2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：2.4 平摆线和渐开线 .docx
4平摆线和渐开线课后篇巩固探究A组1.已知圆的渐开线的参数方程x=cos+sin,y=sin-cos(为参数),则此渐开线对应基圆的面积是()A.1B.C.2D.2解析:由参数方程知基圆的半径为1,故其面积为.答案:B2.下列各点中,在圆的摆线x=-sin,y=1-cos(为参数)上的是()A.(,0)B.(,1)C.(2,2)D.(2,0)解析:依次将点代入验证即可.答案:D3.如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH叫作“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是()A.3B.4C.5D.6解析:根据渐开线的定义可知,AE是半径为1的14圆周长,长度为2,继续旋转可得EF是半径为2的14圆周长,长度为;FG是半径为3的14圆周长,长度为32;GH是半径为4的14圆周长,长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.答案:C4.导学号73144041我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线x=r(-sin),y=r(1-cos)(为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为()A.x=r(-sin),y=r(1-cos)(为参数)B.x=r(1-cos),y=r(-sin)(为参数)C.x=rsin,y=r(1-cos)(为参数)D.x=r(1-cos),y=rsin(为参数)解析:关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出平摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程,只需把其中的x与y互换.答案:B5.当=2时,圆的平摆线x=4-4sin,y=4-4cos(为参数)上对应的点的坐标是.答案:(2-4,4)6.已知一个圆的平摆线方程是x=4-4sin,y=4-4cos(为参数),则该圆的面积为,对应圆的渐开线方程为.答案:16x=4cos+4sin,y=4sin-4cos(为参数)7.已知平摆线的生成圆的直径为80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高.解平摆线的生成圆的半径r=40 mm,此平摆线的参数方程为x=40(t-sint),y=40(1-cost)(t为参数),它一拱的拱宽为2r=240=80(mm),拱高为2r=240=80(mm).8.已知圆的渐开线x=r(cos+sin),y=r(sin-cos)(为参数,0<2)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.解把已知点(3,0)代入参数方程得3=r(cos+sin),0=r(sin-cos),解得=0,r=3.所以基圆的面积S=r2=32=9.9.已知圆C的参数方程是x=1+6cos,y=-2+6sin(为参数),直线l对应的普通方程是x-y-62=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x轴的交点.解(1)圆C平移后圆心为O(0,0),圆心到直线x-y-62=0的距离为d=622=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)因为圆的半径是6,所以可得摆线方程是x=6-6sin,y=6-6cos(为参数).(3)令y=0,得6-6cos =0cos =1,所以=2k(kZ).代入x=6-6sin ,得x=12k(kZ),即圆的摆线和x轴的交点为(12k,0)(kZ).B组1.半径为4的圆的平摆线的参数方程为()A.x=4cos,y=4sin(为参数)B.x=-4cos,y=-4sin(为参数)C.x=4(-sin),y=4(1-cos)(为参数)D.x=4(1-sin),y=4(-cos)(为参数)答案:C2.给出下列说法:圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.B.C.D.解析:对于一个圆,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所不同,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案:C3.已知半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐标可能是()A.B.2C.12D.14解析:根据条件可知圆的摆线的参数方程为x=3-3sin,y=3-3cos(为参数),把y=0代入可得cos =1,所以=2k(kZ).而x=3-3sin =6k(kZ).根据选项可知应选C.答案:C4.已知圆的渐开线x=r(cos+sin),y=r(sin-cos)(为参数,0<2)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.解把已知点(3,0)代入参数方程得3=r(cos+sin),0=r(sin-cos),解得=0,r=3.所以基圆的面积S=r2=32=9.5.已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时对应的圆的渐开线的标准方程.解令y=0,得r(1-cos )=0,即得cos =1.所以=2k(kZ).代入x=r(2k-sin 2k)=2,即得r=1k(kZ).又由实际可知r>0,所以r=1k(kN+).易知,当k=1时,r最大,最大值为1.故圆的渐开线的参数方程是x=1(cos+sin),y=1(sin-cos)(为参数).6.导学号73144042一个圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时,求圆内一定点M的轨迹方程.解取定直线为x轴,点C在x轴上时的一个位置为原点,建立如图所示的直角坐标系.设点M(x,y)为轨迹上任一点.取圆的转动角ABM=为参数.设圆半径为r,点M到圆心的距离为d(d<r).开始时定点位于点M0,滚动角后处于图中点M,此时lAC=r,得|OA|=r,OB=(r,r).由=32-,得BM=(dcos ,dsin )=dcos 32-,dsin 32-=(-dsin ,-dcos ).由此得OM=OB+BM=(r-dsin ,r-dcos ),又OM=(x,y),故所求摆线的参数方程为x=r-dsin,y=r-dcos(为参数).
