2022年高中数学解析几何压轴题专项拔高训练 .pdf

高中数学解析几何压轴题专项拔高训练一选择题共15 小题1已知倾斜角0 的直线 l 过椭圆ab0的右焦点交椭圆于A、B 两点， P 为右准线上任意一点，则APB 为A钝 角B直角C锐角D都有可能考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题专题 ： 压轴题分析：根据题设条件推导出以AB 为直径的圆与右准线相离由此可知 APB 为锐角解答：解：如图，设M 为 AB 的中点，过点M 作 MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B 作 AA1、BB1垂直于准线于 A1、B1两点则 以 AB 为直径的圆与右准线相离 APB 为锐角点评：此题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果2已知双曲线a0，b0的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P Q 两点，交 l 于 R 点则APFRQFR BPFR=QFR C PFRQFR DPFR 与 AFR 的大小不确定考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题专题 ： 计算题；压轴题分析：设 Q、P 到 l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则 PNMQ，=，又由双曲线第二定义可知，由此能够推导出RF 是PFQ 的角平分线，所以PFR=QFR解答：解：设 Q、P 到 l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则 PNMQ，=，又由双曲线第二定义可知，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页， RF 是 PFQ 的角平分线， PFR= QFR 故选 B点评：此题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解3设椭圆的一个焦点为F，点 P 在 y 轴上，直线PF交椭圆于M、N，则实数1+2=ABCD考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题专题 ： 综合题；压轴题分析：设直线 l 的斜率为k，则直线l 的方程是y=kxc将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得 b2+a2k2x22a2ck2x+a2c2k2a2b2=0然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得1+2的值解答：解：设 M，N，P 点的坐标分别为Mx1，y1， Nx2，y2， P0，y0，又不妨设F 点的坐标为c，0显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k，则直线 l 的方程是y=k xc将直线 l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得 b2+a2k2x22a2ck2x+a2c2k2a2b2=0，又 ，将各点坐标代入得，=故选 C点评：此题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用4中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线 l 与双曲线C1交于 A，B 两点，线段AB 中点 M 在一象限且在抛物线y2=2pxp0上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则 l 的斜率为ABe21 CDe2+1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页考点 ： 圆锥曲线的综合专题 ： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点 M 的坐标代入，即可求得结论解答：解： M 在抛物线y2=2px p0上，且M 到抛物线焦点的距离为p， M 的横坐标为， M，p设双曲线方程为 a0，b0， Ax1， y1， Bx2，y2，则，两式相减，并将线段AB 中点 M 的坐标代入，可得故选 A点评：此题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题5已知 P为椭圆上的一点， M ，N 分别为圆 x+32+y2=1 和圆 x32+y2=4 上的点，则 |PM|+|PN|的最小值为A5B7C13 D15 考点 ： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质专题 ： 计算题；压轴题分析：由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆x+32+y2=1 和 x32+y2=4 的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案解答：解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆x+32+y2=1 和 x32+y2=4 的圆心，所以根据椭圆的定义可得：|PM|+|PN|min=2 512=7，故选 B点评：此题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用6过双曲线=0b0，a0的左焦点F c， 0 c0 ，作圆 x2+y2=的切线，切点为E，延长 FE交双曲线右支于点P，假设=+ ，则双曲线的离心率为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页ABCD考点 ： 圆与圆锥曲线的综合专题 ： 综合题；压轴题分析：由=+，知 E 为 PF 的中点，令右焦点为F ，则 O 为 FF的中点，则PF =2OE=a，能推导出在Rt PFF 中，PF2+PF2=FF2，由此能求出离心率解答：解： 假设=+， E 为 PF 的中点，令右焦点为F ，则 O 为 FF 的中点，则 PF=2OE=a， E 为切点， OEPF PFPF PFPF=2a PF=PF+2a=3a 在 RtPFF中， PF2+PF2=FF2即 9a2+a2=4c2 离心率 e= =故选： A点评：此题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件7设椭圆的左焦点为F，在 x 轴上 F 的右侧有一点A，以 FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M、 N 两点，则的值为ABCD考点 ： 圆与圆锥曲线的综合专题 ： 计算题；压轴题分析：假设以 FA 为直径的圆与椭圆大x 轴上方的部分交于短轴端点，则M、N 重合设为M，此时 A 为椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果解答：解：假设以FA 为直径的圆与椭圆大x 轴上方的部分交于短轴端点，则 M、N 重合设为M，此时A 为椭圆的右焦点，则=故选 A点评：此题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点8 已知定点 A 1， 0 和定直线l： x=1， 在 l 上有两动点E， F 且满足， 另有动点 P， 满足O 为坐标原点，且动点P 的轨迹方程为Ay2=4x By2=4x x 0Cy2=4x Dy2=4xx 0考点 ： 圆锥曲线的轨迹问题专题 ： 计算题；压轴题分析：设 P x，y，欲动点P 的轨迹方程，即寻找x，y 之间的关系式，利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程解答：解：设 Px， y， E 1，y1， F 1，y2 y1，y2均不为零由? y1=y，即 E 1，y由?由y2=4xx 0故选 B点评：此题主要考查了轨迹方程的问题此题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程9已知抛物线过点A 1，0 ， B1，0 ，且以圆x2+y2=4 的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程A+=1y 0B+=1y 0C=1 y 0D=1y 0考点 ： 圆锥曲线的轨迹问题专题 ： 综合题；压轴题分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和 b 的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B 到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x 和 y的关系式解答：解：设切线ax+by1=0，则圆心到切线距离等于半径=2 ， a2+b2=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页设抛物线焦点为x，y，根据抛物线定义可得平方相加得：x2+1+y2=4 a2+1平方相减得：x=4a，把 代入 可得： x2+1+y2=4+1即： 焦点不能与A， B 共线 y 0 抛物线的焦点轨迹方程为故选 B点评：此题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键10如图，已知半圆的直径|AB|=20 ，l 为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N 与直线 l 的距离 |MP|、 |NQ|满足条件，则 |AM|+|AN| 的值为A22 B20 C18 D16 考点 ： 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义专题 ： 计算题；压轴题分析：先以 AT 的中点 O 为坐标原点，AT 的中垂线为y轴，可得半圆方程为 x122+y2=100，根据条件得出M，N 在以 A 为焦点， PT 为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案解答：解：以 AT 的中点 O 为坐标原点，AT 的中垂线为y 轴，可得半圆方程为x122+y2=100 又，设 Mx1，y1， N x2，y2，M， N 在以 A 为焦点， PT为准线的抛物线上；以AT 的垂直平分线为y 轴， TA 方向为 x 轴建立坐标系，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页抛物线方程为y2=8x y 0，联立半圆方程和抛物线方程，消去 y 得： x216x+44=0 x1+x2=16，|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20故选 B点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题11椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cosF1PF2=ABCD考点 ： 圆锥曲线的共同特征专题 ： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF1|=，|PF2|=，再利用余弦定理，即可求得结论解答：解：不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|=2由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2由 可得 |PF1|=，|PF2|= |F1F2|=4 cosF1PF2=故选 A点评：此题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键12曲线|x| 2与直线y=kx2+4 有两个交点时，实数k 的取值范围是AB，+CD考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题；压轴题分析：如图，求出BC 的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE 的斜率 k，由题意可知，k k KBC，从而得到实数k 的取值范围解答：解：曲线即x2+y12=4， y 1，表示以A0，1为圆心，以2为半径的圆位于直线y=1 上方的部分包含圆与直线y=1 的交点 C 和 D，是一个半圆，如图：直线 y=k x 2+4 过定点 B2，4，设半圆的切线BE 的切点为E，则 BC 的斜率为KBC=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页设切线 BE 的斜率为k ，k 0，则切线BE 的方程为y4=k x2，根据圆心A 到线 BE 距离等于半径得2=，k=，由题意可得k k KBC，k ，故选A点评：此题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，表达了数形结合的数学思想，判断k k KBC，是解题的关键13设抛物线y2=12x 的焦点为F，经过点P1，0的直线l 与抛物线交于A，B 两点，且，则 |AF|+|BF|=ABC8D考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题；压轴题分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B 的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|解答：解：设 Ax1，y1， Bx2， y2，则 P1，0=1 x2， y2，=x11，y1， 21x2， y2=x11，y1将 Ax1，y1， Bx2，y2代入抛物线y2=12x ，可得，又 2y2=y1 4x2=x1又x1+2x2=3 解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页 |AF|+|BF|=故选 D点评：此题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B 的横坐标14已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，假设已知抛物线y=ax2上的两点 Ax1，y1 ，Bx2，y2关于直线y=x+m 对称，且，则 m 的值为ABCD考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 综合题；压轴题分析：y1=2x12，y2=2x22，A 点坐标是 x1，2x12， B 点坐标是 x2，2x22 A，B 的中点坐标是， 因为 A，B 关于直线y=x+m 对称，所以A，B 的中点在直线上，且AB 与直线垂直=+m，由此能求得m解答：解： y1=2x12，y2=2x22，A 点坐标是 x1，2x12， B 点坐标是 x2， 2x22，A，B 的中点坐标是，因为 A，B 关于直线y=x+m 对称，所以 A，B 的中点在直线上，且 AB 与直线垂直=+m，x12+x22+m， x2+x1=，因为，所以 xx12+x22=x1+x222x1x2=，代入得，求得 m=故选 B点评：此题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化15已知双曲线上存在两点M，N 关于直线y=x+m 对称，且MN 的中点在抛物线y2=9x 上，则实数m的值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页A4B4 C0 或 4 D0 或 4 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 综合题；压轴题分析：根据双曲线上存在两点M，N 关于直线y=x+m 对称，求出MN 中点 P ，m，利用 MN的中点在抛物线y2=9x 上，即可求得实数m 的值解答：解： MN 关于 y=x+m 对称 MN 垂直直线 y=x+m ，MN 的斜率 1，MN 中点 P x0，x0+m 在 y=x+m 上，且在 MN 上设直线 MN ：y=x+b，P在 MN 上， x0+m=x0+b，b=2x0+m 由消元可得： 2x2+2bxb23=0 Mx+Nx=b， x0=， b= MN 中点 P，m MN 的中点在抛物线y2=9x 上， m=0 或 4 故选 D点评：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN 中点 P的坐标二解答题共15 小题16已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点3，11求椭圆C 的标准方程；2 假设 A1， A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点， 设直线 A1Q 斜率为 k， 且，求直线 A2Q 斜率的取值范围；3假设 Q 为椭圆上动点，求cosF1QF2的最小值考点 ： 椭圆的简单性质；椭圆的应用专题 ： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 1根据椭圆的离心率为，且经过点 3，1，求椭圆C 的标准方程； 2设 A2Q 的斜率为k，Qx0，y0，则可得kk=，利用，即可求直线 A2Q 斜率的取值范围； 3利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos F1QF2的最小值解答：解： 1椭圆的离心率为，且经过点 3，1，建立方程，求出几何量，即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页， 椭圆 C 的标准方程为 3 分 2设 A2Q 的斜率为k，Qx0，y0，则， 5 分 kk=及 6 分则 kk=又 7 分，故 A2Q 斜率的取值范围为 8 分 3设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有，由椭圆定义，有 9 分 cosF1QF2= 10 分= 11 分 12 分= 13 分 cosF1QF2的最小值为当且仅当 |QF1|=|QF2|时，即 Q 取椭圆上下顶点时，cos F1QF2取得最小值 14 分点评：此题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页17已知椭圆x2+=1 的左、右两个顶点分别为A，B双曲线C 的方程为x2=1设点 P 在第一象限且在双曲线 C 上，直线 AP 与椭圆相交于另一点T设 P，T 两点的横坐标分别为x1，x2，证明 x1?x2=1；设 TAB 与POB其中 O 为坐标原点的面积分别为S1与 S2，且? 15，求 SS的取值范围考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算专题 ： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设直线AP 的方程与椭圆方程联立，确定P、T 的横坐标，即可证得结论； 利用? 15，结合点P 是双曲线在第一象限内的一点，可得1 x1 2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得SS的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求SS的取值范围解答： 证明：设点P x1，y1、 Tx2，y2 xi0， yi0，i=1，2，直线 AP 的斜率为kk0，则直线 AP 的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y，整理，得 4+k2x2+2k2x+k24=0，解得 x=1 或 x=，故 x2=同理可得x1=所以 x1?x2=1 设点 Px1，y1、 T x2，y2 xi0，yi0，i=1，2，则= 1x1，y1，=1x1，y1因为? 15，所以 1x1 1x1+y12 15，即 x12+y12 16因为点 P在双曲线上，所以，所以 x12+4x12 4 16，即 x12 4因为点 P是双曲线在第一象限内的一点，所以1x1 2因为 S1=|y2|，S2=，所以 SS=由 知， x1?x2=1，即设 t=，则 1t 4，SS=5t设 ft=5t，则 f t=1+=，当 1 t2 时， ft 0，当 2t 4 时， ft 0，所以函数ft在 1，2上单调递增，在2，4上单调递减因为 f 2=1， f1=f4=0，所以当 t=4，即 x1=2 时， SS的最小值为f4=0，当 t=2，即 x1=时， SS的最大值为f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页 2=1所以 SS的取值范围为 0， 1点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力18设椭圆 D：=1 ab0的左、右焦点分别为F1、 F2，上顶点为A，在 x 轴负半轴上有一点B，满足，且 AB AF2假设过A、B、F2三点的圆C 恰好与直线l：xy3=0 相切，求圆C 方程及椭圆D 的方程；假设过点T 3，0的直线与椭圆D 相交于两点M、N，设 P 为椭圆上一点，且满足O 为坐标原点，求实数t 取值范围考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用专题 ： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用，可得 F1为 BF2的中点，根据AB AF2，可得 a，c 的关系，利用过A、B、F2三点的圆 C 恰好与直线l：相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程； 设直线MN 方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t 取值范围解答：解： 由题意知F1 c，0， F2c，0， A 0，b因为 AB AF2，所以在RtABF2中，又因为，所以 F1为 BF2的中点，所以又 a2=b2+c2，所以 a=2c所以 F2，0， B，0，Rt ABF2的外接圆圆心为F1，0，半径r=a，因为过 A、B、F2三点的圆C 恰好与直线l：相切，所以=a，解得 a=2，所以 c=1，b=所以椭圆的标准方程为：，圆的方程为x+12+y2=1； 设直线MN 方程为 y=k x3， Mx1，y1， N x2，y2， Px， y，则直线方程代入椭圆方程，消去y 可得 4k2+3x224k2x+36k212=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页 = 24k2 44k2+3 36k212 0， k2，x1+x2=，x1x2=， x1+x2=tx，y1+y2=ty， tx=，ty=， x=，y=，代入椭圆方程可得3 2+4 2=12，整理得= k2， 0t24， 实数 t 取值范围是2，00，2点评：此题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大19已知 F1、F2为椭圆 C：的左，右焦点，M 为椭圆上的动点，且?的最大值为1，最小值为21求椭圆C 的方程；2过点作不与 y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M，N 两点， A 为椭圆的左顶点试判断MAN 是否为直角，并说明理由考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题专题 ： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 1设 Mx，y，化简?=x2+2b2a2 a x a，从而求最值，进而求椭圆方程； 2设直线MN 的方程为x=ky 6并与椭圆联立，利用韦达定理求?的值，从而说明是直角解答：解： 1设 Mx，y，则 y2=b2x2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页?=x2+2b2a2 a x a，则当 x=0 时，?取得最小值2b2 a2=2，当 x= a 时，?取得最大值b2=1， a2=4，故椭圆的方程为 2设直线MN 的方程为x=ky ，联立方程组可得，化简得： k2+4 y2 2.4ky=0，设 Mx1，y1， Nx2， y2，则 y1+y2=，y1y2=，又 A 2，0，?=x1+2，y1?x2+2，y2=k2+1 y1y2+ky1+y2+= = k2+1+k+=0，所以 MAN 为直角点评：此题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题20如图， P 是抛物线y2=2x 上的动点，点B，C 在 y 轴上，圆 x12+y2=1 内切于 PBC，求 PBC 面积的最小值考点 ： 圆与圆锥曲线的综合专题 ： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页分析：设 P x0，y0 ，B 0，b ，C 0，c ，设 bc直线 PB： yb=，化简，得y0b xx0y+x0b=0，由圆心 1，0到直线PB 的距离是1，知，由此导出x02b2+2y0bx0=0，同理， x02c2+2y0cx0=0，所以 bc2=，从而得到SPBC=，由此能求出 PBC 面积的最小值解答：解：设 Px0，y0， B0，b， C0，c，设 bc直线 PB 的方程： yb=，化简，得 y0bxx0y+x0b=0， 圆心 1，0到直线PB 的距离是1， y0b2+x02=y0b2+2x0by0b+x02b2， x02，上式化简后，得 x02b2+2y0bx0=0，同理， x02c2+2y0cx0=0， b+c=，bc=， bc2=， Px0，y0是抛物线上的一点， bc2=， bc=， SPBC=x02+4 2+4=8当且仅当时，取等号此时 x0=4，y0= PBC 面积的最小值为8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页点评：本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用21已知直 L1：2xy=0，L2：x2y=0动圆圆心为M被 L1L2截得的弦长分别为8，16求圆心M 的轨迹方程M；设直线y=kx+10 与方程 M 的曲线相交于A，B 两点如果抛物y2=2x 上存在点N 使得 |NA|=|NB| 成立，求k 的取值范围考点 ： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质专题 ： 综合题；压轴题分析： 设 Mx，y， M 到 L1，L2的距离分别为d1，d2，则 d12+42=d22+82所以，由此能求出圆心M 的轨迹方程 设 Ax1，y1， Bx2，y2，由，得 1k2x220kx180=0AB 的中点为，AB 的中垂线为，由，得由此能求出k 的取值范围解答：解： 设 Mx，y， M 到 L1，L2的距离分别为d1，d2，则 d12+42=d22+82 2 分， x2y2=80，即圆心M 的轨迹方程M：x2y2=80 4 分 设 Ax1，y1， Bx2，y2，由，得 1k2x220kx180=0 AB 的中点为， 6 分 AB 的中垂线为，即， 7分由，得 8 分 存在 N 使得 |NA|=|NB|成立的条件是： 有相异二解，并且 有解 9 分 有相异二解的条件为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页?且 k1 10 分 有解的条件是， 11 分根据导数知识易得时， k3 k+400，因此，由 可得 N 点存在的条件是：1 或 1k 12 分点评：此题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想22已知直线l1：axby+k=0；l2：kx y1=0，其中 a 是常数， a 01求直线l1和 l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，假设是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率2当 a0，y 1 时，轨迹上的点Px，y到点 A0，b距离的最小值是否存在？假设存在，求出这个最小值考点 ： 圆锥曲线的轨迹问题专题 ： 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想分析： 1联立直线l1和 l2的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a 的取值 a0， 1a 0，a=1，a 1 说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率 2通过 a0，y 1 时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点Px， y到点 A0， b距离的表达式，通过配方讨论b 与的大小，求出 |PA|的最小值解答：解： 1由消去 k，得 y2ax2=1 当 a0 时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率； 当 1a0 时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率； 当 a=1时，轨迹是圆，圆心为0，0，半径为1； 当 a 1 时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率 2当 a0 时， y 1 时，轨迹是双曲线y2ax2=1 的上半支 |PA|2=x2+yb2= 当 b时， |PA|的最小值为； 当 b时， |PA|的最小值为 |1b| 点评：此题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主23如图， ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点 B 都落在边AD 上，记为 B；折痕与AB 交于点 E，以 EB 和 EB 为邻边作平行四边形EB MB 假设以 B 为原点， BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系如下列图： 求点 M 的轨迹方程； 假设曲线S是由点 M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边 A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S 切于点 P，Q， R求梯形A1B1C1D1面积的最小值考点 ： 圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用专题 ： 计算题；压轴题分析：1设出 M 的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M 的轨迹方程； 2利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程，分别令y=0 和 y=1 求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值解答：解： 1如图，设M x，y， Bx0， 2，又 E 0，b显然直线l 的斜率存在，故不妨设直线l 的方程为 y=kx+b ，则而 BB 的中点在直线 l 上，故，由于?代入 即得，又 0 x0 2 点 M 的轨迹方程0 x 26 分 2易知曲线S 的方程为 2 x 2设梯形 A1B1C1D1的面积为s，点 P 的坐标为由题意得，点Q 的坐标为 0，1，直线B1C1的方程为y=1对于有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页 直线 A1B1的方程为，即：令 y=0 得，令 y=1 得，所以当且仅当，即时，取 “ =” 且，时，s 有最小值为梯形 A1B1C1D1的面积的最小值为15 分点评：此题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值属于一道难题24 1已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45 角，求圆锥的底面周长2已知直线l 与平面 成 ，平面 外的点 A 在直线 l 上，点 B 在平面 上，且 AB 与直线 l 成 ， 假设 =60 ， =45 ，求点 B 的轨迹； 假设任意给定和 ，研究点B 的轨迹，写出你的结论，并说明理由考点 ： 圆锥曲线的轨迹问题；旋转体圆柱、圆锥、圆台专题 ： 综合题；压轴题分析：1 由圆锥的母线长为4，母线与高成45 角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2，由圆周公式2 R 可算出底面周长 2 设 l =C，点 A 在平面 上的射影为点O建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有 A0，0，asin60 ， C0， acos60 设 Bx，y， 0，则=0， acos60 ， asin60 =x，y，asin60 所以又由|?cos45 ，知acos60? y+a2sin60 =a，平方整理得，由此知点B 的轨迹 设 l =C，点 A 在平面 上的射影为点O如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有 A 0， 0，asin ，C0， acos ，0 设 Bx，y，0，则 6 分=0， acos ， asin =x，y， asin 所以 由|?cos =a?cos 知 cos2? x2+cos2 cos2 y2+a2ysin sin2 +a2sin2 cos2 sin2 =0故当 =时，点 B 的轨迹为圆；当 时，点 B 的轨迹为椭圆；当 = 时，点 B 的轨迹为抛物线；当 时，点 B 的轨迹为双曲线解答：解： 1圆锥的母线长为4，母线与高成45 角，高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，即高和底面半径长度一样，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页则由勾股定理可知底面半径为2，则由圆周公式2 R 可算出底面周长4 ； 2 分 2 设 l =C，点 A 在平面 上的射影为点O如图建立空间直角坐标系，设 |AC|=a，有 A0，0，asin60 ， C0， acos60 设 Bx，y，0，则=0， acos60 ， asin60 =x，y， asin60 又 |?cos45 =a? acos60? y+a2sin60 =a11 分平方整理得cos245? x2+cos245 cos260 y2+a2ysin60 sin120 +a2sin260 cos245 sin260 =0即， 点 B 的轨迹椭圆；4 分 设 l =C，点 A 在平面 上的射影为点O如图建立空间直角坐标系，设 |AC|=a，有 A0，0，asin ， C 0， acos ， 0 设 Bx，y，0，则 6 分= 0， acos ， asin =x，y， asin 又 |?cos =a?cos acos? y+a2sin =a11 分平方整理得cos2? x2+cos2 cos2 y2+a2ysin sin2 +a2sin2 cos2 sin2 =0i当 cos2 cos2 =0，即 =时，上式为抛物线方程；ii 当 cos2 cos2 0，即 时，上式为椭圆方程；iii 当 cos2 cos2 0，即 时，上式为双曲线方程14 分故当 =时，点 B 的轨迹为圆；当 时，点 B 的轨迹为椭圆；当 = 时，点 B 的轨迹为抛物线；当 时，点 B 的轨迹为双曲线16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页点评：第 1题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答第 2 题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“ 存在 ” 、“ 恒成立 ” ，以及运用一般与特殊的关系进行否认，此题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错25已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是1求椭圆C 的方程；2假设椭圆C 在第一象限的一点P的横坐标为1，过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB 分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB 的斜率为定值；3求 PAB 面积的最大值考点 ： 椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题专题 ： 压轴题分析：1待定系数法求椭圆的方程 2设出 A、B 坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B 横坐标之差，纵坐标之差，从而求出 AB 斜率 3设出 AB 直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB 长度，计算P 到 AB 的距离，计算 PAB 面积，使用基本不等式求最大值解答：解： 设椭圆 C 的方程为由题意，解得 a2=4，b2=2所以，椭圆C 的方程为故点 P1， 由题意知，两直线PA，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k，则 PB 的直线方程为由得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页设 AxA，yA， BxB，yB，则，同理可得则，所以直线AB 的斜率为定值 设 AB 的直线方程为，由得由，得 m28此时，由椭圆的方程可得点P1，根据点到直线的距离公式可得P 到 AB 的距离为，由两点间的距离公式可得=，故=因为 m2=4 使判别式大于零，所以当且仅当m= 2 时取等号，所以PAB 面积的最大值为点评：直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和关键26已知点 B0，1 ，A，C 为椭圆上的两点， ABC 是以 B 为直角顶点的直角三角形I当 a=4 时，求线段BC 的中垂线l 在 x 轴上截距的取值范围IIABC 能否为等腰三角形？假设能，这样的三角形有几个？考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质专题 ： 综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析： I依题意，可知椭圆的方程为：+y2=1，设 C4cos ，sin ，可求得直线l 的方程为y=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页x+，令 y=0 得 x=cos cos0，利用余弦cos的有界性即可求得线段BC 的中垂线l 在 x 轴上截距的取值范围； II 当等腰直角三角形ABC 的两条腰AB 与 BC 不关于 y 轴对称时，设出AB 的方程为y=kx+1k0 ，BC 的方程为 y=x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC 中的两腰 |AB|=|BC|，借助基本不等式即可求得a 的取值范围；同理可求两条腰AB 与 BC 关于 y 轴对称时a 的取值范围解答：解： I a=4， 椭