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#+ 对数与对数函数专题复习【知识点梳理】一、对数的概念1、对数的定义：如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数2、几种常见对数：对数形式特点记法一般对数底数为（）常用对数底数为10自然对数底数为e 3、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：loga1=0， loga a=1， =N， （2）对数的重要公式：换底公式：（均为大于0且不等于1，）；，推广：（3）对数的运算法则：如果，那么；二、对数函数1、对数函数的定义：一般地，我们把函数（0且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）2、对数函数y=logax(a>0且a1)的图象与性质：图象性质定义域：（0,+）值域：R过定点：（1，0），即当x=1时，y=0当时，；当时，当时，；当时，在（0,+）上为增函数在（0,+）上为减函数3、反函数（1）反函数：一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为如果对中任意一个值，在中总是唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作（2）反函数的求法：反解；与对调；求定义域（3）反函数的性质： 原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；若函数的图象经过点，则其反函数的图象经过点；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称；(对称性) 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致（单调性） （4）同底的指数函数和对数函数互为反函数【典型例题】题型一、对数运算 例题1：计算下列各式的值：（1）； （2）【解析】（1）方法一：原式= =方法二：原式=（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3【点评】这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值（计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1）变式1： 计算：【解析】分子=，分母= ；所以，原式=题型二、对数函数的性质 例题2：求函数的定义域【解析】由，得 所求函数定义域为x| 1x0或0x2【点评】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1例题3：判断函数f（x）=ln(x)的奇偶性【解析】x恒成立，故（x）的定义域为（，+），又f (x)=ln(+x)=ln=ln=ln(x)=f (x)，f (x)为奇函数【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（x）之间的关系f（x）为奇函数f（x）=f（x）f（x）+f（x）=0=1f（x）0；f（x）为偶函数f（x）=f（x）f（x）f（x）=0=1f（x）0在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断例题4：比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8； （2）log35和log64； （3）(lgn)1.7和(lgn)2 (n1) 【解析】（1）对数函数y = log0.7x在(0, +)内是减函数因为1.31.8，所以log0.71.3log0.71.8（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解因为log35log33 = 1 = log66log64，所以log35log64（3）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论若1lgn0，即1n10时，y = (lgn)x在R上是减函数，所以(lgn)1.7(lgn)2；若lgn1，即n10时，y = (lgn)x在R上是增函数，所以(lgn)1.7(lgn)2若lgn = 1，即n = 10时，(lgn)1.7 = (lgn)2【点评】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a1时是增函数，0a1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练变式2：（2010重庆四月模拟）函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】由题意得：，解得：，选A变式3：设alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，则a、b、c的大小顺序是（ ）A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<b<a【解析】因为0<alog0.70.8<log0.70.71，blog1.10.9<log1.110，c1.10.9>1.101，所以选C变式4：求函数y = log4 (7 + 6 x x2)的单调区间和值域【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域【解析】由7 + 6 x x20，得(x 7) (x + 1)0，解得1x7函数的定义域为x|1x7设g (x) = 7 + 6x x2 = (x 3)2 + 16. 可知，x3时g (x)为增函数，x3时，g (x)为减函数.因此，若1x1x23. 则g (x1)g (x2)，即7 + 6x1 x127 + 6x2 x22，而y = log4x为增函数，log4 (7 + 6 x1 x12)log4 (7 + 6x2 x22)，即y1y2 故函数y = log4 (7 + 6x x2)的单调增区间为(1, 3)，同理可知函数y = log4 (7 + 6x x2)的单调减区间为(3, 7)又g (x) = (x 3)2 + 16在(1, 7)上的值域为(0, 16所以函数y = log4(7 + 6x x2)的值域为 (, 2【点评】函数的单调区间必须使函数有意义，因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一cdab1logbxlogaxlogdxlogcx1oxy例题5：根据对数函数图象判断底数的大小关系：【解析】直线与各函数图象交点的横坐标为底数值，故【点评】利用，可以有效的解决对数函数底数大小的比较问题；由上述结果可知，对数函数底数越小，图象在第一象限越靠近y轴题型三、反函数例题6 ：（2009广东）若函数是函数的反函数，且，则（ ）A、 B、 C、 D、2 【解析】函数的反函数是，又，即，所以，故，选A【点评】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数题型四、对数方程与不等式例题7：的解为 【解析】原方程变形为，即，得， ， 【点评】考察对数运算，注意验根，使对数式有意义变式5：解关于x的不等式：【解析】原不等式可化为，当a>1时，有；当0<a<1时，有当a>1时不等式的解集为；当0<a<1时不等式的解集为【点评】利用对数函数单调性解不等式，注意定义域和底数的讨论题型五、对数函数图象和性质综合问题 例题8：已知函数y=loga（1ax），（a0，a1） （1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称【解析】（1）1ax0，即ax1，a1时，定义域为（，0）；0a1时，定义域为（0，+）令t=1ax，则0t1，而y=loga（1ax）=logata1时，值域为（，0）；0a1时，值域为（0，+）（2）a1时，t=1ax在（，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，y=loga（1ax）在（，0）上单调递减0a1时，t=1ax在（0，+）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，y=loga（1ax）在（0，+）上单调递减（3）y=loga（1ax），ay=1axax=1ay，x=loga（1ay）反函数为y=loga（1ax），即原函数的反函数就是自身函数图象关于y=x对称【点评】有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1ax的范围，可应用换元法，令t=1ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论【方法与技巧总结】1、对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质2、求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质，应熟练掌握对数函数的相关性质3、对数式方程和不等式常用解法：（1）形如，转化为；（2）对于，则当时，得， 当时，得；（3）形如或的方程或不等式，一般用换元法求解；（4）形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1（2012肇庆高三上学期期末）函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、2已知，则有 （ ）A、 B、 C、 D、3（2010北京海淀区第二学期期中）在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是（ ）4（2010辽宁）设，且，则（ ）A、 B、10 C、20 D、1005函数的单调递减区间为 6（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；（2）设logax = m，logay = n，用m、n表示；（3）已知lgx = 2lga + 3lgb 5lgc，求x7求函数y = log2|x|的定义域，并画出它的图象8比较下列各组数中两个值的大小：（1）log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1；（3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67 9设A、B是函数y= log2x图象上两点，其横坐标分别为a和a+4，直线l：x=a+2与函数y= log2x图象交于点C，与直线AB交于点D（1）求点D的坐标；（2）当ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围10已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围【课后作业】1已知函数 ，那么 的值为 （ ）A、9 B、 C、 D、 2已知0<x<y<a<1，则有（ ） A、loga(xy)<0 B、0< loga(xy)<1 C、1< loga(xy)<2 D、loga(xy)>23若定义在（1，0）内的函数，则a的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、4若函数在R上为增函数，则a的取值范围是 （ ） A、 B、 C、 D、 5已知，则的大小关系是（ ）A、 B、 C、 D、6若，则（ ）A、a<b<c B、c<a<b C、b<a<c D、b<c<a 7（2010北京西城一模）若，则下列结论正确的是（ ）A、 B、 C、 D、8若指数函数yax的反函数的图象经过点(2，1)，则a等于（ ）A、 B、2 C、3 D、109（2011重庆）设的大小关系是（ ）A、B、C、D、10若，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、11（2012江门市一模）已知函数，且，则是（ ）A、奇函数且在上单调递增 B、偶函数且在上单调递增C、奇函数且在上单调递减 D、偶函数且在上单调递减12（2010青岛市二模）已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、13（2010北京丰台一模）设集合，则集合是（ ）A、 B、 C、 D、14若f (10x)= x, 则f (5) = 15（2010上海市奉贤区4月质量调研）函数的图像恒过一定点是 16（2010上海市普陀区二模）函数的定义域是 17已知log189 = a，18b = 5，求log364518求证：函数f (x) =在(0, 1)上是增函数19、已知，（1）求的值；（2）x1，x2，x2010均为正实数，若函数f (x)logax(a0且a1)且f (x1x2x2010)，求f ()f ()f ()的值20、已知函数，其中（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）若，求使成立的的集合【拓展训练】1函数y=logax在上总有|y|>1，则a的取值范围是（ ） A、或 B、或C、 D、或2（2010山东）函数的值域为（ ）A、 B、 C、 D、3已知且，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）A、 B、 C、 D、 4（2011高州三中高三上期末）已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、5函数的单调递增区间是（ ）A、 B、 C、 D、6已知定义在R上的偶函数在上是增函数，且，则满足的的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、7（2012重庆）设函数集合 则为（）A、B、(0,1)C、(-1,1)D、8（2012江苏）函数的定义域为 9（2008山东）已知，则的值等于 10已知f（logax）=，其中a0，且a1（1）求；（2）求证：是奇函数；（3）求证：在R上为增函数11已知函数（1）求的定义域；（2）在函数的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于轴；（3）当满足什么条件时,在上恒取正值12现有两个函数与，其中（1）求函数的表达式与定义域；（2）给出如下定义：“对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意，有，则称与在区间上是接近的，否则称与在区间上是非接近的.” 若，试讨论与在给定区间上是否是接近的【参考答案】1、巩固练习答案1、选B由2、A3、选D依题意，a>0且a1，对于A，D图，由对数及指数函数图像知，a>1，此时直线y=x+a在y轴上的截距大于1，因此A错，D对，选择D4、选A又5、注意定义域6、【解析】（1）0.4771+0.5 0.1505= 0.8266（2）01 2xy21（3）由已知得：，.7、【解析】函数的定义域为x|x0，xR函数解析式可化为y =，其图象如图所示（其特征是关于y轴对称）8、【解析】（1）对数函数y=log2x在（0，+）上是增函数，且3.43.8，于是log23.4log23.8（2）对数函数y=log0.5x在（0，+）上是减函数，且1.82.1，于是log0.51.8log0.52.1（3）当a1时，对数函数y=logax在（0，+）上是增函数，于是loga5.1loga5.9；当0a1时，对数函数y=logax在（0，+）上是减函数，于是loga5.1loga5.9（4）因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，所以log75log77=1=log66log67，所以log75log679、【解析】（1）易知D为线段AB的中点，因A(a, log2a )，B(a+4, log2(a+4)，所以由中点公式得D(a+2, log2) （2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= log2，其中A,B,C为A,B,C在x轴上的射影，由SABC= log2>1，得0< a<2210、【解析】（1）或；（2）依题意对一切恒成立当时，必须有，即或当时，当时，满足题意，当时不合题意故或；依题意，只要能取到的任何值，则的值域为，故有，即；当时，当时，符合题意，当时，不合题意故2、课后作业答案1、选B 2、选D0<x<y<a<1 ，3、选A当（1，0）时，而函数，故，即4、选A在R上为增函数， 5、选C由于，6、选C由得，从而，7、选D由指数函数与对数函数的单调性知D正确 8、选A运用原函数与反函数图象关于yx对称，则函数yax过点(1,2)，故选A9、选B10、选C11、选B12、选C函数且在上具有单调性，因此a+a2+loga2=，解得a=2，选择C13、选C，因此14、lg5由题意10x= 5，故x= lg5，即 f(5)= lg515、（2，2）当x=2时，函数值为2，所以其图像恒过定点（2,2）16、，解得x.17、【解析】方法一：log189 = a，18b = 5，log185 = b，于是=.方法二：log189 = a，18b = 5，lg9 = alg18，lg5 = blg8，=.18、【解析】设0x1x21，则f (x2) f (x1) = = 0x1x21，1，1. 则0，f (x2)f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数.19、【解析】（1）方法一：， ， 方法二：， ， （2）由（1）可知f(x1x2x2010)f(x1)f(x2)f(2010)1， f()f()f()2f(x1)f(x2)f(x2010) 21220、【解析】（3）由，得.，由得，得，解得.使成立的的集合是 3、拓展训练答案1、选B函数y=logax在上总有|y|>1 当0<<1 时 ，函数y=logax在上总有y< -1，即 当时，函数y=logax在上总有y>1，即由可得2、选A3、选C定义域均为，4、选C5、选A6、选B7、选D由得则或即或，所以或;由得即所以故 8、由9、2008 =1864+144=200810、【解析】利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义（1）解：设t=logax，则tR，x=at（x0），则f（t）=（atat）（2）证明：f（x）=（axax）=（axax）=f（x），f（x）为奇函数（3）证明：设x1、x2R，且x1x2，则f（x2）f（x1）=（aa）（aa）=（aa）+aa（aa）=（aa）（1+aa）若0a1，则a210，aa，f（x2）f（x1）.y=f（x）在R上为增函数；若a1，则a210，aa，f（x2）f（x1）.y=f（x）在R上为增函数综上，a0，且a1时，y=f（x）是增函数11、【解析】（1）由得 ，由于所以，即的定义域为（2）任取,且 在上为增函数,在上为减函数, 即又在上为增函数, 在上为增函数.所以任取则必有，故函数的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于轴（3）因为是增函数，所以当时，这样只需， 即当时，在上恒取正值12、【解析】（1）.由 得，又，的定义域为. （2）与在给定区间上是接近的，即， ， ， 因此对于任意恒成立令，开口向上且对称轴在区间的左边. ， 又，故当时，与在给定区间上是接近的；当时，与在给定区间上是非接近的