2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：1.2.1-1.2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化 .docx
2极坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化课后篇巩固探究A组1.极坐标为2,74的点的直角坐标为()A.(,)B.(,-)C.(-,)D.(-,-)解析:设点的直角坐标为(x,y),则有x=2cos74=,y=2sin74=-,故直角坐标为(,-).答案:B2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)答案:A3.已知极坐标平面内的点P2,-53,则点P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.2,3,(1,3)B.2,-3,(1,-3)C.2,23,(-1,3)D.2,-23,(-1,-3)解析:易知点P2,-53关于极点的对称点的极坐标为2,-23,由x=cos =2cos-23=-1,y=sin =2sin-23=-3,知点P关于极点的对称点的直角坐标为(-1,-3).答案:D4.已知点M的直角坐标是(2,-23),则在下列极坐标中,不是点M的极坐标的是()A.4,-3B.-4,23C.4,-53D.4,53解析:=22+(-23)2=4,tan =-232=-3.又点M在第四象限,故点M的极坐标为4,-3+2k或-4,23+2k,kZ.答案:C5.若点M的极坐标为6,116,则点M关于y轴对称点的直角坐标为.解析:点M的极坐标为6,116,x=6cos116=6cos6=632=33,y=6sin116=6sin-6=-3,点M的直角坐标为(33,-3),点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-33,-3).答案:(-33,-3)6.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当>0,0,2)时,点P的极坐标为.解析:点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,x=-2,且y=-2.=x2+y2=22.又tan =yx=1,且0,2),=54.点P的极坐标为22,54.答案:22,547.将下列极坐标化成直角坐标.(1)2,4;(2)6,-3;(3)(5,).解(1)因为x=2cos4=1,y=2sin4=1,所以点2,4的直角坐标为(1,1).(2)因为x=6cos-3=3,y=6sin-3=-33.所以点6,-3的直角坐标为(3,-33).(3)因为x=5cos =-5,y=5sin =0,所以点(5,)的直角坐标为(-5,0).8.导学号73144009分别将下列点的直角坐标化为极坐标(>0,0<2).(1)(-1,1);(2)(4,-43);(3)32,32;(4)(-6,-2).解(1)=(-1)2+12=2,tan =-1,0,2),因为点(-1,1)在第二象限,所以=34,所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为2,34.(2)=42+(-43)2=8,tan =-434=-3,0,2),因为点(4,-43)在第四象限,所以=53.所以直角坐标(4,-43)化为极坐标为8,53.(3)=322+322=322,tan =3232=1,0,2),因为点32,32在第一象限,所以=4.所以直角坐标32,32化为极坐标为322,4.(4)=(-6)2+(-2)2=22,tan =-2-6=33,0,2),因为点(-6,-2)在第三象限,所以=76.所以直角坐标(-6,-2)化为极坐标为22,76.9.在极坐标系中,如果A2,4,B2,54为等腰直角三角形ABC的两个顶点,求直角顶点C的极坐标(0,0<2)与该三角形的面积.解法一利用坐标转化.对于点A2,4,直角坐标为(2,2),点B2,54的直角坐标为(-2,-2).设点C的直角坐标为(x,y).由题意得ACBC,且|AC|=|BC|,故ACBC=0,即(x-2,y-2)(x+2,y+2)=0,(x-2)(x+2)+(y-2)(y+2)=0.得x2+y2=4.又|AC|2=|BC|2,于是(x-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y+2)2,即y=-x,代入得x2=2,解得x=2,x=2,y=-2或x=-2,y=2,点C的直角坐标为2,-2或-2,2.=2+2=2,tan =-1,=74或34,点C的极坐标为2,34或2,74.SABC=12|AC|BC|=12|AC|2=128=4.法二设点C的极坐标为(,)(>0,0<2),|AB|=2|OA|=4,C=2,|AC|=|BC|,|AC|=|BC|=22,即2+22-22cos-4=8,2+22-22cos-54=8,+化简得2=4,由>0得=2,代入得cos-4=0,-4=2+k,kZ,即=34+k,kZ,又0<2,k可取0或1,=34或=74.点C的极坐标为2,34或2,74,SABC=12|AC|BC|=12|AC|2=128=4.B组1.在极坐标系中,确定点M-2,6的位置,下面方法正确的是()A.作射线OP,使xOP=6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使xOP=6,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使xOP=76,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使xOP=-6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2答案:B2.在极坐标系中,已知点A2,6,B6,-6,则OA与OB的夹角为()A.6B.0C.3D.56解析:如图所示,夹角为3.答案:C3.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-3).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A.2,-3B.2,43C.1,-3D.2,-43解析:极径=12+(-3)2=2,极角满足tan =-31=-3,点(1,-3)在第四象限,=-3+2k(kZ).答案:A4.在极坐标系中,已知点P2,3和点Q23,56,则PQ的中点M的极坐标可以是()A.2,3B.2,23C.1+3,712D.1+3,512解析:P2,3,x=2cos3=1,y=2sin3=3,P(1,3).Q23,56,x=23cos56=-3,y=23sin56=3,Q(-3,3).PQ的中点M的直角坐标为(-1,3).2=(-1)2+(3)2=4,=2,tan =3-1=-3,=23+2k,kZ.答案:B5.已知极坐标系中,极点为坐标原点,0<2,点M3,3,则在直线OM上与点M之间的距离为4的点的极坐标为.解析:如图所示,|OM|=3,xOM=3,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.所以点P,Q都满足条件.所以得点P7,3,Q1,43.答案:7,3或1,436.在极坐标系中,已知点B3,4,D3,74,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并分别求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定>0,0,2).解由点B3,4,D3,74,知|OB|=|OD|=3,极角4与74的终边关于极轴对称.所以点B,D关于极轴对称.设点B3,4,D3,74关于极点的对称点分别为E(1,1),F(2,2),且1=2=3.当0,2)时,1=54,2=34,故E3,54,F3,34为所求对称点的极坐标.7.导学号73144010如图,已知ABC三个顶点的极坐标分别为点A2,2,B2,56,C3,53,极点O(0,0).(1)判断OAB是否为等边三角形;(2)求ABC的面积.解所给各点的直角坐标分别为A(0,2),B(-3,1),C32,-32,O(0,0).(1)|AB|=(-3-0)2+(1-2)2=2,|OA|=|OB|=2,OAB为等边三角形.(2)|AC|=32-02+-32-22=13,|BC|=32+32+-32-12=13,|AB|=2,ABC为等腰三角形.设点D为AB的中点,连接CD.点D为-32,32,|CD|=32+322+-32-322=23,SABC=12|AB|CD|=12223=23.
