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第二十六章 二次函数 (三课时)二次函数yax2及其图象学习要求1熟练掌握二次函数的有关概念2熟练掌握二次函数yax2的性质和图象课堂学习检测一、填空题1形如_的函数叫做二次函数，其中_是目变量，a，b，c是_且_02函数yx2的图象叫做_，对称轴是_，顶点是_3抛物线yax2的顶点是_，对称轴是_当a0时，抛物线的开口向_；当a0时，抛物线的开口向_4当a0时，在抛物线yax2的对称轴的左侧，y随x的增大而_，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_；函数y当x_时的值最_5当a0时，在抛物线yax2的对称轴的左侧，y随x的增大而_，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_；函数y当x_时的值最_6写出下列二次函数的a，b，c(1)a_，b_，c_(2)yx2a_，b_，c_(3)a_，b_，c_(4)a_，b_，c_7抛物线yax2，a越大则抛物线的开口就_，a越小则抛物线的开口就_8二次函数yax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内(1)y2x2如图( )； (2)如图( )；(3)yx2如图( )； (4)如图( )； (5)如图( )； (6)如图( )9已知函数不画图象，回答下列各题(1)开口方向_；(2)对称轴_；(3)顶点坐标_；(4)当x0时，y随x的增大而_；(5)当x_时，y0；(6)当x_时，函数y的最_值是_10画出y2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值综合、运用、诊断一、填空题11在下列函数中y2x2；y2x1；yx；yx2，回答：(1)_的图象是直线，_的图象是抛物线(2)函数_y随着x的增大而增大，函数_y随着x的增大而减小(3)函数_的图象关于y轴对称，函数_的图象关于原点对称(4)函数_有最大值为_，函数_有最小值为_12已知函数yax2bxc(a，b，c是常数)(1)若它是二次函数，则系数应满足条件_(2)若它是一次函数，则系数应满足条件_(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件_13已知函数y(m23m)的图象是抛物线，则函数的解析式为_，抛物线的顶点坐标为_，对称轴方程为_，开口_14已知函数ym(m2)x(1)若它是二次函数，则m_，函数的解析式是_，其图象是一条_，位于第_象限(2)若它是一次函数，则m_，函数的解析式是_，其图象是一条_，位于第_象限15已知函数ym，则当m_时它的图象是抛物线；当m_时，抛物线的开口向上；当m_时抛物线的开口向下二、选择题16下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )Ayx(x1)Bxy1Cy2x22(x1)2D17在二次函数y3x2；中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( )ABCD18对于抛物线yax2，下列说法中正确的是( )Aa越大，抛物线开口越大Ba越小，抛物线开口越大Ca越大，抛物线开口越大Da越小，抛物线开口越大19下列说法中错误的是( )A在函数yx2中，当x0时y有最大值0B在函数y2x2中，当x0时y随x的增大而增大C抛物线y2x2，yx2，中，抛物线y2x2的开口最小，抛物线yx2的开口最大D不论a是正数还是负数，抛物线yax2的顶点都是坐标原点三、解答题20函数y(m3)为二次函数(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象拓展、探究、思考21抛物线yax2与直线y2x3交于点A(1，b)(1)求a，b的值；(2)求抛物线yax2与直线y2的两个交点B，C的坐标(B点在C点右侧)；(3)求OBC的面积22已知抛物线yax2经过点A(2，1)(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使ABC的面积等于OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由二次函数ya(x-h)2的图象与性质（3课时）一、阅读课本：P1011二、学习目标：1会画二次函数ya（x-h）2的图象；2掌握二次函数ya（x-h）2的性质，并要会灵活应用；三、探索新知：画出二次函数y(x1)2，y(x1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性先列表：x-432101234y(x1)2y(x1)2描点并画图 1观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y(x1)2y(x1)22请在图上把抛物线yx2也画上去（草图） 抛物线y(x1)2 ，yx2，y(x1)2的形状大小_把抛物线yx2向左平移_个单位，就得到抛物线y(x1)2 ；把抛物线yx2向右平移_个单位，就得到抛物线y(x1)2 四、整理知识点 1yax2yax2kya (x-h)2开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2对于二次函数的图象，只要a相等，则它们的形状_，只是_不同五、课堂训练1填表开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性yx2y5 (x3)2y3 (x3)22抛物线y4 (x2)2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标为_3把抛物线y3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_ 把抛物线y3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_4将抛物线y(x1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_5写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y2x2都相同的二次函数解析式 _六、目标检测1抛物线y2 (x3)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；当x3时，y_；当x3时，y有_值是_2抛物线ym (xn)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y4 (x4)2，则 m_，n_3若将抛物线y2x21向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_4若抛物线ym (x1)2过点（1，4），则m_二次函数ya(xh)2k及其图象（3课时）学习要求掌握并灵活应用二次函数yax2k，ya(xh)2，ya(xh)2k的性质及图象课堂学习检测一、填空题1已知a0，(1)抛物线yax2的顶点坐标为_，对称轴为_(2)抛物线yax2c的顶点坐标为_，对称轴为_(3)抛物线ya(xm)2的顶点坐标为_，对称轴为_2若函数是二次函数，则m_3抛物线y2x2的顶点，坐标为_，对称轴是_当x_时，y随x增大而减小；当x_时，y随x增大而增大；当x_时，y有最_值是_4抛物线y2x2的开口方向是_，它的形状与y2x2的形状_，它的顶点坐标是_，对称轴是_5抛物线y2x23的顶点坐标为_，对称轴为_当x_时，y随x的增大而减小；当x_时，y有最_值是_，它可以由抛物线y2x2向_平移_个单位得到6抛物线y3(x2)2的开口方向是_，顶点坐标为_，对称轴是_当x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有最_值是_，它可以由抛物线y3x2向_平移_个单位得到二、选择题7要得到抛物线，可将抛物线( )A向上平移4个单位B向下平移4个单位C向右平移4个单位D向左平移4个单位8下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )Ay2x2与y3x2 B与Cy2x2与yx22Dyx2与yx229顶点为(5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )A BCD三、解答题10在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系11在同一坐标系中，画出函数y12x2，y22(x2)2与y32(x2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y12x2的图象的关系综合、运用、诊断一、填空题12二次函数ya(xh)2k(a0)的顶点坐标是_，对称轴是_，当x_时，y有最值_；当a0时，若x_时，y随x增大而减小13填表解析式开口方向顶点坐标对称轴y(x2)23y(x3)22y3(x2)2y3x2214抛物线有最_点，其坐标是_当x_时，y的最_值是_；当x_时，y随x增大而增大15将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为_二、选择题16一抛物线和抛物线y2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(1，3)，则该抛物线的解析式为( )Ay2(x1)23By2(x1)23Cy(2x1)23Dy(2x1)2317要得到y2(x2)23的图象，需将抛物线y2x2作如下平移( )A向右平移2个单位，再向上平移3个单位B向右平移2个单位，再向下平移3个单位C向左平移2个单位，再向上平移3个单位D向左平移2个单位，再向下平移3个单位三、解答题18将下列函数配成ya(xh)2k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值(1)yx26x10(2)y2x25x7(3)y3x22x(4)y3x26x2(5)y1005x2(6)y(x2)(2x1)拓展、探究、思考19把二次函数ya(xh)2k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象(1)试确定a，h，k的值；(2)指出二次函数ya(xh)2k的开口方向、对称轴和顶点坐标二次函数yax2bxc及其图象（2课时）学习要求掌握并灵活应用二次函数yax2bxc的性质及其图象课堂学习检测一、填空题1把二次函数yax2bxc(a0)配方成ya(xh)2k形式为_，顶点坐标是_，对称轴是直线_当x_时，y最值_；当a0时，x_时，y随x增大而减小；x_时，y随x增大而增大2抛物线y2x23x5的顶点坐标为_当x_时，y有最_值是_，与x轴的交点是_，与y轴的交点是_，当x_时，y随x增大而减小，当x_时，y随x增大而增大3抛物线y32xx2的顶点坐标是_，它与x轴的交点坐标是_，与y轴的交点坐标是_4把二次函数yx24x5配方成ya(xh)2k的形式，得_，这个函数的图象有最_点，这个点的坐标为_5已知二次函数yx24x3，当x_时，函数y有最值_，当x_时，函数y随x的增大而增大，当x_时，y06抛物线yax2bxc与y32x2的形状完全相同，只是位置不同，则a_7抛物线y2x2先向_平移_个单位就得到抛物线y2(x3)2，再向_平移_个单位就得到抛物线y2(x3)24二、选择题8下列函数中y3x1；y4x23x；y52x2，是二次函数的有( )ABCD9抛物线y3x24的开口方向和顶点坐标分别是( )A向下，(0，4)B向下，(0，4)C向上，(0，4)D向上，(0，4)10抛物线的顶点坐标是( )ABCD(1，0)11二次函数yax2x1的图象必过点( )A(0，a)B(1，a)C(1，a)D(0，a)三、解答题12已知二次函数y2x24x6(1)将其化成ya(xh)2k的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线yx2的关系；(6)当x取何值时，y随x增大而减小；(7)当x取何值时，y0，y0，y0；(8)当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少?(9)当y取何值时，4x0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积二次函数yax2bxc的性质巩固练习（2课时）一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容二、学习目标：1懂得求二次函数yax2bxc与x轴、y轴的交点的方法；2知道二次函数中a，b，c以及b24ac对图象的影响三、基本知识练习1求二次函数yx23x4与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标_2二次函数yx23x4的顶点坐标为_，对称轴为_3一元二次方程x23x40的根的判别式_4二次函数yx2bx过点（1，4），则b_5一元二次方程yax2bxc（a0），0时，一元二次方程有_，0时，一元二次方程有_，0时，一元二次方程_四、知识点应用 1求二次函数yax2bxc与x轴交点（含y0时，则在函数值y0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）例1 求yx22x3与x轴交点坐标2求二次函数yax2bxc与y轴交点（含x0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）例2 求抛物线yx22x3与y轴交点坐标3a、b、c以及b24ac对图象的影响 （1）a决定：开口方向、形状 （2）c决定与y轴的交点为（0，c） （3）b与共同决定b的正负性 （4）b24ac 例3 如图，由图可得：a_0b_0c_0_0例4 已知二次函数yx2kx9 当k为何值时，对称轴为y轴； 当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； 当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点五、课后练习 1求抛物线y2x27x15与x轴交点坐标_，与y轴的交点坐标为_ 2抛物线y4x22xm的顶点在x轴上，则m_ 3如图：由图可得：a_0b_0c_0b24ac_0六、目标检测1求抛物线yx22x1与y轴的交点坐标为_2若抛物线ymx2x1与x轴有两个交点，求m的范围3如图：由图可得：a _0 b_0c_0b24ac_0二次函数yax2bxc解析式求法（3课时）一、学习目标：1会用待定系数法求二次函数的解析式；2实际问题中求二次函数解析式二、课前基本练习1已知二次函数yx2xm的图象过点（1，2），则m的值为_2已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y4x2bxc上的两点，则这条抛物线的对称轴为_3将抛物线y(x1)23先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为_4抛物线的形状、开口方向都与抛物线yx2相同，顶点在（1，2），则抛物线的解析式为_三、例题分析例1 已知抛物线经过点A（1，0），B（4，5），C（0，3），求抛物线的解析式例2 已知抛物线顶点为（1，4），且又过点（2，3）求抛物线的解析式例3 已知抛物线与x轴的两交点为（1，0）和（3，0），且过点（2，3） 求抛物线的解析式四、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1已知抛物线过三点，设一般式为yax2bxc2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2k3已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：ya(xx1)(xx2) （其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）五、实际问题中求二次函数解析式例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？六、课堂训练1已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式2已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图像过点（3，2），求这个二次函数的解析式3已知二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标4如图，在ABC中，B90°，AB12mm，BC24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围七、目标检测1已知二次函数的图像过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式用函数观点看一元二次方程（3课时）一、阅读课本：第2022页二、学习目标：1知道二次函数与一元二次方程的关系2会用一元二次方程ax2bxc0根的判别式b24ac判断二次函数yax2bxc与x轴的公共点的个数三、探索新知1问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t5t2 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？2观察图象：（1）二次函数yx2x2的图象与x轴有_个交点，则一元二次方程x2x20的根的判别式_0；（2）二次函数yx26x9的图像与x轴有_个交点，则一元二次方程x26x90的根的判别式_0；（3）二次函数yx2x1的图象与x轴_公共点，则一元二次方程x2x10的根的判别式_0四、理一理知识1已知二次函数yx24x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 _反之，解一元二次方程x24x3又可以看作已知二次函数 _的函数值为3的自变量x的值一般地：已知二次函数yax2bxc的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2bxcm反之，解一元二次方程ax2bxcm又可以看作已知二次函数yax2bxc的值为m的自变量x的值2二次函数yax2bxc与x轴的位置关系： 一元二次方程ax2bxc0的根的判别式b24ac（1）当b24ac0时抛物线yax2bxc与x轴有两个交点；（2）当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴只有一个交点；（3）当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴没有公共点五、基本知识练习1二次函数yx23x2，当x1时，y_；当y0时，x_2二次函数yx24x6，当x_时，y33如图，一元二次方程ax2bxc0的解为_4如图一元二次方程ax2bxc3 的解为_5如图填空：（1）a_0（2）b_0（3）c_0（4）b24ac_0六、课堂训练1特殊代数式求值： 如图看图填空：（1）abc_0（2）abc_0（3）2ab _0如图2ab _04a2bc_02利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax2bxc0的根为_；（2）方程ax2bxc3的根为_；（3）方程ax2bxc4的根为_；（4）不等式ax2bxc0的解集为_；（5）不等式ax2bxc0的解集为_； （6）不等式4ax2bxc0的解集为_七、目标检测根据图象填空：（1）a_0；（2）b_0；（3）c_0；（4）b24ac_0；（5）abc_0；（6）abc_0；（7）2ab_0；（8）方程ax2bxc0的根为_；（9）当y0时，x的范围为_；（10）当y0时，x的范围为_；八、课后训练1已知抛物线yx22kx9的顶点在x轴上，则k_2已知抛物线ykx22x1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围_3已知函数yax2bxc（a，b，c为常数，且a0）的图象如图所示，则关于x的方程 ax2bxc40的根的情况是（ ） A有两个不相等的正实数根B有两个异号实数根 C有两个相等实数根D无实数根4如图为二次函数yax2bxc的图象，在下列说法中：ac0；方程ax2bxc0的根是x11，x23；abc0；当x1时，y随x的增大而增大正确的说法有_（把正确的序号都填在横线上）实际问题与二次函数-商品价格调整问题一、阅读课本：第2526页上方（探究1）二、学习目标：1懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2会应用二次函数的性质解决问题三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_件，实际卖出_件，设商品的利润为y元（2）设每件降价x元，则每星期多卖_件，实际卖出_件四、课堂训练1某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100x）件，应如何定价才能使利润最大？2蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份）123456市场售价P（元/千克）10.597.564.53这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？ （收益市场售价种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？二次函数综合应用一、复习二次函数的基本性质二、学习目标：灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题三、课前训练1二次函数ykx22x1（k0）的图象可能是（ ）2如图： （1）当x为何范围时，y1y2? （2）当x为何范围时，y1y2? （3）当x为何范围时，y1y2? 3如图，是二次函数yax2xa21的图象，则a_4若A（，y1），B（1，y2），C（，y3）为二次函数yx24x5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）Ay1y2y3By3y2y1Cy3y1y2Dy2y1y35抛物线y(x2) (x5)与坐标轴的交点分别为A、B、C，则ABC的面积为_6如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB3，AD5若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿ABCD的路线做匀速运动当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动（1）求点P从点A运动到点D所需的时间（2）设点P运动时间为t（秒）当t5时，求出点P的坐标若OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）五、目标检测如图，二次函数yax2bxc的图像经过A（1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于点C（1）求b、c的值；（2）过点C作CDx轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定MCD的形状二次函数的复习题第（第一课时）1 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：时间t（秒）1234距离s（米）281832写出用t表示s的函数关系式。2 若是二次函数，求m的值。3 用100cm长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积S（cm2）与半径R（cm）的函数关系式。4 已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式。5 等边三角形的边长为4，若边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式。6 富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。（1） 如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？二次函数的复习题第（第二课时）1 在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）；（2）。2 根据图象填空：（1）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x轴的 方，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；3 （2）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，4 抛物线上的点都在x轴的 方，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；5 已知函数是关于x的二次函数，求：（1） 满足条件的m的值；（2） m为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；（3） m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增