2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：1.4.3 几何法、反证法 .docx
www.ks5u.com第3课时几何法、反证法课后篇巩固探究A组1.设实数a,b,c满足a+b+c=13,则a,b,c中()A.至多有一个不大于19B.至少有一个不小于19C.至多有两个不小于19D.至少有两个不小于19解析:假设a,b,c都小于19,即a<19,b<19,c<19,则a+b+c<19+19+19=13,这与a+b+c=13矛盾,因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于19.答案:B2.用反证法证明“若关于x的整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根,则a,b,c中至少有一个偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数答案:B3.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的条件.解析:必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.答案:充要4.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1,其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:a+b>1,可取a=0.5,b=0.6,故不正确;a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正确;a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.答案:5.若a3+b3=2,求证:a+b2.证法一假设a+b>2,而a2-ab+b2=a-12b2+34b20.但取等号的条件为a=b=0,显然不成立.a2-ab+b2>0,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2).又a3+b3=2,a2-ab+b2<1.1+ab>a2+b22ab,ab<1,a2+b2<1+ab<2.(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.a+b<2,这与假设矛盾.a+b2.证法二假设a+b>2,则a>2-b.故2=a3+b3>(2-b)3+b3.即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0.这与(b-1)20矛盾.a+b2.6.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:1+xy,1+yx中至少有一个小于2.证明假设1+xy,1+yx都不小于2,即1+xy2,且1+yx2.因为x>0,y>0,所以1+x2y,且1+y2x.把这两个不等式相加,得2+x+y2(x+y),从而x+y2,这与已知条件x+y>2矛盾.因此,1+xy,1+yx都不小于2是不可能的,即原命题成立.7.设a,bR,0x1,0y1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|13成立.证明假设对一切0x1,0y1,结论不成立,则有|xy-ax-by|<13.令x=0,y=1,有|b|<13;令x=1,y=0,有|a|<13;令x=y=1,得|1-a-b|<13.这与|1-a-b|1-|a|-|b|>1-13-13=13矛盾,故假设不成立,原命题结论正确.B组1.用反证法证明命题:“若a,bN,ab能被3整除,则a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为()A.a,b都能被3整除B.a,b都不能被3整除C.a,b不都能被3整除D.a不能被3整除解析:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b中至少有一个能被3整除”的反面是“a,b都不能被3整除”,故应假设a,b都不能被3整除,故选B.答案:B2.若A1B1C1的三个内角的余弦值分别为A2B2C2的三个内角的正弦值,则A1B1C1一定是锐角三角形,A2B2C2一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:因为三角形内角的正弦值均为正值,所以A1B1C1的三个内角的余弦值均为正值,所以A1B1C1为锐角三角形.由于sin A2=cos A1=sin2-A1,sin B2=cos B1=sin2-B1,sin C2=cos C1=sin2-C1,若A2B2C2是锐角三角形,则A2+B2+C2=2-A1+2-B1+2-C1=2,与三角形内角和为矛盾,故A2B2C2是钝角三角形.答案:C3.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,a7是1,2,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,a7-7均为奇数.因为奇数个奇数之和为奇数,所以奇数=.但0奇数,这一矛盾说明p为偶数.解析:由题意,(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7).答案:(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)(a1+a2+a7)-(1+2+7)4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|<12,那么它的假设应该是.答案:|f(x1)-f(x2)|125.导学号35664023已知f(x)=1+x2,ab,且ab>0,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.分析利用f(x)=1+x2的结构特点构造几何中的两点间的距离来证明.证明f(a)=1+a2表示平面上点A(1,a)到点O(0,0)的距离,f(b)=1+b2表示平面上点B(1,b)到点O(0,0)的距离.而|a-b|表示A(1,a)与B(1,b)两点间的距离,如图所示.ab,A,O,B三点组成一个三角形,由三角形两边之差的绝对值小于第三边可得|f(a)-f(b)|<|a-b|.6.导学号35664024已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S.求证:(1)a2+b2+c243S;(2)tanA2tanB2,tanB2tanC2,tanC2tanA2中至少有一个不小于13.证明(1)要证明a2+b2+c243S,只需证明a2+b2+a2+b2-2abcos C23absin C,只需证明a2+b22absinC+6,只需证明a2+b22ab,只需证明(a-b)20,显然成立,故a2+b2+c243S.(2)假设tanA2tanB2,tanB2tanC2,tanC2tanA2都小于13,则tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2<1.又tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=tanB2tanA2+tanC2+tanC2tanA2=tanB2tanA2+C21-tanC2tanA2+tanC2tanA2=1.这与矛盾,故tanA2tanB2,tanB2tanC2,tanC2tanA2中至少有一个不小于13.
