2022年高中数学学业水平考试知识点 3.pdf

名师总结优秀知识点2018 年高中数学学业水平测试知识点【必修一】一、集合与函数概念并集：由集合A 和集合 B 元素合并在一起组成集合，如果遇到重复只取一次。记作：AB 交集：由集合A 和集合 B 公共元素所组成集合，如果遇到重复只取一次记作：AB 补集：就是作差。1、集合naaa,.,21子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空真子有2n2 个. 2、求)(xfy 反函数 ：解出)(1yfx，yx,互换，写出)(1xfy定义域；函数图象关于y=x 对称。3、 （1）函数定义域：分母不为0；开偶次方被开方数0；指数真数属于R、对数真数0.4、函数单调性： 如果对于定义域I 内某个区间D内任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1) 0 , a 1 , M 0 , N 0 ，那么：NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；)(loglogRnMnMana。（4）换底公式：)0, 10, 10(logloglogbccaaabbcca且且1a10a图象-1-4-201-1-4-201性质(1) 定义域： R （2）值域：（ 0，+）（3）过定点（ 0，1） ，即 x=0 时， y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R上是减函数(5)0,1xxa; 0,01xxa(5)0,01xxa; 0,1xxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师总结优秀知识点(5) 对数函数图象和性质8、幂函数： 函数xy叫做幂函数（只考虑21, 1,3 ,2, 1图象）。9、 方程根与函数零点：如果函数)(xfy在区间 a, b 上图象是连续不断一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间 (a, b) 内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf这个c就是方程0)(xf根。【必修二】一、直线平面简单几何体1、长方体对角线长2222cbal；正方体对角线长al32、球体积公式：334Rv； 球表面积公式：24RS3、柱体、锥体、台体体积公式：柱体V=Sh (S为底面积，h为柱体高 )；锥体V=Sh31(S为底面积，h为柱体高 ) 台体V=31(S +SS+S)h(S , S分别为上、下底面积，h为台体高 ) 4、点、线、面位置关系及相关公理及定理：（1）四公理三推论 : 公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有点都在这个平面内。公理 2：经过不在同一直线上三点，有且只有一个平面。公理 3： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点集合是一条过这个公共点直线。推论一 ：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。推论二 ：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三 ：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理 4：平行于同一条直线两条直线平行.（2）空间线线，线面，面面位置关系：空间两条直线位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3） 直线和平面平行 （没有公共点） 它们图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，/a。空间平面和平面位置关系：（1）两个平面平行没有公共点；（2）两个平面相交有一条公共直线。1a10a图象2.51.50.5-0.5-1-1.5-2-2.5-10112.51.50.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1011性质(1) 定义域：（0， +）（2）值域： R （3）过定点（ 1，0） ，即 x=1 时， y=0 （4）在（0，+）上是增函数（ 4）在（ 0，+）上是减函数(5)0log, 1xxa；0log, 10 xxa(5)0log, 1xxa；0log, 10 xxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师总结优秀知识点5、直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。符号表示：/abaab。图形表示：6、两个平面平行判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：/ababPab。图形表示：7、. 直线与平面平行性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。符号表示：/aaabb。 图形表示：8、两个平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。符号表示：9、直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号表示 ：10、.两个平面垂直判定定理：一个平面经过另一个平面垂线，则这两个平面垂直。符号表示：11、直线与平面垂直性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：/aabb。12、平面与平面垂直性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线直线垂直于另一个平面。符号表示 ：13、异面直线所成角：平移到一起求平移后夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内射影所成角。（如右图）14、异面直线所成角取值范围是90,0；直线与平面所成角取值范围是90,0；二面角取值范围是180,0；两个向量所成角取值范围是180,0二、直线和圆方程1、斜率：tank，),(k；直线上两点),(),(222111yxPyxP，则斜率为2、直线五种方程：（1）点斜式11()yyk xx ( 直线l过点111(,)P xy，且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx( (111(,)P xy、222(,)P xy； (12xx) 、(12yy). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC( 其中 A、 B不同时为0). 3、两条直线平行、重合和垂直：(1) 若111:lyk xb，222:lyk xb1l1212bkkl且;2b22121bbkkll且重合时与；12121llk k.(2) 若1111:0lA xB yC,2222:0lA xByC, 且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 2121yykxx/ /,/ /abab,ababP la lbl,ll,.lm lmlPHl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师总结优秀知识点ax2+bx+c=0(a 0) 11112222|ABCllABC；1212120llA AB B4、两点 P1（x1，y1）、 P2（x2，y2）距离公式P1P2 =212212)()(yyxx5、两点 P1（x1，y1）、 P2（x2，y2）中点坐标公式M （221xx，221yy）6、点 P （x0，y0）到直线 （直线方程必须化为一般式 ）Ax+By+C=0距离公式d=2200BACByAx7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0 距离公式d=2212BACC8、圆方程：标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；一般方程220 xyDxEyF， （配方：44)2()2(2222FEDEyDx）0422FED时，表示一个以)2,2(ED为圆心，半径为FED42122圆；9、点与圆位置关系：点00(,)P xy与圆222)()(rbyax位置关系有三种：若2200()()daxby，则dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 10、直线与圆位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax位置关系有三种: 0相离rd;0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 11、弦长公式：若直线 y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由二次曲线方程y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：AB=212212)()(yyxx=21k21xx=21221241xxxxk）（）（=2122122124)()11(11yyyykyyk=aacbk412213、 空间直角坐标系，两点之间距离公式： xoy 平面上点坐标特征A（x，y，0） ：竖坐标 z=0 xoz 平面上点坐标特征B（x，0， z） ：纵坐标y=0 yoz 平面上点坐标特征C（0，y， z） ：横坐标x=0 x 轴上点坐标特征D（x，0，0） ：纵、竖坐标y=z=0 y 轴上点坐标特征E（0， y，0） ：横、竖坐标x=z=0 z 轴上点坐标特征E（0， 0，z） ：横、纵坐标x=y=0 P1P2=212212212-zz-yy-xx）（）（）（【必修三】算法初步与统计：以下是几个基本程序框流程和它们功能图形符号名称功能终端框（起止框）表示一个算法起始和结束输入、输出框表示一个算法输入输出信息zyxFEDCBAXYZO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师总结优秀知识点处理框（执行框）赋值、计算（语句、结果传送）判断框判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y” ，不成立时标明“否”或“ N”流程线连接程序框（流程进行方向）连接点连接程序框图两部分注释框帮助注解流程图循环框程序做重复运算一、算法三种基本结构：（1）顺序结构（ 2）条件结构（3）循环结构二、算法基本语句：1、输入语句 :输入语句格式：INPUT “提示内容” ； 变量。 2、输出语句 :输出语句一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。 3、赋值语句 :赋值语句一般格式：变量=表达式。 4、条件语句 （1） “IFTHEN ELSE”语句。 5、循环语句 : 直到型循环结构“DO LOOP UNTIL ”语句 和当型循环结构“WHILE WEND ” 。三三种常用抽样方法：1、简单随机抽样；2系统抽样； 3分层抽样。4统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。四、频率分布直方图：具体做法如下： （ 1）求极差（即一组数据中最大值与最小值差）； （2）决定组距与组数；（3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形面积=组距频率 。2、频率分布直方图：=频率小矩形面积 （注意：不是小矩形高度）计算公式：=频数频率样本容量=频数样本容量频率=频率频率小矩形面积组距组距各组频数之和 =样本容量，各组频率之和 =1 3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。折线图 ：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多数据叫做这组数据众数 ；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上一个数据（或中间两位数据平均数）叫做这组数据 中位数 ；5、刻画一组数据离散程度统计量：极差，极准差，方差。（1）极差一定程度上表明数据分散程度，对极端数据非常敏感。（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数程度越高。（3）计算公式：标准差：方差：直线回归方程斜率为b?，截距为a ?，即回归方程为y ?=b?x+a ?（此直线必过点（x，y） ） 。6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形面积等于相应各组频率，方长方形高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。五、随机事件： 在一定条件下所出现某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B, C表示 . 随机事件 概率 ：在大量重复进行同一试验时, 事件A发生频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A概率 , 记作P（A） 。由定义可知0P（A）1，显然必然事件概率是1，不可能事件概率是 0。1、事件间关系：（1）互斥事件：不能同时发生两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B（或事件 B 包含事件A） ；（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率加法公式：（1）当A和B互斥时，事件A+B概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B） （A、B互斥） （2）若事件 A与 B为对222121()()() nsxxxxxxn2222121()()()nsxxxxxxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师总结优秀知识点立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1 P(B) 3、古典概型：（1）正确理解古典概型两大特点：1）试验中所有可能出现基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现可能性相等；（2）掌握古典概型概率计算公式：( )AmP An事件包含的基本事件个数实验中基本事件的总数4、几何概型：（1）几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度（面积或体积）成比例，则称这样概率模型为几何概率模型。（2）几何概型特点：1）试验中所有可能出现结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现可能性相等（3）几何概型概率公式：( )AP A事件构成的区域的长度（面积或体积）实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）【必修四】一、三角函数1、弧度制：（1） 、180弧度， 1 弧度1857)180(；弧长公式：rl|（l为所对弧长，r为半径，正负号确定：逆时针为正，顺时针为负）。2、三角函数：（1） 、定义：yxxyrxrycottancossin22yxr3、特殊角三角函数值：角度030456090120135150180270360弧度06432324365232sin02122231232221010cos12322210212223101tan033133133004、同角三角函数基本关系式：1cossin22cossintan1cottan5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限）正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。1、 诱导公式一 ： 2、 诱导公式二 ：3、诱导公式三 ：.tan2tan,cos2cos,sin2sinkkk.tantan,coscos,sinsin.tantan,coscos,sinsin4、诱导公式四 ： 5、 诱导公式五 ： 6、诱导公式六 ：.tantan,coscos,sinsin.sin2cos,cos2sin.sin2cos,cos2sin6、两角和与差正弦、余弦、正切：)(S：sincoscossin)sin()(S：sincoscossin)sin()(C：sinsincoscos)cos(a)(C：sinsincoscos)cos(a)(T：tantan1tantan)tan()(T：tantan1tantan)tan(tan+tan= tan(+)(1tantan) tan-tan= tan(-)(1tantan) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师总结优秀知识点7、辅助角公式：xbabxbaabaxbxacossincossin222222)sin()sincoscos(sin2222xbaxxba8、二倍角公式 ： （ 1） 、2S：cossin22sin2C：22sincos2cos1cos2sin21222T：2tan1tan22tan（2） 、降次公式： （多用于研究性质）2sin21cossin212cos2122cos1sin2212cos2122cos1cos29、在cot,tan,cos,sinyyyy四个三角函数中只有cosy是偶函数，其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；如：bxAybxAybxAybxAy)cot()tan()cos()sin(再求解。11、三角函数图象与性质：函数y=sinx y=cosx y=tanx 图象定义域RR,2|Zkkxx值域 1 , 11 , 1R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性22单调性在2,222kk)(Zk增在32,222kk)(Zk减在2,2kk)(Zk增在2,2kk)(Zk减在)(Zk增最值当Zkkx,22时，1maxy当Zkkx,22时,1miny当Zkkx,2时，1maxy当Zkkx,)12(时，1miny无对称性对称中心)0,(k，Zk对称轴：2kx)(Zk对称中心)0,2(k，Zk对称轴：kx)(Zk对称中心)0,(k，Zk对称轴：无12函数xAysin图象：（1）用“图象变换法”作图由函数yxsin图象通过变换得到yAxsin()图象，有两种主要途径 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 。法一：先平移后伸缩yxyxsinsin()()()| |向左或向右平移个单位00yxyxsinsin()()()| |向左或向右平移个单位00，1sinyx横坐标变为原来的倍纵坐标不变（）法二：先伸缩后平移纵坐标变为原来的倍横坐标不变AyAxsin()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师总结优秀知识点yxsi n横 坐 标 变 为 原 来 的倍纵 坐 标 不 变1纵坐标变为原来的倍横坐标不变AyAxsin()当函数yAxsin()（A0，0，x)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置最大距离，通常把它叫做这个振动振幅；往复振动一次所需要时间2T，它叫做振动周期；单位时间内往复振动次数21Tf，它叫做振动频率；x叫做相位，叫做初相（即当x0 时相位）。二、平面向量1、平面向量概念：1在平面内，具有大小和方向量称为平面向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段长度表示向量大小，箭头所指方向表示向量方向3向量大小称为向量模（或长度），记作4模（或长度）为0向量称为零向量；模为1向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反向量称为a相反向量，记作a6方向相同且模相等向量称为相等向量2、实数与向量积运算律：设、 为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )a;(2) 第一分配律： ( +)a = a+a; (3) 第二分配律： (ba)= a + b. 3、向量数量积运算律：(1)ab =ba（交换律） ; (2) （a） b = （ab）=ab =a （b）;(3)（ba） c=ac +bc.4、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数1、 2，使得a = 11e + 22e不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量一组基底 5、坐标运算 ：（ 1）设2211,yxbyxa，则2121,yyxxba数与向量积：1111,yxyxa，数量积：2121yyxxba（2）、设 A、B两点坐标分别为（x1，y1），（ x2，y2），则1212,yyxxAB. （终点减起点）6、平面两点间距离公式：（ 1）,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy（2）向量a模 |a| ：aaa2|22yx；（3）、平面向量数量积：cosbaba， 注意：00a，00 a，0)( aa（4）、向量2211,yxbyxa夹角，则，7、重要结论： （ 1）、两个向量平行：baba/)(R，ba/01221yxyx（2）、两个非零向量垂直02121yyxxba（3）、 P分有向线段21PP：设 P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且21PPPP，则定比分点坐标公式中点坐标公式三、空间向量1、空间向量概念： （空间向量与平面向量相似）1在空间中，具有大小和方向量称为空间向量121211xxxyyy121222xxxyyy121222221122cosx xy yxyxyyxyxsinsin()()()|向左或向右平移个单位00精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师总结优秀知识点2向量可用一条有向线段来表示有向线段长度表示向量大小，箭头所指方向表示向量方向3向量大小称为向量模（或长度），记作4模（或长度）为0向量称为零向量；模为1向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反向量称为a相反向量，记作a6方向相同且模相等向量称为相等向量2、实数与空间向量a乘积a是一个向量，称为向量数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a长度是a长度倍3、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab；结合律：aa4、如果表示空间有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线5、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab充要条件是存在实数，使ab6、平行于同一个平面向量称为共面向量7、向量共面定理：空间一点位于平面C内充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；8、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b夹角，记作,a b两个向量夹角取值范围是：,0,a b9、对于两个非零向量a和b，若,2a b，则向量a，b互相垂直，记作ab10、已知两个非零向量a和b，则cos ,a ba b称为a，b数量积，记作a b即cos,a ba ba b零向量与任何向量数量积为011、a b等于a长度a与b在a方向上投影cos,ba b乘积12 、 若a，b为 非 零 向 量 ，e为 单 位 向 量 ， 则 有1cos,e aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b13、量数乘积运算律：1a bb a；2aba bab；3abca cb c14、若空间不重合两条直线a，b方向向量分别为a，b，则/abababR，异面垂直时0ababa b15、若空间不重合两个平面，法向量分别为a，b，则/abab，0aba b16、直线l垂直，取直线l方向向量a，则向量a称为平面法向量【必修五】：一、解三角形 ： （1）三角形面积公式：AbcBacCabSsin21sin21sin21：（2）正弦定理：CRcBRbARaRCcBbAasin2sin2,sin2,2sinsinsin，边用角表示：（3） 、余弦定理：)1 (2)(cos2cos2cos22222222222cocCabbaCabbacBaccabAbccba（4）求 角：abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师总结优秀知识点2()2abab二. 数列1、数列前n 项和：nnaaaaS321； 数列前 n 项和与通项关系：2、等差数列： （1） 、定义 ：等差数列从第2 项起，每一项与它前一项差等于同一个常数)(1daann；（2） 、通项公式 ：dnaan)1(1（其中首项是1a，公差是d； ）（3） 、前 n 项和：nSdnnnaaandnan2)1(2)()0(111（d0）（4） 、等差中项：A是a与b等差中项：或baA2，三个数成等差常设：a-d，a，a+d3、等比数列： （1） 、定义 ：等比数列从第2 项起，每一项与它前一项比等于同一个常数)(1qaann（0q） 。（2） 、通项公式：11nnqaa（其中：首项是1a，公比是q）（3） 、前 n 项和：（4） 、等比中项：G是a与b等比中项： ，即abG2（或abG，等比中项有两个）三：不等式1、重要不等式： （1）,a bR222abab或 (当且仅当ab 时取“ =”号) 2、均值不等式： （2）,a bR2abab或( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) 一正、二定、三相等注意：解指数、对数不等式方法：同底法，同时对数真数大于0；111(1)(2)nnnaSnaSSn2abA111,(1)(1), (1)11nnnnaqSaa qaqqqqGbaG222abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页