发生故障的总次数各单元发生故障的总次数； t ti i-第第i-1i-1次到第次到第i i次故障间隔时间。次故障间隔时间。式中式中 nn试验元件个数试验元件个数t ti i元件元件i i从运行到故障从运行到故障发生所经历的时间发生所经历的时间。2 2种种niitnMTBF11MTBF10第3页/共48页4式中式中,MTTR ,MTTR 为平均修复时间为平均修复时间, ,是指系统单元出现故是指系统单元出现故障障, ,从开始维修到恢复正常工作所需的平均时间。从开始维修到恢复正常工作所需的平均时间。一般一般,MTBFMTTR, ,MTBFMTTR, 所以所以, ,则其故障概率为则其故障概率为: :单元修复率一般可根据统计分析用下式求得: :MTTR1q第4页/共48页5(2) (2) 不可维修系统的单元故障概率。不可维修系统的单元故障概率为不可维修系统的单元故障概率。不可维修系统的单元故障概率为: : 式中式中 ,t ,t 为元件的运行时间。如果把为元件的运行时间。如果把e e- -tt按级数展开按级数展开, , 略去后面的高阶无穷小略去后面的高阶无穷小, , 则则可近似为可近似为: : teq1tq第5页/共48页6 2. 2. 人的失误概率人的失误概率人的失误是另一种基本事件人的失误是另一种基本事件, , 系统运行中人的系统运行中人的失误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误失误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常是指作业者实际完成的功能与系统所要求的通常是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之间的偏差。功能之间的偏差。人的失误概率人的失误概率通常是指作业者通常是指作业者在一定条件下和规定时间内完成某项规定功能时在一定条件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或失误的概率出现偏差或失误的概率, , 它它表示表示人的人的失误的可能失误的可能性大小性大小, , 因此因此, , 人的失误概率也就是人的失误概率也就是人的不可靠人的不可靠度度。一般根据。一般根据1-1-可靠度可靠度获得获得。第6页/共48页7 例如例如, , 有研究表明有研究表明, ,人的舒适温度一般是人的舒适温度一般是1922 1922 , , 当人在作业时当人在作业时, ,环境温度超过环境温度超过27 27 时时, , 人体失误概率大约会上升人体失误概率大约会上升40% 40% 。因此。因此, , 还需要用修正还需要用修正系数系数 K K 加以修正加以修正 , , 从而得到作业者单个动作从而得到作业者单个动作 的失的失误概率为误概率为: :q = k (1-R)q = k (1-R)式中式中 k - k - 修正系数修正系数,k = ,k = a ab bc cd de e; ;a - a - 作业时间系数作业时间系数; ;b - b - 操作频率系数操作频率系数; ;c - c - 危险状况系数危险状况系数; ;d - d - 心理、生理条件系数心理、生理条件系数; ;e - e - 环境条件系数。环境条件系数。a a 、 b b 、 c c 、 d d 、 e e 的取值见的取值见表表3-13 3-13 。第7页/共48页8二、顶事件的发生概率二、顶事件的发生概率 事故树定量分析事故树定量分析, , 是在已知基本事件发生概率的前提条件下是在已知基本事件发生概率的前提条件下, , 定量地计算出在一定量地计算出在一定时间内发生事故的可能性大小。如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件定时间内发生事故的可能性大小。如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件, , 各各基本事件又都是相互独立的基本事件又都是相互独立的, , 顶事件发生概率可根据事故树的结构顶事件发生概率可根据事故树的结构, , 用下列公式求得。用下列公式求得。用用 “与门与门” 连接的顶事件的发生概率为连接的顶事件的发生概率为: : 第8页/共48页9用用 “或门或门” 连接的顶事件的发生概率为连接的顶事件的发生概率为: : 式中式中 q qi i - - 第第 i i 个基本事件的发生概率个基本事件的发生概率( ( i i=1,2, =1,2, , n) , n)。 第9页/共48页10P P (T(T) ) = = q q1 11-(1-1-(1- q q2 2)(1-)(1- q q3 3) = 0.11-(1-0.1)(1-0.1)= 0.11-(1-0.1)(1-0.1) = 0.019= 0.019但当事故树中含有重复出现的基本事件时但当事故树中含有重复出现的基本事件时, , 或基本事件可能在几个最小割集中重复或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时出现时, , 最小割集之间是相交的最小割集之间是相交的, , 这时这时, , 应按以下几种方法计算。应按以下几种方法计算。 第10页/共48页11设某事故树有设某事故树有 n n 个基本事件个基本事件, , 这这 n n 个基本个基本事件两种状态的组合数为事件两种状态的组合数为 2 2n n 个。根据事故树模个。根据事故树模型的结构分析可知型的结构分析可知, , 所谓所谓顶事件的发生概率顶事件的发生概率, ,是是指结构函数指结构函数(x)=1(x)=1的概率的概率。因此。因此, ,顶事件的发生顶事件的发生概率概率P(T)P(T)可用下式定义可用下式定义: :式中 P -P -基本事件状态组合序号; ;p p(X)-(X)-第 p p 种组合的结构函数值。(1(1或 0);0);q qi i - - 第 i i 个基本事件的发生概率; ;Y Yi i - - 第 i i 个基本事件的状态值(1(1或0)0)。)173()()()1 (1121iixTPqqiinYniYpp1. 1. 状态枚举法第11页/共48页12 从式从式 (3-17) (3-17) 可看出可看出: : 在在 n n 个基本事件两种状态的所有组合中个基本事件两种状态的所有组合中, ,只有当只有当p p(X) =1 (X) =1 时时, ,该组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在用该式计算时该组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在用该式计算时, ,只需考虑只需考虑p p(X) (X) =1=1的所有状态组合。首先列出基本事件的状态值表的所有状态组合。首先列出基本事件的状态值表, , 根据事故树的结构求得结构函数根据事故树的结构求得结构函数p p(X) (X) 值值, ,最后求出使最后求出使p p(X) =1(X) =1的各基本事件对应状态的概率积的代数和的各基本事件对应状态的概率积的代数和, ,即为顶事即为顶事件的发生概率。件的发生概率。第12页/共48页13 例例 3-7 3-7 试用式试用式(3-17) (3-17) 计算图计算图 3-15 3-15 所示所示事故事故树的顶事件发生概率。树的顶事件发生概率。解解: : 基本事件的状态组合及顶事件的状态值见基本事件的状态组合及顶事件的状态值见表表3-143-14, , 并列出每一种状态所对应的并列出每一种状态所对应的q qp p(q)(q)和和q qp p, ,因而得到因而得到: : X1 X2 X3(X)qp(q)qp000 0010100110 0 0 0 0 1 q1(1- q2)q30 0 0 0 0 100 1011101111 1 q1q2(1- q3)0.009 0.009 0.001 0 0 0 0 0 q1q2q3 P(T)0.019表表 3-14 事故树事故树 P(T) 计算表计算表第13页/共48页14该方法规律性强, , 适于编制程序上机计算, , 可用来计算较复杂系统事故发生概率。但当 n n 值较大时, , 计算中要涉及2 2n n个状态组合, , 并需求出相应顶事件的状态, , 因而计算工作量很大, , 花费时间较长。第14页/共48页152 2 直接分步算法 该方法适用于事故树的规模不大，又没有重复的基本事件，无须布尔代数化简时使用。其计算方法是：从底部的逻辑门连接的事件算起，逐次向上推移，直至计算出顶事件T的发生概率。第15页/共48页16直接分布算法的的规则如下：1）与门连接的事件，计算概率积nniiAqqqqq211qA与门事件的概率qi与门连接的第i个基本事件的发生概率n与门连接的输入事件数第16页/共48页172）或门连接的事件，计算概率和qB或门事件的概率qi或门连接的第i个基本事件的发生概率n或门连接的输入事件数niiniiBqqq11)1 (1第17页/共48页18【例3-8】用直接分步算法计算右图所示事故树顶事件的发生概率。各基本事件下的数字即为其发生概率第18页/共48页19解：第一步，求A2的概率，其为或门连接，有106525. 0)01. 01)(05. 01)(05. 01 (1)1)(1)(1 (17652qqqqA第二步，求A1的概率，其为与门连接，有04261. 0106525. 05 . 00 . 18 . 021432AAqqqqq第19页/共48页20第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有052184. 0)01. 01)(04261. 01 (1)1)(1 (111qqgA第20页/共48页 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时时, , 顶事件顶事件与各与各最小割集最小割集用或门连接，每个最小割用或门连接，每个最小割集与其包含的基本事件用与门连接集与其包含的基本事件用与门连接。 如果各最小割集间如果各最小割集间没有重复的基本事件没有重复的基本事件，则，则可按可按照照直接分步算法计算直接分步算法计算，先计算先计算各个最小割集内各个最小割集内各基各基本事件的概率积本事件的概率积，再计算再计算各最小割集的各最小割集的概率和概率和，从，从而求得顶事件发生概率，即：而求得顶事件发生概率，即：21)183(1krkxiriqg 3 3 最小割集法 第21页/共48页22【例例3-9】若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上事件发生的概率。事件发生的概率。,653422311xxKxxKxxK解：由根据式解：由根据式3-18，顶上事件发生的概率为：，顶上事件发生的概率为：)1)(1)(1 (1)1)(1)(1 (165423131321qqqqqqqqqqgkxikxikxirkxiiiiri第22页/共48页23,5421322311xxxKxxKxxK321323121321321)()()1)(1)(1 (131kkkkkkkkkkkkkkkrkqqqqqqqqqqqqqqqqgr第23页/共48页2421kkqq323121xxxxKK3213231xxxxxxx32121qqqqqkk543215432543213213231qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqkkkkkkk第24页/共48页25543215432543213215423231)()(qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqg)193() 1()(1111kkxrikkksrkkxikrkxirisririqqqTP由由【例例3-9】可以看出，如果事故树的各最小割集中彼可以看出，如果事故树的各最小割集中彼此有重复事件时，其顶上事件的发生概率可以用如下公此有重复事件时，其顶上事件的发生概率可以用如下公司计算：司计算：srikkx第25页/共48页4 4 最小径集法最小径集法 用最小径集作事故树的等效图时，顶事件用最小径集作事故树的等效图时，顶事件与各最小径集用与各最小径集用与门连接与门连接，每个最小径集与其，每个最小径集与其包含的事件用包含的事件用或门连接或门连接。因此，若各最小径集。因此，若各最小径集中彼此没有重复事件时，则可先求最小径集内中彼此没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事件的概率和，再求各最小径集的概率各基本事件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求顶上事件的发生概率，即：积，从而求顶上事件的发生概率，即：26)203(1PrPxiriqg第26页/共48页27【例例3-10】若某事故树有如下几个最小径集，求其顶上若某事故树有如下几个最小径集，求其顶上事件发生的概率。事件发生的概率。,653432211xxPxxPxxP解：根据式解：根据式3-20，其顶上事件发生的概率为：，其顶上事件发生的概率为：)1)(1 (1 )1)(1 (1 )1)(1 (1 65432131321qqqqqqqqqqgPxiPxiPxirPxiiiiri第27页/共48页28)213 ( )1 () 1()1 ()1 (111 risririPxipprppsrPPxiPxiqqqgsriPPx第28页/共48页29例题解答例题解答【例例 3-113-11】 以以图图3-123-12事故树为事故树为例例, , 试用最小割试用最小割集法、最小径集集法、最小径集法计算顶事件的法计算顶事件的发生概率。发生概率。设各基本事件的发生概率为: :q q1 1 =0.01; =0.01; q q2 2=0.02; q=0.02; q3 3=0.03; =0.03; q q4 4=0.04; q=0.04; q5 5=0.05=0.05第29页/共48页30解: : 该事故树有三个最小割集: :E E1 1=X X1 1, X, X2 2, X, X3 3, ,; E E2 2=X X1 1, X, X4 4; E E3 3=X X3 3, X, X5 5 事故树有四个最小径集: :P P1 1=X X1 1, X, X3 3, ,; P P2 2=X X1 1, X, X5 5; P P3 3=X X3 3, X, X4 4 ; ; P P3 3=X X2 2, X, X4 4, X, X5 5 第30页/共48页31由式由式(3-19)(3-19)得顶事件的发生概率得顶事件的发生概率: :P(T)=P(T)=q q1 1q q2 2q q3 3+ q+ q1 1q q4 4+ q+ q3 3q q5 5- -q q1 1q q2 2q q3 3q q4 4- - q q1 1q q2 2q q3 3q q5 5- - q q1 1q q3 3q q4 4q q5 5+ q+ q1 1q q2 2q q4 4q q3 3q q5 5代人各基本事件的发生概率得代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872P(T)=0.001904872。第31页/共48页32由式由式 (3-21) (3-21) 得顶事件的发生概率得顶事件的发生概率: :P(T)=1-(1-P(T)=1-(1-q q1 1)(1-)(1-q q3 3)+(1-)+(1-q q1 1)(1-)(1-q q5 5)+(1-)+(1-q q3 3)(1-)(1- q q4 4)+(1-)+(1-q q2 2)(1-)(1-q q4 4)(1-)(1-q q5 5)+(1-+(1-q q1 1)(1-)(1-q q3 3)(1-)(1-q q5 5)+(1-)+(1-q q1 1)(1-)(1-q q3 3)(1-)(1-q q4 4)+(1-)+(1-q q1 1)(1-)(1-q q2 2)(1-)(1-q q4 4)(1-)(1-q q5 5) +(1-) +(1-q q2 2)(1-)(1-q q3 3)(1-)(1-q q4 4)(1-)(1-q q5 5) )-(1-(1-q q1 1)(1-)(1-q q2 2)(1-)(1-q q3 3)(1-)(1-q q4 4)(1-)(1-q q5 5) )=0.001904872=0.001904872第32页/共48页33 在上述三种顶事件发生概率的精确算法中在上述三种顶事件发生概率的精确算法中, , 后两种相对较简单。后两种相对较简单。 一般来说一般来说, , 事故树的最小割集事故树的最小割集数目较少数目较少时，用最小割集法；最小径集数目较少时，时，用最小割集法；最小径集数目较少时，用最小径集法。用最小径集法。 注意：注意：根据根据最小割集计算最小割集计算顶上事件发生概顶上事件发生概率的两个率的两个公式公式，计算精度分别，计算精度分别高于高于最小径集最小径集的两个的两个公式公式。因此，实际应用中，。因此，实际应用中，应尽量采应尽量采用最小割集法用最小割集法第33页/共48页34 按式按式(3-19) (3-19) 和和(3-21)(3-21)计算顶事件的发生概计算顶事件的发生概率率，工作量很大，且，工作量很大，且当事故树中的当事故树中的最小割最小割( (径径) )集较多时集较多时会发生会发生组合爆炸组合爆炸问题。但在许多工程问题。但在许多工程问题中问题中, , 这种这种精确计算是不必要精确计算是不必要的的, , 这是因为这是因为统计得到的统计得到的基本数据往往是不很精确基本数据往往是不很精确的的, ,因此因此, , 用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精精确计算没有实际意义确计算没有实际意义。所以。所以, , 实际计算中实际计算中多采多采用近似算法用近似算法。三、顶事件发生概率的近似算法第34页/共48页35 该近似法，就是将事故树中逻辑门代表的该近似法，就是将事故树中逻辑门代表的逻辑运算看做是代数运算逻辑运算看做是代数运算。【例 3-123-12】用近似算法求右图事故树顶事件的发生概率，并与精确值比较。各事件的发生概率为q q1 1 =0.01; q=0.01; q2 2=0.02; =0.02; q q3 3=0.03; q=0.03; q4 4=0.04=0.04 第35页/共48页361）顶事件发生概率的近似计算事故树的函数结构式为)(4321xxxxT用代数积、和代替逻辑积、和，顶事件发生的近似概率为000212. 0)04. 003. 002. 0(01. 0)(4321qqqqg第36页/共48页372）顶事件发生概率的精确计算由事故树的函数结构式，化简求得2个最小割集为,4312211xxxKxxK由式3-19知，顶事件发生概率是精确值为00021176. 004. 003. 002. 001. 0)04. 003. 001. 002. 001. 0()(432143121qqqqqqqqqg第37页/共48页383）顶事件发生概率近似计算的误差顶事件发生概率近似计算结果与精确值的相对误差为：%1133. 0001133. 000021176. 000021176. 0000212. 0可以看出，按照该近似方法计算顶事件发生概率，其相对误差相当小。第38页/共48页39 则得到用最则得到用最小割集求顶事小割集求顶事件发生件发生概率的概率的逼近公式逼近公式, , 即即：2.2.最小割集逼近法: :在式 (3-19) (3-19) 中, , 设: :kkkxrikksrkkxikrkxiFqFqFqrisriri 12111(3-22) (3-22) 第39页/共48页40式式 (3-22)(3-22)中的中的F F1 1，F F1 1-F-F2 2，F F1 1-F-F2 2+F+F3 3，等等 , , 依此给出了顶事件发生概率依此给出了顶事件发生概率P(T)P(T)的上限和下限的上限和下限, , 可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。用最小割集逼近法求解用最小割集逼近法求解 【例例 3-113-11】。由式由式 (3-22) (3-22) 可得可得 : :第40页/共48页41则有则有 : P(T)1.906: P(T)1.9061010-3-3 P(T)1.90486P(T)1.904861010-3-3 P(T)1.904872P(T)1.9048721010-3-3从中可取任意近似区间。从中可取任意近似区间。近似计算结果与精确计算结果的相对误差近似计算结果与精确计算结果的相对误差列于列于表表3-15 3-15 中。中。第41页/共48页42计算项目计算项目顶事件发生概率的近似计算顶事件发生概率的近似计算项目项目数值数值取值范围取值范围计算值计算值P(T)P(T)相对误差相对误差/%/%。F11.90610-3F10.0019060.0019060.0590.059F20.0011410-3F1 - -F20.001904860.001904860.00062990.0006299F30.00001210-3F1 - -F2 + +F30.0019048720.001904872O O表表 3-15 顶事件发生概率近似计算及相对误差顶事件发生概率近似计算及相对误差第42页/共48页43 由表可知由表可知, , 当以当以F F1 1作为顶事件发生概率作为顶事件发生概率时时, , 误差只有误差只有0.0590.059%；以以F F1 1 -F -F2 2作为顶事件作为顶事件发生概率时发生概率时, ,误差仅有误差仅有0.00062990.0006299% 。实际。实际应用中应用中, , 以以F F1 1 ( ( 称作称作首项近似法首项近似法 ) ) 或或F F1 1-F-F2 2作为顶事件发生概率的近似值作为顶事件发生概率的近似值, , 就可达到基就可达到基本精度要求。本精度要求。 第43页/共48页44与最小割集法相似与最小割集法相似, , 利用最小径集也可以求得顶事件利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式发生概率的上、下限。在式(3-21) (3-21) 中中 , , 设设：则 P(T)P(T) 1-S 1-S1 1 P(T) P(T) 1-S1-S1 1+S+S2 2 P(T) P(T) 1-S1-S1 1+S+S2 2- S- S3 3 (3-23(3-23) ) 3. 3.最小径集逼近法。第44页/共48页45 式式 (3-23) (3-23) 中的中的1-S1-S1 1, , 1-S 1-S1 1+S+S2 2 , , 1- 1-S S1 1+S+S2 2- S- S3 3 , , 等等, , 依次给出了顶事件发生依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲概率的上、下限。从理论上讲, , 式式(3-22) (3-22) 和和式式(3-23) (3-23) 的上、下限数列都是单调无限收敛的上、下限数列都是单调无限收敛于于P(T)P(T)的的, ,但是在但是在实际应用中实际应用中, , 因基本事件的因基本事件的发生概率较小发生概率较小, , 而而应当采用应当采用最小割集逼近法最小割集逼近法, , 以得到较精确的计算结果。以得到较精确的计算结果。第45页/共48页46为了使近似算法接近精确值为了使近似算法接近精确值, 计算时保留式计算时保留式 (3-19) 中第一、二项中第一、二项, 并取第二项的并取第二项的1/2 值值, 即即:4平均近似法。这种算法,称为平均近似法。)243(2111 kksrkkxikrkxisririqqg第46页/共48页47 该近似算法，是将各个最小割（径）集作为相互独立该近似算法，是将各个最小割（径）集作为相互独立的事件对待。即尽管各最小割（径）集中彼此的事件对待。即尽管各最小割（径）集中彼此有重复事件有重复事件，但仍将他们但仍将他们看做无重复事件看做无重复事件。这样，就可按照无重复事件。这样，就可按照无重复事件的情况，由前面的式的情况，由前面的式3-18和式和式3-20计算顶上事件发生概计算顶上事件发生概率。率。5独立事件近似法。)183(1krkxiriqg)203(1PrPxiriqg式式3-18较简单，精度更高，较简单，精度更高，而式而式3-20误差大，一般不采误差大，一般不采用用第47页/共48页48感谢您的观看。第48页/共48页
