2019-2020学年数学人教A版4-5检测：第一讲 不等式和绝对值不等式 测评 .docx
第一讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若1a<1b<0,给出下列不等式:a+b<ab;|a|>|b|;a<b;ba+ab>2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析由已知得b<a<0,所以a+b<ab,|a|<|b|,ba>0,从而ba+ab>2,因此正确.答案B2.设集合A=x|x-a|<1,xR,B=x|x-b|>2,xR.若AB,则实数a,b必满足()A.|a+b|3B.|a+b|3C.|a-b|3D.|a-b|3解析由题意可得集合A=x|a-1<x<a+1,集合B=x|x<b-2或x>b+2,又AB,所以有a+1b-2或b+2a-1,即a-b-3或a-b3,因此选D.答案D3.对于xR,不等式|x+10|-|x-2|8的解集为()A.0,+)B.(0,2)C.0,2)D.(0,+)解析如图,|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P在点A右侧时|PB|-|PC|>8,故x0.答案A4.下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+1xB.y=x2-2x+4C.y=x2+1x2D.y=x2+2+1x2+2解析在函数y=x2+1x2中,x2>0,所以y=x2+1x22x21x2=2,当且仅当x=1时,函数的最小值为2.答案C5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于()A.8B.2C.-4D.-2解析由已知得-4<ax+2<4,则-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),故a=-2.答案D6.“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为|x+1|+|x+2|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空得a>1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|<a有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的充分不必要条件,故选C.答案C7.已知f(x)=2x+3(xR),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.ba2B.b<a2C.ab2D.a>b2解析由|f(x)-1|<a可得-a-22<x<a-22,由|x+1|<b可得-b-1<x<b-1,由题意可得-b-1-a-22,b-1a-22,解得ba2.答案A8.若x(0,),则y=sinx2cos2x2的最大值等于()A.427B.239C.23D.49解析y2=sin2x2cos4x2=122sin2x2cos2x2cos2x2122sin2x2+cos2x2+cos2x233=427当且仅当sin2x2=cos2x2时,等号成立,所以y239,故所求最大值为239.答案B9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是()A.0,5)B.0,13)C.0,9)D.0,4)解析|2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.答案B10.若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是()A.(-,7)B.(-,7C.(-,5)D.(-,5解析不等式x2<|x-1|+a等价于x2-|x-1|-a<0,设f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则f(-3)=5-a0,f(3)=7-a0,解得a5,故选D.答案D11.(2017陕西宝鸡一模)在正项等比数列an中,a2 016=a2 015+2a2 014,若aman=16a12,则4m+1n的最小值等于()A.1B.32C.53D.136解析设正项等比数列an的公比为q(q>0),由a2 016=a2 015+2a2 014,得q2=q+2,解得q=2或q=-1(舍去).又因为aman=16a12,即a122m+n-2=16a12,所以m+n=6.因此4m+1n=16(m+n)4m+1n=165+4nm+mn165+24nmmn=32,当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B.答案B12.导学号26394017设0<x<1,a,b都为大于零的常数,若a2x+b21-xm恒成立,则m的最大值是()A.(a-b)2B.(a+b)2C.a2b2D.a2解析a2x+b21-x=a2x+b21-xx+(1-x)=a2+b2+a2(1-x)x+b2x1-xa2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当x1-x=ab时,等号成立.由a2x+b21-xm恒成立,可知m(a+b)2.故m的最大值是(a+b)2.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x>-2,且x0,则1x的取值范围是.解析因为x>-2,且x0,所以当x>0时,有1x>0;当-2<x<0时,有1x<-12,综上,1x的取值范围是-,-12(0,+).答案-,-12(0,+)14.(2017山东淄博模拟)已知f(x)=lgx2-x,若f(a)+f(b)=0,则4a+1b的最小值是.解析f(x)=lgx2-x,f(a)+f(b)=0,lga2-a+lgb2-b=0,ab(2-a)(2-b)=1,整理,得a+b=2(a,b(0,2),则4a+1b=12(a+b)4a+1b=125+4ba+ab125+24baab=92.当且仅当a=2b=43时,等号成立.答案9215.若关于x的不等式|x+1|+|x-3|a+4a对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.解析由绝对值不等式的意义可得a+4a4,所以(a-2)2a0,解得a的取值范围为(-,0)2.答案(-,0)216.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(单位:米)与时间t(单位:分)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2 000,则平均速度的最小值是米/分.解析平均速度为v(t)=st=0.2t2-14t+2 000t=0.2t+2 000t-1420.2t2 000t-14=220-14=26,当且仅当0.2t=2 000t,即t=100时,取得最小值.答案26三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a(aN+)的解集为A,且32A,12A.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.解(1)因为32A,且12A,所以32-2<a,且12-2a,解得12<a32.又因为aN+,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)0,即-1x2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=m-|x-2|,mR+,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值;(2)若a,b,cR+,且1a+12b+13c=m,求证a+2b+3c9.(1)解因为f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)0等价于|x|m.由|x|m有解,得m0,且其解集为x|-mxm,又f(x+2)0的解集为-1,1,所以m=1.(2)证明由(1)知1a+12b+13c=1,又a,b,cR+,所以a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=3+a2b+3c2b+2ba+3ca+a3c+2b3c=3+a2b+2ba+3c2b+2b3c+3ca+a3c3+2a2b2ba+23c2b2b3c+23caa3c=3+6=9(当且仅当a=2b=3c时,等号成立).故a+2b+3c9.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(分类讨论)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a>1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a0,求证f(ab)>|a|fba.(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=-2x-2,x<-3,4,-3x1,2x+2,x>1,当x<-3时,由-2x-28,解得x-5;当-3x1时,不成立;当x>1时,由2x+28,解得x3.所以不等式f(x)+f(x+4)8的解集为x|x-5或x3.(2)证明因为f(ab)=|ab-1|,|a|fba=|a|ba-1=|a-b|,又|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.21.导学号26394018(本小题满分12分)已知x,y,zR+,x+y+z=3.(1)求1x+1y+1z的最小值;(2)求证3x2+y2+z2<9.(1)解因为x+y+z33xyz>0,1x+1y+1z33xyz>0,所以(x+y+z)1x+1y+1z9,即1x+1y+1z3,当且仅当x=y=z=1时,1x+1y+1z取最小值3.(2)证明因为x2+y2+z2=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)3x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)3=(x+y+z)23=3(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,所以3x2+y2+z2<9(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).22.导学号26394019(本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若a+b=1,对a,b(0,+),1a+4b|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当x<-1时,由f(x)>x得1-2x+x+1>x,解得x<-1;当-1x12时,由f(x)>x得1-2x-x-1>x,解得-1x<0;当x>12时,由f(x)>x得2x-1-(x+1)>x,即-2>0,无解.综上,不等式f(x)>x的解集为x|x<0.(2)f(x)=-x+2,x<-1,-3x,-1x12,x-2,x>12,如图.又a,b(0,+),且a+b=1,1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,当且仅当ba=4ab时,等号成立,即a=13,b=23.1a+4b|2x-1|-|x+1|恒成立,|2x-1|-|x+1|9,结合图象知-7x11,故x的取值范围是-7x11.
