2022年高中数学选修知识点总结 2.pdf

学习必备欢迎下载高中数学选修 4-1 知识点总结平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6 个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理1： 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理 1：圆的内接四边形的对角互补。定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。高中数学选修 4-4 知识点总结一、选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程. 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2参数方程：了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结：1伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0( ,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 伸缩变换。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载2. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ；自极点O引一条射线Ox叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系 。3点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离| OM叫做 点M的极径 ，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做 点M的极角 ，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，记为),(M. 极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(. 4. 若0, 则0, 规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；在极坐标系中，以)0 ,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；在极坐标系中，以)2,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；7. 在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是acos. 8参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程 ，联系变数yx,的变数t叫做 参变数 ，简称 参数 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数rbyrax. 椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数byax. 抛物线pxy22的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptypxx. 经过点),(ooOyxM，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为.sin,cosootyytxx（t为参数） . 10在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致 .)0(nt,sin,cos,222xxyayxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载高中数学选修 4-5 知识点总结1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加 性）dbcadcba,（异向可减 性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0, , bcaccba0,（ 同向正数 可乘性）0,0abcdacbd（异向正数 可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式222abab abR，, （当且仅当ab时取号） . 变形公式：22.2abab（基本不等式）2abababR，,（当且仅当ab时取到等号）. 变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” .（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc ()abcR、 、（当且仅当abc时取到等号） .222abcabbcca abR，（当且仅当abc时取到等号） . 3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当abc时取到等号） . 0,2baabab若则（当仅当a=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当a=b 时取等号）绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababab，,a bR（，当且仅当ab时取号） . （即调和平均几何平均算术平均平方平均） . 变形公式：222;22ababab222().2abab4、一元二次不等式的解法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 5、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切 ） ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 6、分式不等式的解法：先移项通分 标准化，则( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )fxf xg xg xf xg xfxg xg x（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 8、指数不等式的解法：当1a时,( )( )( )( )fxg xaafxg x当01a时, ( )()( )( )fxg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.9、对数不等式的解法当1a时, ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x当01a时, ( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化.10、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22( )( )( )( ).f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( )( )0)f xg xf xg xf xg xg x或规律：关键是去掉绝对值的符号.11、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 12、含参数的不等式的解法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小. 13、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立min( );f xa( )f xa恒成立min( ).f xa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页