2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：第一章 坐标系 测评 .docx
第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.把极坐标方程=cos 化为直角坐标方程为() A.x+122+y2=14B.x2+y+122=14C.x2+y-122=14D.x-122+y2=14解析:由=cos 得2=cos ,所以x2+y2=x,即x-122+y2=14.故选D.答案:D2.已知点P的柱坐标为2,4,1,则它的直角坐标为()A.(2,1,1)B.(1,1,1)C.(2,2,1)D.(1,0,1)解析:设点P的直角坐标为(x,y,z).则有x=rcos =2cos4=1,y=rsin =2sin4=1,z=1.故点P的直角坐标为(1,1,1).答案:B3.设点P的直角坐标为(4,4,42),则它的球坐标为()A.8,4,4B.8,34,4C.8,4,34D.8,34,34解析:设点P的球坐标为(r,).则r=42+42+(42)2=8,tan =yx=44=1.又x>0,=4.42=8cos ,cos =22.0,=4.点P的球坐标为8,4,4.答案:A4.在极坐标系中,点2,3到圆=2cos 的圆心的距离为()A.2B.4+29C.1+29D.3解析:圆=2cos 在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点2,3的直角坐标为(1,3),则圆心(1,0)与(1,3)的距离为d=(1-1)2+(3-0)2=3.答案:D5.在极坐标系中,圆=-2sin 的圆心的极坐标是()A.1,2B.1,-2C.(1,0)D.(1,)解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为1,-2.答案:B6.圆心在点(3,0)上,且过极点的圆的极坐标方程为()A.=6cos B.=6sin C.=3cos D.=3sin 解析:圆的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9,从而极坐标方程为=6cos .答案:A7.在极坐标系中,直线cos =1与圆=cos 的位置关系是()A.相切B.相交但直线不经过圆心C.相离D.相交且直线经过圆心解析:直线方程化为直角坐标方程为x=1,圆的方程可化为x-122+y2=14,所以直线与圆相切.答案:A8.极坐标方程=cos4-表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解析:由于不恒等于0,方程两边同乘,得2=cos4-=22cos+22sin=22(cos +sin ),在以极点为原点,以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,cos =x,sin =y,2=x2+y2,因此有x2+y2=22(x+y),即方程=cos4-表示圆.此题还有另一种思路:极坐标方程=2acos 表示圆,而4-与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置,而不改变曲线的形状,故方程=cos4-表示圆.答案:D9.极坐标方程4sin2=3表示的曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:由已知得sin =32,所以=k3,kZ,表示相交于原点的两条直线.答案:B10.点M1,76关于直线=4(R)的对称点的极坐标为()A.1,43B.1,23C.1,3D.1,-76解析:点M1,76的直角坐标为cos76,sin76=-32,-12,直线=4(R),即直线y=x,点-32,-12关于直线y=x的对称点为-12,-32,再化为极坐标,即1,43.答案:A11.直线l为y+kx+2=0,曲线C为=2cos 有交点,若直线l与曲线C有交点,则k的取值范围是()A.k-34B.k-34C.kRD.kR,且k0解析:曲线C的方程可化为x2+y2=2x,把直线方程代入得x2+(-kx-2)2-2x=0.整理可得(1+k2)x2+(4k-2)x+4=0,由题意此方程有实根,即=(4k-2)2-16(1+k2)0,解不等式得k-34.答案:A12.导学号73144018在极坐标系中有如下三个结论:点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;tan =1(0)与=4(0)表示同一条曲线;=3与=-3表示同一条曲线.其中正确的是()A.B.C.D.解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故是错误的;tan =1不仅表示=4这条射线,还表示=54这条射线,故亦不对;=3与=-3差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故正确.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.极坐标方程分别为=2cos 和=sin 的两个圆的圆心距为.解析:由=2cos ,得2=2cos ,化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.由=sin ,得2=sin ,化为直角坐标方程为x2+y-122=14.所以两个圆的圆心分别为(1,0)和0,12,故d=12+122=52.答案:5214.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos =3,=4cos 0,0<2,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析:由cos=3,=4cos,得4cos2=3.即2(1+cos 2)=3,cos 2=12.又02<,=6.故=23.故曲线C1与C2的交点的极坐标为23,6.答案:23,615.在极坐标系中,已知定点A1,2,点B在直线cos +sin =0上运动,则当线段AB最短时,点B的极坐标是.解析:在直角坐标系中,点A坐标为(0,1),点B在直线x+y=0上,当AB最短时,点B为-12,12,化为极坐标为22,34.答案:22,3416.在极坐标系中,曲线C1为=2cos ,曲线C2为=4,若曲线C1与C2交于A,B两点,则线段AB=.解析:曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由=2cos,=4,得=2,=4,即曲线C1与C2的另一个交点与极点间的距离为2,故AB=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)如图,设极点O到直线l的距离为d,由点O向直线l作垂线,从极轴到垂线OA的角度为.求直线l的极坐标方程.解在直线l上任取一点M(,).在RtOMA中,cos(-)=d,即=dcos(-).这就是直线l的极坐标方程.18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换x=2x,y=2y后,曲线C变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.解将x=2x,y=2y代入(x-5)2+(y+6)2=1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1,即x-522+(y+3)2=14,故曲线C是以52,-3为圆心,半径为12的圆.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知某圆的极坐标方程为2-4cos +2=0.(1)将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.解(1)2-4cos +2=0,化为直角坐标方程为x2+y2-4x+2=0.(2)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2,令x-2=2cos ,y=2sin ,0,2).则x+y=2cos +2+2sin =2sin+4+2,sin+4-1,1,(x+y)0,4,故x+y的最大值和最小值分别为4,0.20.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1为=2cos -4sin ,C2为sin -2cos +1=0.(1)将C1的方程化为直角坐标方程;(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离.解(1)由=2cos -4sin ,得2=2cos -4sin ,即x2+y2=2x-4y.故C1的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)sin -2cos +1=0可化为y-2x+1=0,圆心(1,-2)到直线的距离d=|-2-2+1|5=35.|AB|=2(5)2-352=85=855.21.导学号73144019(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C3,6,半径为1,Q点在圆周上运动,点O为极点.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P在射线OQ上运动,且满足|OQ|QP|=23,求动点P的轨迹方程.解如图,(1)设点M(,)为圆C上任意一点,在OCM中,|OC|=3,|OM|=,|CM|=1,COM=-6,根据余弦定理,得1=2+9-23cos-6,化简整理,得2-6cos-6+8=0为圆C的极坐标方程.(2)设Q(1,1),则有12-61cos1-6+8=0.设P(2,2),则|OQ|QP|=1(2-1)=231=252,又1=2,即1=252,1=2,代入得42522-6252cos2-6+8=0,整理得22-152cos2-6+50=0,故点P的轨迹方程为2-15cos-6+50=0.22.导学号73144020(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1为=2,曲线C2为sin-4=2,曲线C1与C2交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0),且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.解(1)=2,x2+y2=4.又sin-4=2,y=x+2.|AB|=2r2-d2=24-222=22.(2)(方法一)直线AB的斜率为1,过点(1,0)且与直线AB平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,直线l的极坐标为sin =cos -1,即cos+4=22.(方法二)设点P(,)为直线l上任一点,因为直线AB与极轴成4的角,则PCO=34或PCO=4.当PCO=34时,在POC中,|OP|=,|OC|=1,POC=,PCO=34,OPC=4-,由正弦定理可知1sin4-=sin34,即sin4-=22,即直线l的极坐标方程为sin4-=22.同理,当PCO=4时,极坐标方程也为sin4-=22.当点P与点C重合时显然满足sin4-=22.综上所述,所求直线l的极坐标方程为sin4-=22.
