2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：第一章 不等关系与基本不等式 测评 .docx
第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知1a<1b<0,给出下列不等式:a+b<ab;|a|>|b|;a<b;ba+ab>2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由已知得b<a<0,所以a+b<ab,|a|<|b|,ba>0,从而ba+ab>2,因此正确.答案:B2.若aR,且p=1a2+a+1,q=a2-a+1,则有()A.pqB.p>qC.pqD.p<q解析:由于aR,显然有p>0,q>0,且qp=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+11,因此qp.答案:C3.对于xR,不等式|x+10|-|x-2|8的解集为()A.0,+)B.(0,2)C.0,2)D.(0,+)答案:A4.下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+1xB.y=x2-2x+4C.y=x2+1x2D.y=x2+2+1x2+2解析:在函数y=x2+1x2中,x2>0,所以y=x2+1x22x21x2=2,当且仅当x=1时函数取最小值2.答案:C5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于()A.8B.2C.-4D.-2解析:由-4<ax+2<4,得-6<ax<2.因为不等式的解集为(-1,3),所以a=-2.答案:D6.已知函数f(x)是R上的增函数且为奇函数,数列an是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(x)是R上的增函数且为奇函数,a3>0,所以f(a3)>f(0)=0.又a1+a5=2a3,所以a1+a5>0,则a1>-a5,于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,所以f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.答案:A7.已知f(x)=2x+3(xR),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.ba2B.b<a2C.ab2D.a>b2解析:由|f(x)-1|<a可得-a-22<x<a-22,由|x+1|<b可得-b-1<x<b-1,由题意可得-b-1-a-22,b-1a-22,解得ba2.答案:A8.若x(0,),则y=sinx2cos2x2的最大值等于()A.427B.239C.23D.49解析:y2=sin2x2cos4x2=122sin2x2cos2x2cos2x2122sin2x2+cos2x2+cos2x233=427,当且仅当2sin2x2=cos2x2,x(0,)时等号成立.所以y239,故所求最大值为239.答案:B9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是()A.(-,5)B.(-,13)C.(-,9)D.(-,4)解析:|2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.答案:B10.若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是()A.(-,7)B.(-,7C.(-,5)D.(-,5解析:不等式x2<|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a<0.设f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则f(-3)=5-a0,f(3)=7-a0,解得a5,故选D.答案:D11.设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是()A.(-,-11,+)B.1,+)C.(-,-1D.-1,1解析:显然x0,由x2+2xy-1=0可得y=1-x22x,因此x+y=x+1-x22x=x2+12x,当x>0时,x2+12x2x212x=1,当x<0时,x2+12x-1,故x+y的取值范围是(-,-11,+).答案:A12.已知x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y2(2+1)B.xy2+1C.x+y(2+1)2D.xy2+1解析:由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y1+2xy,即(xy)2-2xy-10,所以xy2+1,则xy(2+1)2,排除B和D;又xy=x+y+1x+y22,解得x+y2(2+1).故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x>-2,且x0,则1x的取值范围是.解析:因为x>-2,且x0,所以当x>0时有1x>0;当-2<x<0时有1x<-12,综上可知,1x的取值范围是(0,+)-,-12.答案:(0,+)-,-1214.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|<12.那么它的假设应该是.解析:“|f(x1)-f(x2)|<12”的否定是|f(x1)-f(x2)|12.答案:|f(x1)-f(x2)|1215.若不等式|x+1|+|x-3|a+4a对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由绝对值不等式的意义可得a+4a4,所以(a-2)2a0,解得a的取值范围为(-,0)2.答案:(-,0)216.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7 000米级.6月24日,“蛟龙号”载人潜水器7 000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(米)与时间t(分钟)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2 000,那么平均速度的最小值是.解析:平均速度为v(t)=st=0.2t2-14t+2 000t=0.2t+2 000t-1420.2t2 000t-14=220-14=26,当且仅当0.2t=2 000t,即t=100时,取得最小值.答案:26三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a(aN+)的解集为A,且32A,12A.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.解(1)因为32A,且12A,所以32-2<a,且12-2a,解得12<a32.又aN+,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)0,即-1x2时取到等号.故f(x)的最小值为3.18.(本小题满分12分)(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3.(2)若xR,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请举出一个使它不成立的x值.(1)证明x是正实数,由平均值不等式知x+12x,1+x22x,1+x32x3,故(x+1)(x2+1)(x3+1)2x2x2x3=8x3(当且仅当x=1时,等号成立).(2)解若xR,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3依然成立.证明如下:由(1)知,当x>0时不等式成立.当x0时,8x30,又(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)x-122+340,故此时不等式依然成立.19.(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证:1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)12.证明由已知及平均值不等式可得1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)331a(1+b)1b(1+c)1c(1+a)=33abc(1+a)(1+b)(1+c)=33abc3(1+a)(1+b)(1+c)3a+b+c31+a+1+b+1+c3=323=12,当且仅当a=b=c=2时等号成立.故原不等式成立.20.导学号35664028(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a0,求证:f(ab)>|a|fba.(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=-2x-2,x<-3,4,-3x1,2x+2,x>1.当x<-3时,由-2x-28,解得x-5;当-3x1时,48不成立;当x>1时,由2x+28,解得x3.所以原不等式的解集为x|x-5或x3.(2)证明f(ab)>|a|fba,即|ab-1|>|a-b|.因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故原不等式成立.21.导学号35664029(本小题满分12分)已知x,y,zR+,x+y+z=3.(1)求1x+1y+1z的最小值;(2)证明:3x2+y2+z2<9.(1)解因为x+y+z33xyz>0,1x+1y+1z33xyz>0,所以(x+y+z)1x+1y+1z9,即1x+1y+1z3,当且仅当x=y=z=1时,1x=1y=1z取得最小值3.(2)证明x2+y2+z2=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)3x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)3=(x+y+z)23=3,当且仅当x=y=z时等号成立.又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,所以3x2+y2+z2<9.22.导学号35664030(本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若a+b=1,对a,b(0,+),1a+4b|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当x<-1时,f(x)>x,得1-2x+x+1>x,解得x<-1;当-1x12时,f(x)>x,得1-2x-x-1>x,解得-1x<0;当x>12时,f(x)>x,得2x-1-(x+1)>x,解得-2>0无解;综上可知x<0,即f(x)>x的解集为x|x<0.(2)f(x)=-x+2,x<-1,-3x,-1x12,x-2,x>12.画出图像如图所示:因为a,b(0,+),且a+b=1,所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,当且仅当a=13,b=23时等号成立.由1a+4b|2x-1|-|x+1|恒成立,得|2x-1|-|x+1|9,结合图像知-7x11,故x的取值范围是-7,11.
