2022年高一三角函数知识点加练习题 .pdf

仁人尚学教育1 三角函数一、任意角的概念与弧度制1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角 ，顺时针旋转为负角 ，不旋转为零角2、同终边的角可表示为360kkZgx轴上角：180kkZogy轴上角：90180kkZoog3、第一象限角：036090360kkkZogg第二象限角：90360180360kkkZoogg第三象限角：180360270360kkkZoogg第四象限角：270360360360kkkZoogg4、区分第一象限角、锐角以及小于90o的角第一象限角：036090360kkkZogg锐角：090o小于90o的角：90o5、若为第二象限角，那么2为第几象限角？kk222kk224,24, 0k,2345, 1k所以2在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad. 7、角度与弧度的转化：01745.01801815730.5718018、角度与弧度对应表：角度030456090o120135150180360弧度0643223345629、弧长与面积计算公式弧长：lR；面积：21122SlRR，注意：这里的均为弧度制 . 二、任意角的三角函数ry)(x,P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页仁人尚学教育2 1、正弦：sinyr；余弦cosxr；正切tanyx其中, x y为角终边上任意点坐标，22rxy. 2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. （简记为“全s t c” ）例题： 1.已知为第二象限角，135sin求cos、tan、cot的值2.已知为第四象限角，3tan求cos、sin、cot的值方法：画直角三角形利用勾股定理先算大小后看正负4、同角三角函数基本关系式22sincos1sintantancot1cosgcossin21)cos(sin2cossin21)cos(sin2(cossin，cossin，cossin?，三式之间可以互相表示) 例题： 1. 已知sin2cos5,tan3sin5cos那么的值为 _. 度0o30o45o60o90o120o135o150o180o270360o弧度06432233456322sin01222321322212010cos13222120122232101tan03313无31330无0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页仁人尚学教育3 已知2tan， 则 1.cossincossin=_.2.22cossincossin=_. 3.1cossin=_.（ “1”的代换）2. 已知三角函数sin和cos的和或差的形式求sin.cos方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的范围进行取舍）例题：已知0，sin+cos=21，求sin.coscos-sin6、诱导公式口诀：奇变偶不变, 符号看象限 ( 所谓奇偶指的是2n中整数n的奇偶性，把看作锐角 ) 212( 1) sin,sin()2( 1)s,nnnncon为偶数为奇数；212( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconncon为偶数为奇数. . 公式（一）：与2,kkZsin)2sin(k；cos)2cos(k；tan)2tan(k. 公式（二）：与sinsin；coscos；tantan. 公式（三）：与sinsin；coscos；tantan. 公式（四）：与sinsin；coscos；tantan. 公式（五）：与2sincos2；cossin2；. 公式（六）：与2sincos2；cossin2；. 公式（七）：与323sincos2；3cossin2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页仁人尚学教育4 . 公式（八）：与323sincos2；3cossin2；例题 1. )619sin(的值等于（）A. 21 B. 21 C. 23 D. 232. 若zkkM,52，N则NM等于（）A. 103,5B. 54,107C. 107,54,103,5D. 107,1033. 已知33)6cos(求)6(sin)65cos(2的值。三、三角函数的图像与性质1、将函数sinyx的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变） ，得到函数sinyAx的图象。2、函数sin0,0yAxA的性质：振幅：A；周期：2T；频率：12fT；相位：x；初相：。3、周期函数：一般地，对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，T叫做该函数的周期. 4、)sin(xAy对称轴：令2xk，得2kx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页仁人尚学教育5 对称中心：kx，得kx，)(0 ,(Zkk；)cos( xAy对称轴：令kx，得kx；对称中心：2kx，得2kx，)(0 ,2(Zkk；周期公式 : 函数sin()yAx及cos()yAx的周期2T (A 、为常数，且A0). 函数xAytan的周期T (A 、为常数，且A 0).5、三角函数的图像与性质表格sinyxcosyxtanyx图像定义域RR,2x xkkZ值域1,11,1R最值当22xkkZ时，max1y；当22xkkZ时，min1y当2xkkZ时，max1y；当2xkkZ时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk在2,2kkkZ上是增函数；在,22kk函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页仁人尚学教育6 kZ上是增函数；在32,222kkkZ上是减函数在2,2kkkZ上是减函数kZ上是增函数对称性对称中心,0kkZ对称轴2xkkZ对称中心,02kkZ对称轴xkkZ对称中心,02kkZ无对称轴6.五点法作)sin(xAy的简图 ，设xt，取 0、2、23、2来求相应x的值以及对应的y 值再描点作图。7. 函数的变换：（1）函数的平移变换)0)()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左（右）平移a个单位 （左加右减）)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上（下）平移b个单位 （上加下减）例 1、把函数Rxxy,sin图像上所有的点向左平移4个单位，所得函数的解析式为_2、把函数Rxxy,cos图像上所有的点向右平移5个单位，所得函数的解析式为_（2）函数的伸缩变换：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页仁人尚学教育7 )0)()(wwxfyxfy将)(xfy图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短，10w伸长）)0)()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1A伸长，10A缩短）例 1.对于函数Rxxy,sin3的图像是将Rxxy,sin的图像上所有点的_(“横”或”纵”)坐标 _（伸长或缩短）为原来的_而得到的图像。2. 由函数Rxxy,sin4的图像得到Rxxy,sin的图像，应该是将函数Rxxy,sin4上所有点的_(“横”或“纵”)坐标 _（“伸长”或“缩短”）为原来的_（横坐标不变）而得到的图像。3.对于函数Rxxy,3sin的图像是将Rxxy,sin的图像上所有点的_( “横”或“纵”)坐标_（“伸长”或“缩短”）为原来的_（纵坐标不变）而得到的图像。（3）函数的对称变换：)()(xfyxfy) 将)(xfy图像绕y轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x轴对称）)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）)()(xfyxfy保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）例 1.为得到函数cos 23yx的图象，只需将函数sin 2yx的图象A向左平移512个长度单位B向右平移512个长度单位C向左平移56个长度单位D向右平移56个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决2 函数tansintansinyxxxx在区间3(,)22内的图象是xo322yA2 -xBo322y2 -2xo322yC-xo322yD2-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页仁人尚学教育8 2、用两种方法将函数xy2sin的图像变换为函数)4sin(xy的图像方法一：xy2sin)(xysin)()4sin(xy方法二：xy2sin)()42sin()8(2sinxxy)(总结：方法一：先伸缩后平移A方法二：先平移后伸缩A四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1 ）cossincossin)sin(2 ）cossincossin)sin(3 ）sinsincoscos)cos(4 ）sinsincoscos)cos(5 ）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(6 ）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(7)sincosab=22sin()ab( 其 中 , 辅 助 角所 在 象 限 由 点( , )a b所 在 的 象 限 决定,2222sin,cos,tanbabaabab，该法也叫合一变形). (8)4tan(tan1tan1)4tan(tan1tan1例 1 已知4cossin365，则7sin6的值是A2 35B2 35C45D45分析 ：所求的7sinsin()66，将已知条件分拆整合后解决精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页仁人尚学教育9 2 若cos2sin5,则tan=A21B2C21 D 22. 二倍角公式（1）aaacossin22sin（2）1cos2sin21sincos2cos2222aaaaa（3）aaa2tan1tan22tan 3. 降幂公式：（1）22cos1cos2aa（2）22cos1sin2aa 4. 升幂公式（1）2cos2cos12（ 2）2sin2cos12（3）2)2cos2(sinsin1（ 4）22cossin1（5）2cos2sin2sin5. 半角公式 （符号的选择由2所在的象限确定）（1）2cos12sinaa，（2）2cos12cosaa，（3）aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan6. 万能公式 : （1）2tan12tan2sin2, （2）2tan12tan1cos22, （3）.2tan12tan2tan27. 三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页仁人尚学教育10 )sin(cossin22baba其中2222sin,cosbabbaa， 比如：xxycos3sin)cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx)cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x（3）注意“凑角”运用：，12例如：已知),43(、,53)sin(，1312)4sin(，则?)4cos(（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“22cossin”（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：acos1常用升幂化为有理式。（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。（8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：aacossin，aacossinaacossin，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。例 设锐角ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，,2 sinabA. ()求B的大小 ; ()求cossinAC的取值范围 . 8. 函数的最值（ 几种常见的函数及其最值的求法）：bxaysin（或)cosbxa型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论xbxaycossin型：引进辅助角化成)sin(22xbay再利用有界性cxbxaysinsin2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin x的约束dxcbxaysinsin型：反解出xsin，化归为1sinx解决cxxbxxaycossin)cos(sin型：常用到换元法：xxtcossin，但须注意t的取值范围：2t。例 1：求函数xxy2sin)29cos(的最大值和最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页仁人尚学教育11 2已知函数2( )2 sincos2 cosf xaxxbx ，且(0)8,()126ff（1）求实数a，b的值；（2）求函数)(xf的最大值及取得最大值时x的值9. 三角形中常用的关系：)sin(sinCBA，)cos(cosCBA，2cos2sinCBA，)(2sin2sinCBA，)(2cos2cosCBA10. 常见数据：6262sin15cos75,sin75cos1544，3215tan, 3275tan作业：1函数sin(2)(0)yx是R上的偶函数，则的值是（）A0B4C.2D.2将函数sin()3yx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，再将所得的图象向左平移3个单位，得到的图象对应的僻析式是（）A1sin2yxB1sin()22yxC.1sin()26yxD.sin(2)6yx3、函数)652cos(3xy的最小正周期是（）A52B25C2D54已知函数( )sin(2)f xx的图象关于直线8x对称，则可能是（）A.2B.4C.4D.34二、填空题1关于x的函数( )cos()fxx有以下命题：对任意，( )f x都是非奇非偶函数；不存在，使( )f x既是奇函数，又是偶函数；存在，使( )f x是偶函数；对任意，( )f x都不是奇函数 . 其中一个假命题的序号是，因为当时，该命题的结论不成立. 2若)10(sin2)(xxf在区间0,3上的最大值是2，则=_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页仁人尚学教育12 3设0，若函数( )2sinf xx在,34上单调递增，则的取值范围是 _。三、简答题1. 已知函数xbaysin2的最大值为3，最小值为1，求函数xbay2sin4的最小正周期，值域。2.设( )yf t是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中024t,下表是该港口某一天从0 至 24 时记录的时间t 与水深 y 的关系. t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数( )yf t的图象可以近似地看成函数sin()ykAt的图象 . 根据上述数据，函数( )yf t的解析式为（）A123sin,0, 246tytB123sin(),0, 246tytC123sin,0,2412tytD123sin(),0,24122tyt2、 从高出海面hm 的小岛 A 处看正东方向有一只船B， 俯角为30o看正南方向的一船C 的俯角为45o， 则此时两船间的距离为 （） . A2hmB2hmC3hmD2 2hm3、如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式： I =Asin(t)在同一周期内的图象。（1）根据图象写出I =Asin(t)的解析式；（2）为了使 I =Asin(t)中 t 在任意段1100秒的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页