因式分解的应用-初级中学数学竞赛讲义.doc
因式分解的应用 一、利用因式分解判断整除性例1 2n1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除证明 (2n1)(2n1)=(2n12n1)(2n12n1)=4n2=8n 这两个连续奇数的平方差能被8整除例2 x+y+z3xyz能被(x+y+z)整除证明 因式分解，得原式即(x+y+z)(x+y+zxyyzzx)，x3+y3+z33xyz能被(x+y+z)整除例3 设4xy为3的倍数，求证：4x+7xy2y能被9整除证明 4x+7xy2y=(4xy)(x+2y)，又 x+2y=4xy3x+3y=(4xy)3(xy)原式(4xy)(4xy)3(xy)(4xy)3(4xy)(xy)4xy为3的倍数4x+7xy2y能被9整除例4 设实数a<b<c<d，如果x=(ab)(cd)，y=(ac)(bd)，z=(ad)(bc，那么x、y、z的大小关系为( ) A. x<y<z B. y<z<x C. z<x<y D. 不能确定 解：a<b<c<d， xy=(ab)(cd)(ac)(bd)=acbdabcd=(ad)(cb)<0，即；x<y。 同理yz=(ab)(dc)<0，即y<z。 x<y<z，选A。 说明：因式分解能使xy和yx两个差式显示出正负性质，达到可比较的目的。二、 因式分解解计算题 例5 计算下列各题： (1)233.145.931.41800.314 (2) 解：(1)适当变形之后，提取公因式： 原式233.14593.14183.14 3.14(235918)=3.14100=314 (2)原式 说明：上述这些计算，巧妙应用了因式分解，使运算过程显得灵活、简捷。 例6 积的整数部分为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：这道题，要求99个括号里的数值的乘积，当然不能用常规方法去实乘。观察其特点：每个分母是相邻奇数或偶数的积，记为n(n2)；每个括号的分子相加又都是n(n2)1=(n1)2，于是，设所求式子之积为S，则有 1<S<2，应选A。 说明：这时用了因式分解，使隐含的数量关系明显化。 三、利用因式分解化简求值例7 已知acbd=0，则ab(c2d2)cd(a2b2)的值等于_。解：原式=(abc2a2cd)(abd2b2cd) =ac(bcad)bd(adbc) =(adbc)(acbd)=(adbc)0=0说明：利用因式分解，先化简代数式，上述的求值题变得十容易了。例8 已知ab=3, ac=, 求(cb)(ab)+(ac)(ab)+(ac)的值分析：所求的代数式中含有cb，可以通过已知的ab=3与ac=来推得cb解：由已知得cb=3 所以 原式=（3）=2726=1 四、利用因式分解解方程 例9 解方程（x24x)22(x24x)15=0 解：将原方程左边分解因式，可得 x24x3)(x24x5)=0 (x1)(x3)(x1)(x5)=0 由此得x+10或x3=0，或x1=0，或x5=0原方程的解是x1=1，x2=3，x3=1，x4=5 例10 求方程4x24xy3y2=5的整数解。 解：原方程或化为(2x3y)(2xy)=5 因为x、y是整数，故2x3y和2xy必是整数。又5=51=(5)(1)，因此原方程可化为四个方程组： 解这四个方程组，便可得原方程的四组解为： 说明：因式分解的运用，使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。五、利用因式分解化简例11 化简分析 1111=33330000=3(11110000)=3(11111111)=3()解： = 原式=3333六、利用因式分解证明等式（不等式）例12 已知三角形的三边a、b、c满足等式，证明这个三角形是等边三角形 分析 要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形，只要能证明a=b=c即可，题中给出了关于a、b、c的关系式，利用因式分解将它变形，在利用非负数的性质即可。解：已知即 (a+b+c)(abbcca)=0a+b+c0abbcca=0()+()+()=0=0a=b=c这个三角形是等边三角形例13 设a、b、c为ABC的三边，求证<0证明：= = =(a+b+c)(abc)a、b、c为ABC的三边a+b+c>0 abc<0(a+b+c)(abc)<0<0七、利用因式分解证明几何问题例14 已知：a、b为两圆的半径，c为两圆的圆心距，若方程x2-2ax+b2-(b-a)c=0有相等的实数根，求证：两圆相等或外切证明 对于方程x-2ax+b-(b-a)c=0，有 =4a-4b+4(b-a)c=0，即 (a-b)(a+b-c)=0，a=b或c=a+b所以两圆相等或外切MDB例15 在ABC中，BAC=90，ACAB，AD是高，M是BC的中点，求证：AD=BM-DMCA证明 BM-DM=(BM+DM)(BM-DM)=(CM+DM)(BM-DM)=CDDB=AD，AD=BM-DM注：若用CM替代BM，则：CD=CM+DM，DB=BM-DM练习题1 求证：14+1能被197整除2 如果xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1975，试求自然数x、y、z3 在ABC中，三边a、b、c满足a+b+c3abc=0，试判定三角形的形状4 m为何值时，方程2xxy6y+mx+17y12=0的图象是两条直线？5 求xy=1979的整数解6 设p是质数，且p2，求方程 的正整数解（xy）7 计算8 计算9999999919999 已知=7，求整数x、y的值10 求出方程的全部正整数解11 已知，求的值l12 证明是合数A13 如题图，M为线段CB的中点，D为MC上异于M的一点，过点D作直线lBC，A为l上任意一点，（1）求证AB>AC,（2）MCDB若BC=83.25，MD=12,求14 如题图，在ABC中，ABC>ACB,AADBC于D，P是AD上任一点，CBDP求证：AC+BP<AB+PC答案或提示1. 证明 原式=(14)+1=196+1=197(196-196+1) 能被197整除2. (x，y，z)为(7，12，18)； (7，18，12)；(12，7，18)；(12，18，7)，(18，7，12)， (18，12，7)共6组解3. ABC为等边三角形4. 时，方程2xxy6y+mx+17y12=0的图象是两条直线5. x=990,y=9896. xy，以及p是质数，则只能是2xp=2yp=12xp=12yp= 或 或由于y是大于2的质数，且p是奇数，于是为整数所以求得的解是整数7. 39900058. 9982009. x=3,y=2 或x=-5,y=2 或x=-3,y=-2 或x=5,y=210. x=2,y=311. 012. 略13. （1）运用勾股定理 （2）199814. 略
