2022年高考数学一模试卷解析 .pdf

辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一选择题： （本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2013?大连一模）设集合A=2 ，lnx ，B=x ，y ，若 A B=0 ，则 y 的值为（）A0B1CeD2 （5 分） （2013?大连一模）设复数，则 z 为（）A1B1 CiDi 3 （5 分） （2013?大连一模）计算sin47 cos17 cos47 cos73 的结果为（）ABCD4 （5 分） （2013?大连一模）展开式中的常数项为（）A20 B20 C15 D15 5 （5 分） （2013?大连一模）三位男同学和三位女同学站成一排，要求任何两位男同学都不相邻，则不同的排法总数为（）A720B144 C36 D126 （5 分） （2013?大连一模）曲线y=sinx ，y=cosx 与直线 x=0，所围成的平面区域的面积为（）ABCD7 （5 分） （2013?大连一模）已知函数的图象（部分）如图所示，则 ，分别为（）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页8 （5 分） （2013?大连一模） 已知定义在R 上的偶函数f （x）满足 f （ 1+x） =f（1x） ，且 x 0，1时，则方程在区间 3，3上的根的个数为（）A5B4C3D29 （5 分） （2013?大连一模）已知A， B 两点均在焦点为F 的抛物线y2=2px（p0）上，若，线段AB 的中点到直线的距离为1，则 p 的值为（）A1B1 或 3 C2D2 或 6 10 （5 分） （2013?大连一模）如图是用模拟方法估计椭圆面积的程序框图，S 表示估计的结果，则图中空白处应该填入（）ABCD11 （5 分） （2013?大连一模）定义在R 上的函数f（x）满足 f（ 3）=1，f（ 2）=3，f（x）为 f（x）的导函数，已知 y=f （x）的图象如图所示，且f（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b 满足 f（2a+b） 1，f（ a 2b） 3，则的取值范围是（）ABCD12 （5 分） （2013?大连一模）等腰RtACB ，AB=2 ，以直线AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，D 为圆锥底面一点， BDCD， CHAD 于点 H， M 为 AB 中点，则当三棱锥CHAM 的体积最大时， CD 的长为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页ABCD二 .填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13 （5 分） （2013?大连一模）在ABC 中， sinA：sinB：sinC=2：3： 4，则 cosC 的值为_14 （5 分） （2013?大连一模）如图，网格纸是边长为1 的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为_15（5 分） （2013?大连一模） 已知双曲线C：（a0， b 0） ， P为 x 轴上一动点， 经过点 P 的直线 y=2x+m（m 0）与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为_16 （5 分） （2013?大连一模）设a R，对于 ?x0，函数 f（x）=（ax1）ln（ x+1） 1恒为非负数，则a 的取值所组成的集合为_三 .解答题：（本大题共5 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分） （ 2013?大连一模）已知各项均为正数的数列an 满足 a1=1，an+1+an?an+1an=0（）求证：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（）求数列前 n 项和 Sn18 （12 分） （ 2013?大连一模）某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在21，7，22.3（单位： cm）之间的零件，把零件尺寸在21.9，22.1）的记为一等品，尺寸在21.8，21.9） 22.1，22.2）的记为二等品，尺寸在21.7，21.8） 22.2，22.3的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100 件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（）根据上述数据完成下列2 2 列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？甲工艺乙工艺合计一等品非一等品合计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页P（x2 k 0.05 0.01 k 3.841 6.635 附：（）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30 元、 20元、 15 元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由19 （12 分） （ 2013?大连一模）如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为，D 是棱A1C1的中点（）求证： BC1平面 AB1D；（）求二面角A1AB1D 的大小20 （12 分） （ 2013?大连一模）设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是 x 轴正半轴上一点，以PF1为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线相切，过点P 的直线与椭圆 M 相交于相异两点A、 C（）求椭圆M 的方程；（）若相异两点A、B 关于 x 轴对称，直线BC 交 x 轴与点 Q，求的取值范围21 （12 分） （ 2013?大连一模）已知m R，函数 f（x）=mx22ex（）当m=2 时，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）有两极值点a，b（a b） ， （）求m 的取值范围； （）求证：ef（a） 2四、选做题请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22 （10 分） （ 2013?大连一模）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数），曲线 C2的参数方程为（为参数），P是 C2上的点，线段OP 的中点在C1上（）求 C1和 C2的公共弦长；（）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标23 （2013?大连一模）已知f（x）=|2x1|+ax 5（a 是常数， a R） 当 a=1 时求不等式f（x） 0 的解集 如果函数y=f（ x）恰有两个不同的零点，求a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页2013年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题： （本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2013?大连一模）设集合A=2 ，lnx ，B=x ，y ，若 A B=0 ，则 y 的值为（）A0B1CeD考点 ： 交集及其运算专题 ： 计算题分析：根据给出的集合A 与集合 B，且 A B=0 ，说明 A 中的 lnx=0 ，由此求出x=1，则集合 B 中只有 y=0解答：解：由 A=2 ，lnx ，B=x ，y ，若 A B=0 ，说明元素0即在 A 当中，又在B 当中，显然 lnx=0 ，则 x=1，所以 y=0故选 A点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础的会考题型2 （5 分） （2013?大连一模）设复数，则 z 为（）A1B1 CiDi 考点 ： 复数代数形式的乘除运算专题 ： 计算题分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果解答：解：复数=i，故选 D点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题3 （5 分） （2013?大连一模）计算sin47 cos17 cos47 cos73 的结果为（）ABCD考点 ： 两角和与差的正弦函数专题 ： 三角函数的求值分析：利用诱导公式把要求的式子化为sin47 cos17 cos47 sin17 ，再利用两角差的正弦公式化为sin30 ，从而求得结果解答：解： sin47 cos17 cos47 cos73 =sin47 cos17 cos47 sin17=sin（ 47 17 ）=sin30 =，故选 A点评：本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式的应用，特殊角的三角函数的值，属于基础题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页4 （5 分） （2013?大连一模）展开式中的常数项为（）A20 B20 C15 D15 考点 ： 二项式系数的性质专题 ： 概率与统计分析：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出 r 的值，即可求得常数项解答：解：由于展开式的通项公式为Tr+1=?（ 1）r?xr=（ 1）r?令=0，r=2，故展开式中的常数项为=15，故选 D点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题5 （5 分） （2013?大连一模）三位男同学和三位女同学站成一排，要求任何两位男同学都不相邻，则不同的排法总数为（）A720B144 C36 D12考点 ： 排列、组合及简单计数问题专题 ： 概率与统计分析：对于排列中不相邻的问题，我们经常用插空法来处理解答：解：由于要求任何两位男同学都不相邻，故需先排三位女同学，则不同的排法有种，则此三位男同学需从女同学产生的四个空中选三个依此拍好，共有种，故不同的排法共有种故答案为B点评：本题考查排列问题，属于简单题注意相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理6 （5 分） （2013?大连一模）曲线y=sinx ，y=cosx 与直线 x=0，所围成的平面区域的面积为（）ABCD考点 ： 定积分专题 ： 计算题；数形结合分析：本题利用直接法求解，画出图形，根据三角函数的对称性知，曲线y=sinx ，y=cosx 与直线 x=0，所围成的平面区域的面积S 为：曲线 y=sinx ，y=cosx 与直线 x=0，所围成的平面区域的面积的两倍最后结合定积分计算面积即可解答：解：如图，根据对称性，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页曲线 y=sinx ，y=cosx 与直线 x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx ，y=cosx 与直线 x=0，所围成的平面区域的面积的两倍 S=故选 D点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的图象等基础知识，考查考查数形结合思想属于基础题7 （5 分） （2013?大连一模）已知函数的图象（部分）如图所示，则 ，分别为（）ABCD考点 ： 由 y=Asin （ x+ ）的部分图象确定其解析式专题 ： 三角函数的图像与性质分析：由函数的最值求出A，由周期求出 ，由五点法作图求出的值解答：解：由函数的图象可得A=2，根据=，求得 = 再由五点法作图可得+ = ，解得 =，故选 C点评：本题主要考查由函数y=Asin （ x+?）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出 ，由五点法作图求出的值，属于中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页8 （5 分） （2013?大连一模） 已知定义在R 上的偶函数f （x）满足 f （ 1+x） =f（1x） ，且 x 0，1时，则方程在区间 3，3上的根的个数为（）A5B4C3D2考点 ： 根的存在性及根的个数判断专题 ： 函数的性质及应用分析：由题意可得函数f（x）的图象关于x=1 对称，函数y=图象可看作y=的图象向下平移 1 个单位得到，原问题等价于f（x）与 y=图象的交点的个数，作出它们的图象可得答案解答：解：由 f（1+x） =f（1 x）可得函数f（ x）的图象关于x=1 对称，方程在区间 3，3根的个数等价于f （x） 与 y=图象的交点的个数，而函数 y=图象可看作y=的图象向下平移1 个单位得到，作出它们的图象如图：可得两函数的图象有5 个交点，故选 A 点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题9 （5 分） （2013?大连一模）已知A， B 两点均在焦点为F 的抛物线y2=2px（p0）上，若，线段AB 的中点到直线的距离为1，则 p 的值为（）A1B1 或 3 C2D2 或 6 考点 ： 抛物线的简单性质专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图，设AB 中点为 M，A、B、M 在准线 l 上的射影分别为C、D、N，连接 AC 、BD 、MN 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ，根据抛物线定义和梯形的中位线定理，列式并化简整理可得|2p|=1，解之得 p=1 或 3解答：解：分别过A、B 作交线 l： x=的垂线，垂足分别为C、D，设 AB 中点 M 在准线上的射影为点N，连接 MN ，设 A（x1，y1） ，B（ x2，y2） ， M（x0，y0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页根据抛物线的定义，得梯形 ACDB 中，中位线MN=（）=2，可得 x0+=2，x线段 AB 的中点 M 到直线的距离为1，可得 |x0|=1 |2p|=1，解之得 p=1 或 3 故选： B 点评：本题给出抛物线的弦AB 中点到直线的距离为 1，并且 F 到 A、B 的距离之和为4 的情况下求抛物线的解析式着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题10 （5 分） （2013?大连一模）如图是用模拟方法估计椭圆面积的程序框图，S 表示估计的结果，则图中空白处应该填入（）ABCD考点 ： 循环结构专题 ： 图表型分析：由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式解答：解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计椭圆面积的程序框图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页M 是椭圆在第一象限内的点的个数，当 i 大于 2000 时，椭圆内的点的个数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率P=，即有 S=，所以空白框内应填入的表达式是S=，故选 D点评：本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计椭圆面积的方法，考查计算能力11 （5 分） （2013?大连一模）定义在R 上的函数f（x）满足 f（ 3）=1，f（ 2）=3，f（x）为 f（x）的导函数，已知 y=f （x）的图象如图所示，且f（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b 满足 f（2a+b） 1，f（ a 2b） 3，则的取值范围是（）ABCD考点 ： 导数的几何意义专题 ： 数形结合分析：根据 y=f （x）图象得到函数的单调性，从而将f（2a+b） 1化成 f（ 2a+b） f（3） ，得到 0 2a+b 3，同理化简 f（ a2b） 3，得到 2 a2b 0然后在 aob 坐标系内作出所对应的平面区域，得到如图所示的阴影部分平面区域，利用直线的斜率公式即可求出的取值范围解答：解：由 y=f （x）图象可知，当x=0 时， f（x）=0，当 x （ ， 0）时， f（x） 0，f（x）单调递减，当 x （0，+）时， f （x） 0，f（x）单调递增，又 a，b 为非负实数， f（2a+b） 1 可化为 f（2a+b） 1=f（3） ，可得 0 2a+b 3，同理可得 2 a2b 0，即 0 a+2b 2，作出所对应的平面区域，得到如图的阴影部分区域，联立，解得，即 A（，） ，同理联立，可得 B（ 2， 1） ，而等于可行域内的点与P（ 1， 2）连线的斜率，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页结合图形可知：kPB是最小值， kPA是最大值，由斜率公式可得kPB=，kPA=10，故的取值范围为 ，10故选： A 点评：本题在给出函数的导数图象基础之上，求满足不等式组的的取值范围着重考查了利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和二元一元不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题12 （5 分） （2013?大连一模）等腰RtACB ，AB=2 ，以直线AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，D 为圆锥底面一点， BDCD， CHAD 于点 H， M 为 AB 中点，则当三棱锥CHAM 的体积最大时， CD 的长为（）ABCD考点 ： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题 ： 计算题；空间位置关系与距离分析：根据题意，结合线面垂直的判定与性质，证出AB平面 CMH ，从而 AM 是三棱锥CHAM 的高，得VCHAM=SCMH AM ，因此当SCMH达到最大值时，三棱锥CHAM 的体积最大设BCD= ，利用Rt ACD 中等积转换和RtABD Rt AHM ，算出 CH、HM 关于 的式子，从而得到SCMH=CH?HM=，最后根据基本不等式得当tan =时， SCMH达到最大值，根据同角三角函数的基本关系算出cos =， 从而得出CD 的长为， 即为当三棱锥CHAM 的体积最大时CD 的长解答：解：根据题意，得 AC平面 BCD ，BD ? 平面 BCD ， AC BD， CDBD ，AC CD=C ， BD平面 ACD ，可得 BD CH， CHAD ，AD BD=D ， CH平面 ABD ，可得 CHAB ， CMAB ，CH CM=C ， AB 平面 CMH ，因此，三棱锥CHAM 的体积 V=SCMH AM=SCMH由此可得，当SCMH达到最大值时，三棱锥C HAM 的体积最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页设 BCD= ，则 RtBCD 中， BC=AB=可得 CD=，BD=Rt ACD 中，根据等积转换得CH=Rt ABD RtAHM ，得，所以 HM=因此， SCMH=CH?HM= 4+2tan24tan ， SCMH=，当且仅当tan =时， SCMH达到最大值，三棱锥CHAM 的体积同时达到最大值 tan =0，可得 sin =cos 0 结合 sin2 +cos2 =1，解出 cos2 =，可得 cos =（舍负）由此可得CD=，即当三棱锥CHAM 的体积最大时，CD 的长为故选： C 点评：本题给出旋转体中，求三棱锥的体积最大值时CD 的长，着重考查了线面垂直的判定与性质、基本不等式求最值、相似三角形中比例线段的计算和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题二 .填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13 （5 分） （2013?大连一模）在ABC 中， sinA：sinB：sinC=2：3： 4，则 cosC 的值为考点 ： 正弦定理；余弦定理专题 ： 计算题分析：由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k， 4k，再由余弦定理求得cosC 的值解答：解：在 ABC 中， sinA：sinB： sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得16k2=4k2+9k212k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页14 （5 分） （2013?大连一模）如图，网格纸是边长为1 的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为16考点 ： 由三视图求面积、体积专题 ： 计算题分析：通过三视图复原几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可解答：解：三视图复原的几何体是四棱锥，底面的边长为2、6 的矩形，四棱锥的顶点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，所以几何体的体积为：=16故答案为： 16点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力，空间想象能力与计算能力15（5 分） （2013?大连一模） 已知双曲线C：（a0， b 0） ， P为 x 轴上一动点， 经过点 P 的直线 y=2x+m（m 0）与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用经过P 的直线 y=2x+m （m 0）与双曲线C 有且只有一个交点? 此直线与渐近线平行即可得出解答：解：由双曲线的方程可知：渐近线方程为经过 P的直线 y=2x+m （m 0）与双曲线C 有且只有一个交点，此直线与渐近线平行，=故答案为点评：正确理解经过P 的直线 y=2x+m （m 0）与双曲线C 有且只有一个交点? 此直线与渐近线平行是解题的关键16 （5 分） （2013?大连一模）设a R，对于 ?x0，函数 f（x）=（ax1）ln（ x+1） 1恒为非负数，则a 的取值所组成的集合为考点 ： 函数恒成立问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页专题 ： 计算题；函数的性质及应用分析：由题意可知， 当 x+1 e 即 x e1 时，ln （x+1）1 0，则 ax1 0 恒成立； 当 x+1e 即 0 x e时，ln（x+1） 10 则 ax1 0 恒成立，利用函数的恒成立与最值求解的相互转化关系可求a 的范围解答：解： x0 时， ln（x+1） ln1=0 当 x+1 e 即 x e1 时， ln（x+1） 1 0，则 ax1 0 恒成立 a当 x+1e 即 0 xe 时， ln（ x+1） 10 则 ax1 0 恒成立 a对于 ?x0，函数 f（x）=（ ax1） ln（x+1） 1 0恒成立 a=故答案为： 点评：本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是求解相应式子的最值三 .解答题：（本大题共5 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分） （ 2013?大连一模）已知各项均为正数的数列an 满足 a1=1，an+1+an?an+1an=0（）求证：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（）求数列前 n 项和 Sn考点 ： 数列递推式；数列的求和专题 ： 等差数列与等比数列分析：（ I）由于各项均为正数的数列an 满足 a1=1， an+1+an?an+1an=0，两边同除以anan+1，即可得到，转化为等差数列，利用通项公式即可得出；（ II）由（）知利用 “ 错位相减法 ” 和等比数列的前n 项和公式即可得出解答：解： （） an+1+an?an+1an=0，数列是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，可得（）由（）知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页由 得点评：熟练掌握等差数列的通项公式、“ 错位相减法 ” 和等比数列的前n 项和公式是解题的关键18 （12 分） （ 2013?大连一模）某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在21，7，22.3（单位： cm）之间的零件，把零件尺寸在21.9，22.1）的记为一等品，尺寸在21.8，21.9） 22.1，22.2）的记为二等品，尺寸在21.7，21.8） 22.2，22.3的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100 件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（）根据上述数据完成下列2 2 列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？甲工艺乙工艺合计一等品非一等品合计P（x2 k 0.05 0.01 k 3.841 6.635 附：（）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30 元、 20元、 15 元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由考点 ： 独立性检验专题 ： 应用题分析：（I）根据条件中所给的数据，写出列联表，注意数字比较多，不要写错位置；根据做出的列联表，把数据代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论（ II）根据题意做出由题知运用甲、乙工艺生产单件产品的利润X 的分布列和数学期望，结合不同的统计量的意义，得出以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件解答：解： （） 2 2 列联表如下甲工艺乙工艺合计一等品50 60 110 非一等品50 40 90 合计100 100 200 ，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关（）由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X 的分布列为X 30 20 15 P 0.5 0.3 0.2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页X 的数学期望为EX=30 0.5+20 0.3+15 0.2=24，X 的方差为DX= （3024）2 0.5+（2024）2 0.3+（15 24）2 0.2=39乙工艺生产单件产品的利润Y 的分布列为Y 30 20 15 P 0.6 0.1 0.3 Y 的数学期望为EY=30 0.6+20 0.1+15 0.3=24.5，Y 的方差为DY= （3024.5）2 0.6+（ 2024.5）2 0.1+（ 1524.5）2 0.3=47.25答案一：由上述结果可以看出EXEY，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺答案二：由上述结果可以看出DX DY ，即甲工艺波动小，虽然EXEY，但相差不大，所以以后选择甲工艺（12 分）点评：本题考查独立性检验，本题解题的关键是看清各个位置的数字，不要在运算时出错，这种题目若出现是一个送分题目19 （12 分） （ 2013?大连一模）如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为，D 是棱A1C1的中点（）求证： BC1平面 AB1D；（）求二面角A1AB1D 的大小考点 ： 直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题专题 ： 计算题；证明题；转化思想分析：（）连接A1B 与 AB1交于 E，则 E 为 A1B 的中点， D 为 A1C1的中点，根据中位线可知BC1DE，又DE? 平面 AB1D，BC1? 平面 AB1D，根据线面平行的判定定理可知BC1平面 AB1D；（）过 D 作 DFA1B1于 F，由正三棱柱的性质可知，DF平面 AB1，连接 EF，DE，在正 A1B1C1中，求出 B1D，在直角三角形AA1D 中，求出 AD ，即可证得AD=B1D，则 DEAB1，由三垂线定理的逆定理可得 EFAB1则 DEF 为二面角A1AB1D 的平面角，根据B1FE B1AA1，即可求出 DEF解答：解： （）连接A1B 与 AB1交于 E，则 E 为 A1B 的中点， D 为 A1C1的中点， DE 为 A1BC1的中位线， BC1 DE又 DE? 平面 AB1D，BC1? 平面 AB1D， BC1平面 AB1D （）过 D 作 DFA1B1于 F，由正三棱柱的性质可知，DF平面 AB1，连接 EF，DE，在正 A1B1C1中，在直角三角形AA1D 中， AD=B1D DEAB1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页由三垂线定理的逆定理可得EFAB1则 DEF 为二面角A1AB1D 的平面角，又得， B1FE B1AA1，故所求二面角A1AB1D 的大小为点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定等有关知识，二面角的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视20 （12 分） （ 2013?大连一模）设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是 x 轴正半轴上一点，以PF1为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线相切，过点P 的直线与椭圆 M 相交于相异两点A、 C（）求椭圆M 的方程；（）若相异两点A、B 关于 x 轴对称，直线BC 交 x 轴与点 Q，求的取值范围考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程专题 ： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设以 |PF1|为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N，则|NF1|=a，由可得 a=2c，由此可得，再由 |PF1|的长可判断F2为圆的圆心，根据圆与直线相切，可解得c 值，从而可求得a，b；（）设点A（x1， y1） ，C（x2，y2） ，易知点B（x1， y1） ，设直线 PA 的方程为y=k （x 3） ，代入椭圆方程消掉y 得 x 的二次方程，由0 得 k2范围，由点斜式写出直线BC 的方程，令y=0，由韦达定理可得Q 点横坐标， 利用向量数量积运算及韦达定理可把表示为 k 的函数，由 k2的范围即可求得的范围；解答：解： （）设以 |PF1|为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N， |NF1|=a， a=2c，|PF1|=2a F2（c，0）是以 |PF1|为直径的圆的圆心，该圆和直线相切，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页，解得，椭圆 M 的方程为：（）设点A（x1， y1） ，C（x2，y2） ，则点 B（ x1， y1） ，设直线 PA 的方程为y=k（ x3） ，联立方程组，消掉 y，化简整理得（4k2+3）x224k2x+36k212=0，由 =（ 24k2）24?（3+4k2） ?（36k212） 0，得则直线 BC 的方程为：，令 y=0，则 Q 点坐标为=，点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查函数思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度较大，对能力要求较高21 （12 分） （ 2013?大连一模）已知m R，函数 f（x）=mx22ex（）当m=2 时，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）有两极值点a，b（a b） ， （）求m 的取值范围； （）求证：ef（a） 2考点 ： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页专题 ： 综合题；导数的综合应用分析：（）当m=2 时求导数f（x）=2（2xex） ，再令 g（ x）=2xex，利用导数可求出g（x）的最大值，由最大值可知g（x）的符号，从而得到f（x）的符号，由此即可求得f（x）的单调区间；（）（i）若 f（x）有两个极值点a，b（ab） ，则 a，b 是方程 f（x）=2mx2ex=0 的两不等实根易知x 0，从而转化为有两不等实根，令，利用导数可求得h（x）的取值范围，从而得到m的范围；（ii）由 f（a）=ma2 2ea及 f（a）=2ma2ea=0，得 f（ a）=ea（a 2） ，令 g（x）=f（x） ，根据 g（ 0）=20， g（1）=2（me） 0 可求得 a 的范围，设 （x）=ex（x 2） （0 x1） ，利用导数易判断 （x）的单调性，根据单调性可得 （1） （a） （0） ，代入值即可得到结论；解答：解： （） m=2 时， f（x）=2x22ex， f（x）=4x2ex=2（2xex） 令 g（ x）=2xex，g（x）=2ex，当 x （ ， ln2）时， g（x） 0，x （ln2，+）时， g（x） 0， g（x） g（ln2）=2ln220， f（x） 0， f（x）的单调减区间是（，+） （）（i）若 f（x）有两个极值点a，b（ab） ，则 a，b 是方程 f（x）=2mx2ex=0 的两不等实根 x=0 显然不是方程的根，有两不等实根令，则，当 x （ ，0）时， h（x） 0，h（x）单调递减，当x （0，1）时， h（ x） 0，h（x）单调递减， x（ 1，+）时， h（x） 0，h（ x）单调递增，要使有两不等实根，应满足m h（1）=e， m 的取值范围是（e，+） （ ii） f（a） =ma22ea，且 f（a）=2ma2ea=0，令 g（ x）=f （x）=2mx2ex，g（x） =2（mex） ， g（0）=2 0，g（x）在区间（ 0，lnm）上单调递增，g（x）在（ lnm，+）上递减， g（1）=2（ me） 0， a （0，1） ，设 （x）=ex（x2） （0 x 1） ，则 （x）=ex（x 1） 0， （x）在（ 0，1）上单调递减， （1） （a） （0） ，即 ef（a） 2点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，根据需要灵活构造函数是解决本题的关键所在，注意总结归纳四、选做题请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22 （10 分） （ 2013?大连一模）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数），曲线 C2的参数方程为（为参数），P是 C2上的点，线段OP 的中点在C1上（）求 C1和 C2的公共弦长；（）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标考点 ： 参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置专题 ： 计算题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页分析：（）先将曲线C1、C2化成一般方程，是两个圆的方程，得到两圆的公共弦所在直线为y=x，其中一个圆的圆（ 2， 0）到该直线距离为，利用直角三角形求出公共弦长（）将曲线C1、C2的直角坐标方程化成极坐标方程，设M（ ， ） ，则 P（2 ， ） ，两点分别代入C1和C2解得极径和极角，从而得出点P的一个极坐标解答：解： （）曲线C1的一般方程为x2+（y2）2=4，曲线 C2的一般方程为（x2）2+y2=4 （2 分）两圆的公共弦所在直线为y=x， （2， 0）到该直线距离为，所以公共弦长为 （5 分）（）曲线C1的极坐标方程为 =4sin ，曲线 C2的极坐标方程为 =4cos （7 分）设 M（ ， ） ，则 P（2 ， ） ，两点分别代入C1和 C2解得，不妨取锐角，所以 （ 10 分）点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，以及两圆位置关系的判断方法，求两圆的公共弦长等，属于基础题23 （2013?大连一模）已知f（x）=|2x1|+ax 5（a 是常数， a R） 当 a=1 时求不等式f（x） 0 的解集 如果函数y=f（ x）恰有两个不同的零点，求a 的取值范围考点 ： 函数零点的判定定理；带绝对值的函数专题 ： 计算题分析： 当 a=1 时， f（x）=，把和的解集取并集，即得所求 由 f（x） =0 得|2x1|=ax+5，作出 y=|2x1|和 y=ax+5 的图象，观察可以知道，当2a2 时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a 的取值范围解答：解： 当 a=1 时， f（ x）=|2x1|+x5=由解得 x 2； 由解得 x 4 f（x） 0 的解为 x|x 2 或 x 4 （5 分） 由 f（x） =0 得|2x1|=ax+5 （7 分）作出 y=|2x 1|和 y=ax+5 的图象， 观察可以知道， 当 2a2 时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数 y=f （x）有两个不同的零点故