2019-2020学年数学人教A版4-4检测：模块综合测评B .docx
模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知点M的极坐标为-7,43,下列坐标中不能表示点M的是()A.-7,-23B.7,-53C.7,3D.7,43答案D2.曲线x=-1+cos,y=2+sin(为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上解析由已知得cos=x+1,sin=y-2,消去参数得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x上.故选B.答案B3.已知点P的极坐标为(1,),则过点P且垂直于极轴所在直线的直线方程是()A.=1B.=cos C.=-1cosD.=1cos解析由点P的坐标可知,过点P且垂直于极轴所在直线的直线的直角坐标方程为x=-1,化成极坐标方程为cos =-1,故选C.答案C4.若a,bR,a2+2b2=6,则a+b的最小值是()A.-22B.-533C.-3D.-72解析不妨设a=6cos,b=3sin(为参数),则a+b=6cos +3sin =3sin(+),其中tan =2.所以a+b的最小值为-3.答案C5.在极坐标系中,曲线=2cos 上的动点P与定点Q1,2的最短距离等于()A.2-1B.5-1C.1D.2解析将=2cos 化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即2-1.答案A6.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是x=t+1,y=t-3(t为参数),圆C的极坐标方程是=4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B.214C.2D.22解析由题意得直线l的普通方程为x-y-4=0,圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,半径r=2.则圆心到直线的距离d=2,故弦长为2r2-d2=22.答案D7.若曲线的参数方程是x=1-1t,y=1-t2(t是参数,t0),则它的普通方程是()A.(x-1)2(y-1)=1B.y=x(x-2)(1-x)2C.y=1(1-x)2-1D.y=x1-x2解析由x=1-1t,得1t=1-x.由y=1-t2,得t2=1-y.所以(1-x)2(1-y)=1t2t2=1,进一步整理得到y=x(x-2)(1-x)2.答案B8.极坐标方程=cos 与cos =12对应的图形是()解析把cos =12化为直角坐标方程,得x=12.又圆=cos 的圆心坐标为12,0,半径为12,故选项B正确.答案B9.已知点M的球坐标为6,3,74,则它的直角坐标是()A.-362,362,-33B.362,-362,3C.362,-362,33D.-64,64,3解析设点M的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin 3cos 74=63222=362,y=6sin 3sin 74=632-22=-362,z=6cos 3=612=3.故点M的直角坐标为362,-362,3.答案B10.导学号73574073若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为()A.=1cos+sin02B.=1cos+sin04C.=cos +sin 02D.=cos +sin 04解析由x=cos ,y=sin ,y=1-x可得sin =1-cos ,即=1cos+sin.再结合线段y=1-x(0x1)在极坐标系中的情形,可知0,2.因此线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为=1cos+sin02.故选A.答案A11.经过点P(4,3),且斜率为23的直线的参数方程为()A.x=4+313t,y=3+213t(t为参数)B.x=3+313t,y=4+213t(t为参数)C.x=4+213t,y=3+313t(t为参数)D.x=3+213t,y=4+313t(t为参数)解析设倾斜角为,则倾斜角满足tan =23,sin =213,cos =313.所求的参数方程为x=4+313t,y=3+213t(t为参数).答案A12.导学号73574074已知曲线C1的参数方程为x=2cos,y=1+2sin(为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2sin +4=5.设点P,Q分别在曲线C1和C2上运动,则|PQ|的最小值为()A.2B.22C.32D.42解析x=2cos,y=1+2sin可化为x22+y-122=1,整理可得x2+(y-1)2=2,其图象为圆,且圆心坐标为(0,1),半径为2.曲线C1的普通方程为x2+(y-1)2=2.2sin+4=5可化为222sin+22cos=5,sin +cos =5,即x+y=5.曲线C2的直角坐标方程为x+y=5,其图象为直线.由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d=|0+1-5|12+12=22,|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径,即d-2=2.故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.直线x=2+t,y=-1-t(t为参数)与曲线x=3cos,y=3sin(为参数)的交点个数为.解析由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x+y-1=0,x2+y2=9,进而求出圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=12=22<3,所以所求交点的个数为2.答案214.参数方程x=sin2,y=sin+cos(为参数)表示的曲线的普通方程是.解析因为y2=(sin +cos )2=sin2+2sin cos +cos2=1+2sin cos =1+x,又因为x=sin 2-1,1,所以曲线的普通方程是y2=x+1(-1x1).答案y2=x+1(-1x1)15.在平面直角坐标系中,倾斜角为4的直线l与曲线C:x=2+cos,y=1+sin(为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是.解析由题意得曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,故直线l过曲线C的圆心(2,1),则直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0.故直线l的极坐标方程为(cos -sin )=1.答案(cos -sin )=116.导学号73574075若直线x=3-12t,y=23+32t(t为参数)与圆x2+y2=36交于A,B两点,则线段AB中点的坐标为.解析把x=3-12t,y=23+32t代入x2+y2=36中,得t2+3t-15=0.设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-3.故线段AB的中点对应的参数为t0=12(t1+t2)=12(-3)=-32,将t0=-32代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为154,534.答案154,534三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)参数方程x=cos(sin+cos),y=sin(sin+cos)(为参数)表示什么曲线?解x=cos sin +cos2=sin2+cos2+12,x-12=sin2+cos22.y=sin2+sin cos =sin2-cos2+12,y-12=sin2-cos22.x-122+y-122=1+2sin2cos2+1-2sin2cos24=12.原参数方程表示的曲线是圆心为12,12,半径为22的圆.18.(本小题满分12分)已知P为半圆C:x=cos,y=sin(为参数,0)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与半圆C的弧AP的长度均为3.(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;(2)求直线AM的参数方程.解(1)由已知得点M的极角为3,且点M的极径等于3,故点M的极坐标为3,3.(2)点M的直角坐标为6,36,A(1,0),故直线AM的参数方程为x=1+6-1t,y=36t(t为参数).19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是(sin +3cos )=33,射线OM:=3(0)与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解(1)圆C的普通方程是(x-1)2+y2=1,又x=cos ,y=sin ,所以圆C的极坐标方程是=2cos .(2)设(1,1)为点P的极坐标,则有1=2cos 1,1=3,解得1=1,1=3.设(2,2)为点Q的极坐标,则有2(sin 2+3cos 2)=33,2=3,解得2=3,2=3.由于1=2,所以|PQ|=|1-2|=2,所以线段PQ的长为2.20.(本小题满分12分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上的点(x,y),依题意,得x=x1,y=2y1.由x12+y12=1,得x2+y22=1,即曲线C的方程为x2+y24=1.故C的参数方程为x=cost,y=2sint(t为参数).(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0,解得x=1,y=0或x=0,y=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线的斜率为k=12,于是所求直线的方程为y-1=12x-12,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=34sin-2cos.21.导学号73574076(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为2-42 cos-4+6=0,求:(1)圆的直角坐标方程和参数方程;(2)在圆上所有点(x,y)中,xy的最大值和最小值.解(1)原方程可化为2-42coscos4+sinsin4+6=0,即2-4cos -4sin +6=0.因为2=x2+y2,x=cos ,y=sin ,所以式可化为x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2.故所求圆的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=2.设x-2=2cos,y-2=2sin,所以所求圆的参数方程为x=2+2cos,y=2+2sin(为参数).(2)由(1)可知xy=(2+2cos )(2+2sin )=4+22(cos +sin )+2cos sin =3+22(cos +sin )+(cos +sin )2.令t=cos +sin ,则t=2sin+4,t-2,2 .所以xy=3+22t+t2=(t+2)2+1.故当t=-2时,xy取最小值1;当t=2时,xy取最大值9.22.导学号73574077(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),曲线C2的参数方程为x=acos,y=bsin(a>b>0,为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:=(0)与C1,C2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=2时,这两个交点重合.(1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(2)设当=4时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=-4时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.解(1)C1是圆,C2是椭圆.当=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0).因为这两点间的距离为2,所以a=3.当=2时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b).因为这两点重合,所以b=1.(2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和x29+y2=1.当=4时,射线l与C1的交点A1的横坐标为x=22,与C2的交点B1的横坐标为x=31010.当=-4时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此四边形A1A2B2B1为梯形,故四边形A1A2B2B1的面积为(2x+2x)(x-x)2=25.
