2019-2020学年数学北师大版必修5检测：习题课3 不等式的综合应用 .docx
习题课不等式的综合应用课后篇巩固探究1.已知函数f(x)=-x+1,x<0,x-1,x0,则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是() A.x|-1x2-1B.x|x1C.x|x2-1D.x|-2-1x2-1答案:C2.在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x成立,则()A.-1<a<1B.0<a<2C.-12<a<32D.-32<a<12解析:(x-a)(x+a)<1(x-a)1-(x+a)<1-x2+x+a2-a-1<0x2-x-a2+a+1>0.因为不等式对任意实数x成立,所以<0,即1-4(a-a2+1)<0,4a2-4a-3<0,解得-12<a<32.答案:C3.已知a,b都为正实数,且1a+1b=1,则2+b2ab的最大值为()A.916B.12C.516D.34解析:依题意得,2+b2ab=1ab+12a=12a+1a1-1a=-1a2+32a=-1a-342+916的最大值是916,当1a-34=0,即1a=34,1b=14时取得最大值.因此选A.答案:A4.已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为()A.32B.53C.256D.不存在解析:设正项等比数列an的公比为q(q>0),由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由aman=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故1m+4n=16(m+n)1m+4n=56+164mn+nm56+46=32,当且仅当n=2m,即m=2,n=4时,等号成立.答案:A5.设变量x,y满足约束条件x+ya,x+y8,x6且不等式x+2y14恒成立,则实数a的取值范围是()A.8,10B.8,9C.6,9D.6,10解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在点(6,a-6)处取得最大值2a-6,由2a-614,得a10,所以8a10,故选A.答案:A6.导学号33194078已知不等式(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8解析:因为x,y(0,+),a>0,所以(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy1+a+2a(当且仅当y=ax时,等号成立),因此,若使不等式(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,则需1+a+2a=(a+1)29,解得a4,即正实数a的最小值为4.故选B.答案:B7.设实数x,y满足x-y-20,x+2y-40,2y-30,则yx的最大值为.解析:yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,作出不等式组表示的平面区域(图略),由图可知在点1,32处yx取到最大值,最大值为321=32.答案:328.不等式x2-9x-2>0的解集是.解析:不等式x2-9x-2>0可化为(x-2)(x-3)(x+3)>0,由穿针引线法(如图)得,所求不等式的解集为(-3,2)(3,+).答案:(-3,2)(3,+)9.已知t是正实数,若不等式组x+yt,x-y0,x0表示的区域内存在一个半径为1的圆,则t的最小值为.解析:画出不等式组表示的平面区域,当t是正实数时,所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形.依题意,它有一个半径为1的内切圆,不妨设斜边|OB|=t,则两直角边长|AB|=|OA|=22t,所以22t+22t-t2=1,求得t=22-1=22+2,即tmin=2+22.答案:2+2210.导学号33194079已知不等式x2-ax+10.(1)若不等式对于一切x(0,2恒成立,则a的取值范围为.(2)若不等式对一切x-2,2恒成立,则a的取值范围为.(3)若不等式对一切a-2,2恒成立,则x的取值范围为.解析:(1)原不等式可化为ax2+1x,而x2+1x2xx=2,当且仅当x=1时等号成立,所以a的取值范围是(-,2.(2)因为x-2,2,当x=0时,原式为02-a0+10恒成立,此时aR;当x0时,则当x(0,2时,由(1)知a(-,2,所以当x-2,0)时,可得ax2+1x,令f(x)=x2+1x=x+1x,由函数的单调性可知,f(x)max=f(-1)=-2,所以a-2,+).综上可知,a的取值范围是-2,2.(3)因为a-2,2,所以可把原式看作关于a的函数,即g(a)=-xa+x2+10.由题意可知,g(-2)=x2+2x+10,g(2)=x2-2x+10,解得xR,所以x的取值范围是(-,+).答案:(1)(-,2(2)-2,2(3)(-,+)11.已知集合A=x|x2-2x-30,xR,B=x|x2-2mx+m2-40,xR,mR.(1)若AB=0,3,求实数m的值;(2)若ARB,求实数m的取值范围.解由已知得A=x|-1x3,B=x|m-2xm+2.(1)因为AB=0,3,所以m-2=0,m+23,所以m=2,m1.所以m=2.(2)RB=x|x<m-2或x>m+2.因为ARB,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3.12.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵玩具需5分钟,生产一个骑兵玩具需7分钟,生产一个伞兵玩具需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵玩具可获利润5元,生产一个骑兵玩具可获利润6元,生产一个伞兵玩具可获利润3元.(1)用每天生产的卫兵玩具个数x与骑兵玩具个数y表示每天的利润w(元);(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大?最大利润是多少?解(1)依题意每天生产的伞兵玩具个数为100-x-y,所以利润w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.(2)约束条件为5x+7y+4(100-x-y)600,100-x-y0,xN,yN,整理得x+3y200,x+y100,xN,yN.目标函数为w=2x+3y+300.如图所示,作出可行域.初始直线l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,w有最大值.由x+3y=200,x+y=100得x=50,y=50,所以wmax=550(元).答:每天生产卫兵玩具50个,骑兵玩具50个,伞兵玩具0个时利润最大,为550元.
