数列的概念与简单表示法.doc

第六章数列6.1数列的概念与简单表示法考点梳理1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做_)，排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成_，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作an(2)通项公式：如果数列an的_与序号_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列_(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_与它的前一项_ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(5)数列的表示方法有_、_、_、_.2数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为_、_.(2)按项的增减规律分为_、_、_和_递增数列an1_an；递减数列an1_an；常数列an1_an.递增数列与递减数列统称为_3数列前n项和Sn与an的关系已知Sn，则an自查自纠：1(1)项首项a1，a2，a3，an，(2)第n项n(3)函数值(4)anan1(5)通项公式法(解析式法)列表法图象法递推公式法2(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列单调数列3S1SnSn1典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5，55，555，5 555，.解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积故数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，故数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9，99，999，的通项为10n1，故数列的一个通项公式为an(10n1)变式1写出下列数列的一个通项公式：(1)1，；(2)3，5，9，17，33，；(3)，1，.(4)1，2，2，4，3，8，4，16，.解：(1)an(1)n；(2)an2n1； (3)由于1，故分母为3，5，7，9，11，即2n1，分子为2，5，10，17，26，即n21符号看作各项依次乘1，1，1，1，即(1)n1，故an(1)n1.(4)观察数列an可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，an类型二由前n项和公式求通项公式例题2(1)若数列an的前n项和Snn210n，则此数列的通项公式为an_(2)若数列an的前n项和Sn2n1，则此数列的通项公式为an 解：(1)当n1时，a1S11109；当n2时，anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.当n1时，21119a1.an2n11.故填2n11.(2)当n1时，a1S12113；当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.综上有 an故填变式2已知下列数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解：(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，a1也适合此等式，an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an类型三由递推公式求通项公式例题3写出下面各数列an的通项公式(1)a12，an1ann1；(2)a11，前n项和Snan；(3)a11，an13an2.解：(1)由题意得，当n2时，anan1n，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，适合上式，因此an1.(2)由题设知，a11.当n2时，anSnSn1anan1.，3.以上n1个式子的等号两端分别相乘，得到.又a11，an.(3)解法一：(累乘法)an13an2，得an113(an1)，即3，3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.a11，3n，即an123n1(n1)，an23n11(n2)，又a11也适合上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.解法二：(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.变式3写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式(1)a12，an1an；(2)a11，an12nan；(3)a11，an12an1.解：(1)当n2时，anan1，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.当n1时，适合故an3.(2)2n，21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，an2.当n1时，适合故an2.(3)由题意知an112(an1)，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.类型四数列通项的性质例题4已知数列an，且an(n1)(nN*)求数列an的最大项解：因为an(n1)是积幂形式的式子且an0，所以可用作商法比较an与an1的大小解：令1(n2)，即1，整理得，解得n10.令1，即1，整理得，解得n9.从第1项到第9项递增，从第10项起递减故a9a10最大变式4数列an的通项an，则数列an中的最大项是()A3 B19 C. D.解：易得an，运用基本不等式得，由于nN*，不难发现当n9或10时，an最大故选C.方法规律总结1已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(1)n或(1)n1来调节(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决2an注意anSnSn1的条件是n2，还须验证a1是否符合an(n2)，是则合并，否则写成分段形式3已知递推关系求通项掌握先由a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等(1)已知a1且anan1f(n)，可以用“累加法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)(2)已知a1且f(n)，可以用“累乘法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)注：以上两式均要求f(n)易求和或积4数列的简单性质(1)单调性：若an1an，则an为递增数列；若an1an，则an为递减数列(2)周期性：若ankan(nN*，k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一个周期(3)最大值与最小值：若 则an最大；若 则an最小课后练习11，2，中，2是这个数列的()A第16项 B第24项 C第26项 D第28项解：观察a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，得n26.故选C.2数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an()A2n1 Bn2 C. D.解：设数列an的前n项积为Tn，则Tnn2，当n2时，an.故选D.3数列an满足an1an2n3，若a12，则a8a4()A7 B6 C5 D4解：依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即an2an2，a8a4(a8a6)(a6a4)224.故选D.4已知数列an的前n项和Sn2an1，则满足2的正整数n的集合为()A1,2 B1,2,3,4C1,2,3 D1,2,4解：B5在数列an中，a12，an1anlg，则an的值为()A2lgn B2(n1)lgnC2nlgn D1nlgn解法一：an1anlg，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lglglg2lg2lgn2.解法二：an1anlg(n1)lgn，an1lg(n1)anlgn，所以数列anlgn是常数列，anlgna1lg12，an2lgn.故选A.6若数列an满足a12，an1anan1，则a2017的值为()A1 B. C2 D3解：根据题意，数列an满足a12，an1anan1，an11，a2，a31，a42，可知数列的周期为3，201736721，a2017a12.故选C.7已知数列an满足astasat(s，tN*)，且a22，则a8_.解：令st2，则a4a2a24，令s2， t4，则a8a24a2a48.故填8.8下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是an_.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n1时，有1个；n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；，an1234n.故填.9若数列an满足0，nN*，p为非零常数，则称数列an为“梦想数列”已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3b99299，则b8b92的最小值是_解：4依题意可得bn1pbn，则数列bn为等比数列又b1b2b3b99299b，则b502.b8b9222b504，当且仅当b8b92，即该数列为常数列时取等号10已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若Sn3n2n1，求an.解：(1)a5a6S6S4(6)(4)2，当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1), a1适合此式，an(1)n1(2n1)(2)当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，a1不适合此式，an