分类讨论思想在初级中学数学解题中的应用.doc

分类讨论思想在初中数学解题中的应用李焕焕（合肥市永和学校 398179292qq.com） 摘 要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答 关键词：分类讨论思想；初中数学；正确分类；解题；应用 Abstract: In solutions mathematics problem Shi, application classification discussion thought, through correctly classification, can makes complex of problem get clear, full, closely of answers. 引 言:数学思想方法是人们对数学理论和内容的本质认识，是数学的精髓和灵魂，因此在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的。初中数学中常见的思想方法有函数与方程的思想方法，化归转化与化归的思想方法，分类讨论的思想方法，数形结合的思想方法，整体的思想方法等。、分类讨论思想1. 含义及意义在研究和解答某些数学问题时，会遇到许多种不同的情况，有些问题无法用同一种形式解决，有些问题的结论不是唯一确定的。因此，我们需要把所要研究的问题根据题目的特点和要求，选定一个标准，将其划分成几个能用不同形式解决的小问题，然后再将这些小问题一一解决，最后综合各类结果得到整个问题的答案。这就是我们常说的分类讨论法，而运用这种方法的思想就是分类讨论思想。分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置2. 分类讨论的要求、原则及其意义分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程 为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下四大原则: （1）同一性原则 分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据（2） 互斥性原则 分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项 （3）相称性原则 分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等（4）层次性原则 分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。3. 优势及劣势运用分类讨论思想解题的优势是可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，便于解答；恰当的分类讨论可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，养成周密严谨的数学教养。运用分类讨论思想解题的劣势是容易将一些问题的解答变得繁琐，耗费大量的时间；容易形成一种思维定势，不易于培养创新、有效的解题能力。二、运用分类讨论思想解题正确运用分类讨论思想，是完整解题的基础。但运用分类讨论思想解决问题，必须遵循一定的原则，明确如何进行分类，知道引起分类讨论的原因，明白解题的一般步骤，才能保证解答的正确性。运用分类讨论思想解题的原则主要体现在如何进行分类上。在对分类对象进行划分时，我们应该遵循以下四个原则：划分应是相称的，划分后子项的总和应与母项相等；划分标准统一，对分类的对象应按照统一标准进行划分，不能同时用几种依据去划分；划分的子项必须相互排斥，进行分类后，有些元素不能既属于这个子项，又属于另一个子项；划分不能越级，要按层次一级一级进行分类。运用分类讨论思想解题，必须明白解题的一般步骤。首先，明确是否需要分类；然后确定分类讨论的对象；接着，进行合理的分类；逐步逐级分类讨论，得到阶段性成果；最后，归纳总结，综合得出结论。3 分类讨论思想在初中数学解题中的具体应用1. 分类讨论思想在运用数学概念、定义题中的应用有些数学定义、数学概念是分类给出的，如绝对值、圆锥曲线标准方程的概念等。例1、若，求的值。4 分析：这道题考查学生对绝对值定义的掌握、运用情况。由于绝对值的定义是分类给出的， 所以a,b分别有两个值，这个时候，求a+b的值就需要进行分类讨论。解：因为 所以 当时，； 当时，； 当时，； 当时，2. 分类讨论思想在运算性质、运算要求限制下的应用在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的。 例2、已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？2 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得： ， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=123. 分类讨论思想在数学定理、性质、公式限制下的应用有些定理或公式本身具有限制条件。如，有些函数的单调性具有增减两种可能，遇到时就要进行分类讨论。例3. 已知函救y（m-1）x2（m-2）x1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。4分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m1=0 和 m10 两种情况来研究解决问题。解：当ml 时函数就是一个一次函数yx1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。当 m-10时，函数就是一个二次函数y（m1）x2（m2）x1当（m2）2+4（m1）=0，得 m=0。抛物线 y=x22x1，的顶点（1，0）在x轴上。4. 分类讨论思想在参数不确定的题中的应用有时方程、不等式、函数式中所含参数取不同的值时，会导致结果不同，因此需要进行分类讨论。例4、。7分析：这是一个含参数a的不等式，它不一定是一个二次不等式，故首先对二次项系数a分类：（1）a0，（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为在这两种情形下，不等式的解集形式是不同的，不等式的解集可能是在两根之外，也可能是在两根之间。当确定这一点后，又会遇到1与-1谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故解题时，需要作三级分类。 解： 综上所述，得原不等式的解集为；例5、已知关于的函数的图像与轴总有交点，求的取值范围。8分析：函数中最高项的系数是含字母的不确定代数式，所以它的取值有多种可能性，这时我们就需要进行分类讨论。题目说函数图象与轴总有交点，并没有说明有几个交点，所以函数有可能是一次函数，有可能是二次函数。所以未知数最高项的系数要分类讨论。解：（1）当，即时，函数为一次函数，图像与轴有一个交点； （2）当时，此时函数为二次函数， ，解得，所以当 且时，函数图像与轴有交点综合（1）（2），当时，图像与轴总有交点。5. 分类讨论思想在图形不确定的题中的应用由于题目未明确给出图形的所有元素，所以会导致图形不确定，引起分类讨论。例6、如果三角形的两边长分别是23cm和10cm，第三边的长与其中一边的长度相等，那么第三边的长是多少？9 分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等, 但是不明确具体是与哪条边相等，因此需分两种情况讨论。若不作两种情况的分类讨论，可能会出现漏解或错解。 解：（1）当第三边的长为 23cm 时，其三边长分别为23cm、23cm、10cm,它们满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。因此，这三边能构成三角形，所以第三边的长为23cm； （2）当第三边的长为10cm时，其三边长分别为10cm、10cm、23cm。因为，所以它不能构成三角形，故第三边长不能为 10cm。综上所述，第三边的长为 23cm。 例7. 已知两圆的半径分别是5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两圆的圆心距为 。分析：由圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆心之间，也可以在两圆心同旁。答案：4+根号7和4-根号76. 分类讨论思想在排列组合问题中的应用分类讨论思想在排列组合问题中的应用也比较常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题简单化。例8、在正方体的8个顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？9解：依题意，共线的三点组可以分为三类：（1）两端点皆为顶点的共线三点组，共有（个）；（2）两端点皆为面的中心的共线三点组，共有（个）；（3）两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有（个）； 所以总共有（个）。7. 分类讨论思想在实际问题中的应用近几年来，考试命题中出现了大量的实际应用题。这种应用题，往往需要运用分类讨论思想才能顺利解决。例9、某超市春节期间举行促销优惠活动，方案一：凭50元钱购买会员卡，凭会员卡购买超市内商品享受八折优惠；方案二：若不购买会员，则购买超市内商品只能享受九折优惠。（1）若按照方案一购买商品应付款额为y1（元），若按照方案二购买商品应付款额为y2（元），购买商品的价格为x元，请用含有x的代数式表示y1和y2；（2）购买商品的价格在什么范围内，如何选择购买方案更划算？8解：（1）y1=50+0.8x，y2=0.9x。 （2）当y1y2时，50+0.8x0.9x，解得x500；当y1=y2时，50+0.8x=0.9x，解得x=500；当当y1y2时，50+0.8x0.9x，解得x500；所以当购买商品的价格小于500元时，选择方案二更划算，当购买商品的价格等于500元时，选择两种方案一样划算，当购买商品的价格大于500元时，选择方案一更划算。四 、如何简化分类讨论分类讨论是一种重要的解题策略，但他不是万能的，不是唯一的，对于分类讨论的问题，在熟悉和掌握分类讨论的同时，要注意克服盲目讨论的思维定势，要认真审查题目的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能避免分类讨论，简化分类讨论过程，从而提高分类讨论的效果五、总结通过以上的例子，可以发现分类讨论思想在初中数学解题中的应用是非常广泛的。通过探讨分类讨论思想在初中数学中集合，函数，不等式，排列组合等中的应用，我们应用正确的分类讨论思想，对不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答它能使许多看似复杂的问题简单化，也能全面地解答一个问题。在使用分类讨论思想解题时，首先需要明白为何要进行分类讨论，再者要遵循一定的原则，合理分类，对全体对象的分类要按照同一标准，做到不重不漏。但是在解题过程中，不能盲目或机械地进行分类讨论。有的题目虽然含有分类因素，但对问题作深入研究，会发现题目中各定量或变量存在一定的关系。因此，对于需要分类讨论的问题，在熟悉和掌握分类讨论思想的同时，要注意克服盲目讨论的思维定势，认真审查题目的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能避免分类讨论，简化分类讨论过程，使解题更简单、更轻松。参考文献： 1 皇甫月红.浅谈初中数学思想方法的教学J.课程教育研究，2012(33). 2 陈新娟.分类讨论思想在解题中的应用J.考试周刊，2008(17)：111-112.3 杨朗兵.分类讨论思想在初中数学解题中的应用J.初中数学(初中版)，2010(4)：22-24. 4 纪丽雪.分类思想在初中数学教学中的渗透J.新课程(教育学术版)，2007，(11).5 全瑞涛.反思分类讨论思想在高考解题中的应用J.才智，2012(23)：93.7 王红岑.试论分类讨论数学思想J.教海探航，2012(700)：49.8 谢春玲.分类讨论思想在函数中的应用J.初中生数理化，2007，(05).9 杨怀宏.分类讨论思想在初中数学中的应用J.数学大世界(初中生适用),2010,(03).