2022年高中数学圆锥曲线复习知识精讲理苏教版- .pdf
学习必备欢迎下载高二数学圆锥曲线复习苏教版（理）【本讲教育信息 】一. 教学内容：圆锥曲线复习二. 教学目标： 1. 通过小结与复习，能较准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 2. 通过本节教学能较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法坐标法；本周知识要点一. 知识归纳：名 称椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆 即aMFMF221当 2a2c时，轨迹是椭圆，当2a 2c时 ， 轨 迹 是 一 条 线 段21FF当 2a2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即122MFMFa当 2a2c时，轨迹是双曲线当 2a2c时，轨迹是两条射线当 2a2c时，轨迹不存在标准方 程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay常数cba,的关系222bca，0ba，a最大，bcbcbc,222bac，0acc最大，可以bababa,渐近线焦点在x轴上时：0 xyab焦点在y轴上时：0yxab抛物线：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载图形xyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0 ,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2py（一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222babyax（1）范围：axb-a，xa，椭圆落在bya，x组成的矩形中。（2）对称性 :图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：)0 ,(),0,(2aAaA，), 0(),0(2bBbB。加两焦点)0,(),0 ,(21cFcF共有六个特殊点。21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴。长分别为ba 2 ,2。ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。ace2)(1abe。10e。椭圆形状与e的关系：0,0 ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例。, 1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为是椭圆在1e时的特例。 2. 椭圆的第二定义： 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1 ,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）（二）双曲线的几何性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载 1. （1）范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x a,x a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。（2）顶点顶点：0 ,),0,(21aAaA，特殊点：bBbB,0), 0(21实轴：21AA长为 2a,a 叫做实半轴长。虚轴：21BB长为 2b，b 叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（3）渐近线过双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率范围： e1 双曲线形状与e 的关系：1122222eacaacabk，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知， 双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为：xy； （2）渐近线互相垂直； （ 3）离心率2e。 3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0( 1)()(2222kkbykax或写成2222byax。 4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴， 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中 a,b 不同（互换） c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1 变为 1。 5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程：对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(1cF对应着左准线caxl21:，相对于右焦点)0 ,(2cF对应着右准线caxl22:；焦点到准线的距离cbp2（也叫焦参数） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载对于12222bxay来说， 相对于下焦点), 0(1cF对应着下准线cayl21:；相对于上焦点), 0(2cF对应着上准线cayl22:。（三）抛物线的几何性质（1）范围因为 p0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标（ x，y）满足不等式 x 0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性以 y 代 y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程022ppxy中，当y0 时， x0，因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点。（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， 用 e 表示。由抛物线的定义可知，e1。【典型例题】例 1. 根据下列条件，写出椭圆方程（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2 、长轴长为8；（2）和椭圆9x24y236 有相同的焦点，且经过点（2， 3） ；（3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是510。分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2b2c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。解： （1）焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上因此有两解：112x16y112y16x2222或（2）焦点位置确定，且为（0，5） ，设原方程为22221yxab,（ ab0） ，由已知条件有14952222baba10,1522ba，故方程为110 x15y22。（3）设椭圆方程为12222byax, （ab0）由题设条件有510cacb及 a2b2c2，解得 b10,5 a故所求椭圆的方程是15y10 x22。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载例 2.直线1kxy与双曲线1322yx相交于 A、B两点，当a为何值时， A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时， A、B分别在双曲线的两支上？解： 把1kxy代入1322yx整理得：022)3(22axxa（ 1）当3a时，2424a由0得6a6且3a时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若 A、B在双曲线的同一支，须32221axx0，所以3a或3a。故当36a或63a时，A 、B两点在同一支上； 当33a时，A、B两点在双曲线的两支上。例 3. 已知抛物线方程为)1x(p2y2（p0） ，直线myxl :过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求 p 的值。解： 设l与抛物线交于1122(,),(,),|3.A xyB xyAB则由距离公式 |AB| |yy|2|yy|k11)yy()x-(x21212221221则有2129().2yy由02yx，) 1(221222ppy，xpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp从而212212214)()(yyyyyy即294)2(22pp由于 p0，解得43p【模拟试题】（答题时间： 40 分钟） 1. 是任意实数，则方程4sin22yx所表示的曲线不可能是（） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 2. 已知椭121)(1222tyx的一条准线方程是8y，则实数t的值是（） A. 7或 7 B. 4 或 12 C. 1 或 15 D. 0 3. 双曲线1422kyx的离心率)2, 1(e，则k的取值范围为（） A. )0,( B. （ 12，0） C. （ 3，0） D. （ 60， 12） 4. 以112422yx的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） A. 1121622yxB. 1161222yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载 C. 141622yxD. 116422yx 5. 抛物线28mxy的焦点坐标为（） A. )0,81(mB. )321,0(mC. )321, 0(mD. )0 ,321(m 6. 已知点A（ 2， 1） ，xy42的焦点为F，P 是xy42的点，为使PFPA取得最小值，P点的坐标是（） A. )1 ,41( B. )22,2( C. )1,41( D. )22,2( 7. 已知双曲线的渐近线方程为043yx，一条准线方程为095y，则双曲线方程为（） A. 116922xyB. 116922yx C. 125922xyD. 125922yx 8. 抛物线2xy到直线42yx距离最近的点的坐标为（） A. )45,23(B. )1 ,1 (C. )49,23(D. )4,2( 9. 动圆的圆心在抛物线xy82上，且动圆与直线02x相切，则动圆必过定点（） A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （ 0， 2） 10. 到定点（2， 0）的距离与到定直线8x的距离之比为22的动点的轨迹方程为_ 。 11.双曲线2222mymx的一条准线是1y，则m_。 12. 已知点（ 2，3）与抛物线)0(22ppxy的焦点距离是5，p_。 13. 中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线23xy所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程。 14. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN4，求双曲线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载【试题答案】 1. C 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A 7. A 8. B 9. B 10. 13672)4(22yx 11. 3412. 4 13. 分析： 根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知， c50，5022ba，最后解关于a、b 的方程组即可。解： 设椭圆的标准方程为)0(12222babyax由 F1（0，50）得5022ba把直线方程23xy代入椭圆方程整理得：0)4(12)9(222222abxbxba设弦的两个端点为),(),(2211yxByxA，则由根与系数的关系得：22221912babxx，又 AB的中点横坐标为21，2196222221babxx223ba，与方程5022ba联立可解出25,7522ba故所求椭圆的方程为：1257522yx 14. 解： 设所求双曲线方程为1byax2222（a0，b0） ，由右焦点为（2，0） 。知 c 2，b24a2则双曲线方程为142222byax，设直线MN的方程为：)2(53xy，代入双曲线方程整理得：（208a2）x212a2x5a432a20 设 M （x1,y1）,N（x2,y2）,则222182012aaxx22421820325aaaxx212124531xxxxMN482032548201258224222aaaaa解得：12a，3142b故所求双曲线方程为：1322yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
