2022年高二椭圆知识点总结 .pdf
学习必备精品知识点椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义： 平面内与两定点 F1，F2 距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a|F1F2|=2c；这里两个定点 F1，F2 叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹） 。2标准方程：222cab焦点在 x 轴上：12222byax（ab0） ； 焦点 F（ c，0）焦点在 y 轴上：12222bxay（ab0） ； 焦点 F（0, c）注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：221xymn或者mx2+ny2=1 二椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222byax（ab0） 横坐标-axa ,纵坐标 -bxb（2）椭圆12222bxay（ab0） 横坐标 -bxb,纵坐标 -axa2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点： A1（-a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，-b） ，B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备精品知识点记作 e（10e） ，22221()beaace0是圆；e越接近于 0 （e 越小） ，椭圆就越接近于圆 ; e越接近于 1 （e 越大） ，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数 e， （0e1）的点的轨迹为椭圆。焦点在 x 轴上：12222byax（ab0）准线方程：cax2焦点在 y 轴上：12222bxay（ab0）准线方程：cay2小结一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、 （共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 6.几何性质（1） 最大角12122max,F PFF B F（2）最大距离，最小距离定义1.到两个定点 F1、F2的距离之和等于定长（ |F1F2|）的点的轨迹2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数e （0，1） ）的点的轨迹方程1. 22ax+22by=1（ab0） ，c=22ba，焦点是 F1（c，0） ，F2（c，0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备精品知识点2.22ay+22bx=1（ab0） ，c=22ba，焦点是 F1（0，c） ，F2（0，c）x=acos，y=bsin性质E：22ax+22by=1（ab0）1.范围： |x|a，|y|b2.对称性：关于 x，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点 A1（a，0） ，A2（a，0） ；短轴端点 B1（0，b） ，B2（0，b）4.离心率： e=ac（0，1）5.准线： l1：x=ca2，l2：x=ca26.焦半径： P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=aex1.点 P处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P处的外角. 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ， 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备精品知识点10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A1、 A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11. AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦， M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12. 若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点弦 的方 程是2200002222x xy yxyabab. 13. 若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是22002222x xy yxyabab. 一、选择题：1. 设定点3,01F，302,F，动点y,xP满足条件1021PFPF，则动点P的轨迹是（）A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段D. 不存在2. 已知椭圆12222yax的一个焦点为0,2，则椭圆的方程是（）A. 12422yx B. 12322yxC. 1222yx D. 12622yx3. 椭圆1162522yx上一点M到一个焦点1F的距离是 2，则点M到另一个焦点2F的距离是（）A. 10 B. 8 C. 6 D. 1 4. 椭圆19422yx的焦点坐标是（） A. 0,5 B. 5, 0 C. 0,65 D. 0 ,365精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备精品知识点5 曲线14922yx和19422yx没有（）A. 相同的焦点 B. 相同的离心率 C. 相同的短轴 D. 相同的长轴6 椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为 12，则椭圆方程为（）A. 112814422yx或114412822yx B. 14622yxC. 1323622yx或1363222yx D. 16422yx或14622yx7 椭圆122myx的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2 倍，则 m的取值是（） A.21 B. 2 C.41 D. 4 二、填空题8. 已知椭圆方程14822yx，离心率为，此椭圆的长轴长为。9. 椭圆32822yx的焦点坐标为，顶点坐标为。10.22a，3b, 则焦点在 y 轴上的椭圆的离心率为。 11 焦点在 x 轴上，焦距为24的椭圆方程是。三、解答题12. （15 分）平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是 10 的动点的轨迹方程。13 （15 分）已知椭圆的对称轴为坐标轴， 焦点在x轴上，离心率32e，短轴长为58，求椭圆的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
