高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总(教师版).doc
任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。例1、若，求和的范围。（0,45） （180,270）2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、30° ；390° ；-330°是第 象限角 300° ； -60°是第 象限角585° ； 1180°是第 象限角 -2000°是第 象限角。例2、（1）A=小于90°的角，B=第一象限的角，则AB= （填序号）.小于90°的角 0°90°的角 第一象限的角 以上都不对（2）已知A=第一象限角，B=锐角，C=小于90°的角，那么A、B、C关系是（B）AB=AC BBC=C CAC DA=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若是第二象限的角，试分别确定2, 的终边所在位置.解 是第二象限的角，k·360°+90°k·360°+180°（kZ）.（1）2k·360°+180°22k·360°+360°（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）k·180°+45° k·180°+90°（kZ），当k=2n（nZ）时，n·360°+45°n·360°+90°；当k=2n+1（nZ）时，n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.拓展：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？是第三象限角，180°+k·360°270°+k·360°（kZ），60°+k·120°90°+k·120°.当k=3m(mZ)时，可得60°+m·360°90°+m·360°（mZ）.故的终边在第一象限.当k=3m+1 (mZ)时，可得180°+m·360°210°+m·360°（mZ).故的终边在第三象限.当k=3m+2 （mZ）时，可得300°+m·360°330°+m·360°（mZ）.故的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和。（2）所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和注意：1、2、是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。例1、（1）若角的终边与角的终边相同，则在上终边与的角终边相同的角为 。若角的终边与8/5的终边相同则有：=2k+8/5 (k为整数)所以有：/4=(2k+8/5)/4=k/2+2/5当：0k/2+2/52有：k=0 时，有2/5 与/4角的终边相同的角k=1 时，有9/10 与/4角的终边相同的角 （2）若是终边相同的角。那么在 X轴正半轴上 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）； （2）例3、求，使与角的终边相同，且2、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 3、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：4、终边互相对称的角：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：例1、若，则角与角的中变得位置关系是（ ）。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称例2、将下列各角化成0到的角加上的形式（1） （2）例3、设集合, ,求,. 二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。orC2rad1radrl=2roAAB 如图：ÐAOB=1rad ，ÐAOC=2rad ， 周角=2prad 注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系： 360°= rad 180°= rad 1°= 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.例1、 把化成弧度 解： 例2、 把化成度 解：例2、将下列各角从弧度化成角度 （1） rad （2）2.1 rad （3） 例3、用弧度制表示：1°终边在轴上的角的集合 2°终边在轴上的角的集合 3°终边在坐标轴上的角的集合 解：1°终边在轴上的角的集合 2°终边在轴上的角的集合 3°终边在坐标轴上的角的集合 三、弧长公式和扇形面积公式 ； 例1、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为，求这连个角的大小分别为 。例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 解： ： ： 例4、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 （1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,所以扇形的周长是2r+r.依题意，得2r+r=r,=-2=(-2)×1.142×57.30°65.44°65°26,扇形的面积为S=r2=（-2）r2.（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r (0r10)扇形的面积S=lr，将代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时l=20-2×5=10,=2.所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.（1）依题意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇形的周长为40,R+2R=40，S=lR=R2=R·2R.当且仅当R =2R,即R=10, =2时面积取得最大值，最大值为100.（七）任意角的三角函数（定义）1 设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离 2比值叫做a的正弦 记作： ；比值叫做a的余弦 记作： 比值叫做a的正切 记作： ；比值叫做a的余切 记作： 比值叫做a的正割 记作： ；比值叫做a的余割 记作： 注意突出几个问题：角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定三角函数在各象限的符号： 定义域： 4. 是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos=,则sin= . 已知角的终边落在直线y=-3x (x0)上，则 2 .例8、 已知a的终边经过点P(2,-3)，求a的六个三角函数值xoyP(2,-3) 解： sina=- cosa= tana=- cota=- seca= csca=- 例9、 求下列各角的六个三角函数值 0 p 解： 的解答见P16-17 当a=时 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1 例10、 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值 解：由定义 ： sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina= cosa=- 2sina+cosa=
