2022年高考数学三轮专题分项模拟立体几何质量检测试题理 .pdf

学习必备欢迎下载专题质量检测 (四)立体几何一、选择题1下列命题中正确的是() A在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行B已知 ， 表示两个不同平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“m ”的充要条件C在三棱锥SABC 中， SABC，SBAC ，则点 S在平面 ABC 内的射影是ABC 的垂心Da，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过点P 总可以作一个平面与a，b 之一垂直，与另一条平行解析： A 错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；B 错误， “”是“m ”的必要不充分条件； D 错误，只有当异面直线a，b 垂直时才可以作出满足要求的平面；易知C 正确答案： C 2某几何体的三视图如图所示，则它的体积是() A833B123C2043 D208 3 解析： 由三视图可知此几何体是一个边长为2 的正方体上面放置一个半径为1，高为3的圆锥，其体积VV 正方体 V 圆锥 2313 3833. 答案： A 3已知m，n 为不同的直线， ， 为不同的平面，若mn，n ； mn，n ；m? ， m ， ； m ， ，则其中能使m成立的充分条件有() A3 个B2 个C1 个D0 个解析： mn，n ，不能推得m ，这是因为m 可能在平面内； mn，n ，不能推得 m ，这是因为m 可能在平面内；m? ，m ， ，能推得 m ；m ， ，不能推得m ，这是因为m 可能在平面内答案： C 4已知直线l、m，平面 、 ，且 l ，m? ，则 “”是 “lm ” 的() A充要条件B充分不必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：若 ，由 l ，得 l ，又 m? ，所以 lm；若 lm，不妨设 ，m，满足 l ，但 、不平行，所以选B. 答案： B 5如图所示的三个几何体依次是一个长方体、一个直三棱柱、一个过圆柱上下底面圆心切下的圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的长方形，则它们的体积之比为 () A42 B43C 2 3 D32解析：如图，由题意知，长方体的底面是正方形，三棱柱的底面是等腰直角三角形，这三个几何体的高都相等，所以它们的体积之比等于它们的底面积之比设长方体的底面正方形的边长为 a，则三棱柱的底面是腰长为a 的等腰直角三角形，四分之一圆柱的底面是半径为a的圆的四分之一，所以它们的底面积之比为a2a22 a2442 ，即它们的体积之比为42.答案： A 6在空间内，设l，m，n 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是 () A ， ，l，则 l Bl ，l ， m，则 lm Cl，m，n，lm，则 ln D ， ，则 或 解析： 对于 A，如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，该命题是真命题；对于B，如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，该命题是真命题；对于C，如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，该命题是真命题；对于 D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，D 不正确综上所述，选D. 答案： D 7已知某几何体的体积为4，它的正视图、侧视图均为边长为1 的正方形 (如图所示 )，则该几何体的俯视图可以为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载A BC D 解析：对于A，该几何体为正方体，其体积V14，A 不正确；对于B，该几何体是一个圆柱， 其体积 V122 14， B 正确；对于 C， 该几何体为一个三棱柱，其体积 V12 1 1 112，C 不正确；经验证D 也不正确故选B. 答案： B 8四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为5，底面 ABCD 是边长为2 的正方形， 则 CD 与 PA所成角的余弦值为() A.255B.55C.45D.35解析：如图所示，因为四边形ABCD 为正方形，故CDAB ，则 CD 与 PA 所成的角即为AB 与 PA 所成的角 PAB，在 PAB 内， PBPA5，AB 2，利用余弦定理可知：cosPABPA2AB2 PB22 PA AB5 452 2 555，故选 B. 答案： B 9在三棱锥ABCD 中， AB CD6， ACBD AD BC 5，则该三棱锥的外接球的表面积为 () A210 B45C21 D43解析： 依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则a2b262，b2c252，c2a252得 a2b2c243，即 (2R)2a2b2c243，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4R2 43.答案： D 10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载A.83B.163C 4 3 D2 3解析：根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥DABC ，其中平面ADC 平面ABC ， ADC 为等边三角形取 AC 的中点为 E，连接 DE、 BE，则有 DEAC ，所以 DE平面 ABC ，所以 DEEB. 由图中数据知AEECEB1， DE3， AD AE2DE2 2DCDB ， AB BC2，AC2. 设此三棱锥的外接球的球心为O，则它落在高线DE 上，连接 OA ，则有 AO2AE2 OE21OE2，AODODEOE3OE，所以 AO 23，故球 O 的半径为23，故所求几何体的外接球的表面积S 4232163 ，故选 B. 答案： B 11已知三棱柱ABC A1B1C1 的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为() A23 B33 C43 D53 解析：如图，设三棱柱的外接球的球心为O ，正三棱柱的高为2h，则 O 为此正三棱柱上下底面中心的连线的中点易知AO2，则该三棱柱的外接球的半径AO 2h2，由题意可得 4(2h2)212 ，故 h 1，从而该三棱柱的体积为34 (6)2 23 3. 答案： B 12已知四棱锥SABCD 的底面是中心为O 的正方形，且SO底面 ABCD ，SA 2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为() A1 B.3 C2 D3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载解析： 依题意， 设四棱锥SABCD 的底面正方形ABCD 的边长为2a，高为 h，则有2 2a22h2SA2，即 2a2h212，则有 a2 a2h233a2 a2 h233a4 h2， 即 1233a4 h2，a4 h2 43，当且仅当a2h24，即 ah2 时取等号，此时a2h 取得最大值，该棱锥的体积 V13(2a)2h43a2h 也取得最大值，因此当该四棱锥的体积最大时，它的高为2，选 C. 答案： C 二、填空题13在长方体ABCD A1B1C1D1中， AA1 AD 2AB. 若 E，F 分别为线段A1D1 ， CC1的中点，则直线EF 与平面 ABB1A1所成角的余弦值为_解析： 取 BB1 的中点 M，连接 FM、A1M ，易知 FM平面 ABB1A1 ，EA1平面 ABB1A1 ，所以线段A1M 是线段 EF 在平面 ABB1A1上的射影连接C1E，设 AB1，直线 EF 与平面ABB1A1所 成 的 角 是 ， 则 有EFC1E2FC2 1 121212 3， A1M A1B2 1B1M2 2，因此 cos A1MEF2363，即直线EF 与平面 ABB1A1所成角的余弦值是63. 答案：6314某盛有水的圆柱形容器的底面半径为5 cm( 厚度不计 )，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降_cm. 解析：依题意，设水面下降的高度为h，则 52h243523，解得 h53.故填53. 答案：5315如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 6，则以正方体ABCD A1B1C1D1 的中心为顶点， 以平面 AB1D1 截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_解析： 设 O 为正方体外接球的球心，则 O 也是正方体的中心，O 到平面 AB1D1 的距离是体对角线长的16，即为3；又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为3 3，由勾股定理可知，截面圆的半径为332 6，圆锥底面面积为S1(2 6)224 ；圆锥的母线即为球的半径33，圆锥的侧面积为S226 33182.因此圆锥的全面积为 SS1S2182 24 (182 24).答案： (18224)16已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载解析：由三视图可得，该三棱锥的底面是底边长为2 3，高为 1 的等腰三角形，该三棱锥的高为 2，其直观图如图所示，AC 平面 ABD ，作出三棱锥的外接球，则由正弦定理可得，ABD 的外接圆的直径AEBDsin DAB2 3sin120 4， 则外接球的直径CEAC2AE2 22 422 5，该三棱锥的外接球体积为V 球43CE2343(5)32053.答案：2053三、解答题17如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求该几何体的体积；(2)求证： EM 平面 ABC. 解析： (1)EA平面 ABC ， EAAB，又 ABAC ， AB 平面 ACDE ，从俯视图中可见四棱锥BACDE 的高 AB 为 2，又梯形ACDE 的面积 S12 (42) 26，VB ACDE 13 6 2 4，即该几何体的体积为4. (2)证明：取BC 的中点 G，连接 EM，MG，AG. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载M 为 BD 的中点， MGCD 且 MG 12CD，于是 MG AE，且 MG AE，四边形 AGME 为平行四边形，EM AG， EM 平面 ABC. 18如图甲，在直角梯形ABCD 中， ABC DAB 90 ， CAB 30 ，BC1，AD CD，把 DAC 沿对角线AC 折起后如图乙所示(点 D 记为点 P)，点 P在平面 ABC 上的正投影 E 落在线段AB 上，连接 PB. (1)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小；(2)求二面角PAC B 的余弦值的大小甲乙解析：方法一：(1)在图甲中， ABC DAB 90 ， CAB 30 ，BC 1，图甲AB BCtan30 1333，AC BCsin30 1122，DAC 60 . AD CD， DAC 为等边三角形AD CDAC2. 在图乙中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载图乙点 E 为点 P 在平面 ABC 上的正投影，PE平面 ABC. BC? 平面 ABC ， PEBC. CBA 90 ， BCAB. PE AB E，PE? 平面 PAB， AB? 平面 PAB. BC平面 PAB. CPB 为直线 PC 与平面 PAB 所成的角在 RtCBP 中， BC1，PCDC2，sinCPBBCPC12. 0 CPB90 ， CPB30 . 直线 PC 与平面 PAB 所成的角为30 . (2)取 AC 的中点 F，连接 PF，EF. PAPC， PFAC. PE平面 ABC ，AC ? 平面 ABC ， PEAC. PF PEP，PF? 平面 PEF，PE? 平面 PEF，AC 平面 PEF. EF? 平面 PEF， EFAC. PFE 为二面角P ACB 的平面角在 RtEFA 中， AF12AC1， FAE 30 ，EFAF tan30 33，AEEF2AF2233. 在 RtPFA 中， PFPA2AF222123. 在 RtPEF 中， cosPFEEFPF33313. 二面角 PAC B 的余弦值的大小为13. 方法二：在图甲中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载图甲 ABC DAB 90 ， CAB 30 ，BC 1，AB BCtan30 1333，AC BCsin30 1122，DAC 60 . AD CD， DAC 为等边三角形AD CDAC2. 在图乙中，图乙点 E 为点 P 在平面 ABC 上的射影，PE平面 ABC. BC? 平面 ABC ， PEBC. CBA 90 ， BCAB. PE AB E，PE? 平面 PAB， AB? 平面 PAB，BC平面 PAB.连接 EC，在 RtPEA 和 RtPEC 中， PAPC2，PEPE，RtPEARtPEC.EAEC. ECA EAC 30 ， CEB60 . 在 RtCBE 中， EBBCtan60 1333. AEAB EB2 33. 在 RtPEA 中， PEPA2AE2263. 以点 E 为原点， EB 所在直线为x 轴，与 BC 平行的直线为y 轴， EP所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Exyz，则 E(0,0,0)， A 2 33，0，0 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载B33，0，0 ，C33，1， 0 ，P0，0，263. BC(0,1,0)，EP0，0，2 63，AC(3，1,0)，PC33，1，2 63. (1)cosBC，PCBC PC|BC|PC|12， BC，PC 60 . 直线 PC 与平面 PAB 所成的角为60 . (2)设平面 PAC 的法向量为n (x， y，z)，由n AC0，n PC 0.得3x y0，33x y263z0.令 x1，得 y3，z22. n1，3，22为平面 PAC 的一个法向量EP0，0，2 63为平面 ABC 的一个法向量，cosn，EPn EP|n|EP|13. 二面角 PAC B 的平面角为锐角，二面角 PAC B 的平面角的余弦值为13. 19如图，四棱锥PABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD ，PDDC，E是 PC 的中点(1)证明： PA平面 BDE ；(2)求二面角BDEC 的正切值解析：方法一：(1)证明：连接AC，设 AC 与 BD 交于 O 点，连接EO. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载底面 ABCD 是正方形，O 为 AC 的中点，又E 为 PC 的中点，OEPA， OE? 平面 BDE，PA?平面 BDE，PA平面 BDE. (2)PD底面 ABCD ， PDBC，又 BCCD，BC平面 PCD，又 PDDC，E 为 PC 的中点， DE PC，由 DEBC，DEPC，BC PCC 知 DE平面 PBC，从而 DE BE， BEC 是二面角BDE C 的平面角设正方形 ABCD 的边长为a，则 PDa，EC12PC22a，在 RtBCE 中， tanBEC BCEC2，二面角 BDEC 的正切值为2. 方法二： (1)以 D 为坐标原点，分别以DA ，DC，DP 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 PDDC2，则 A(2,0,0) ，P(0,0,2)， E(0,1,1)，B(2,2,0) PA(2,0， 2)，DE(0,1,1)，DB(2,2,0)设 n1(x，y，z)是平面 BDE 的一个法向量，则由n1 DE0，n1 DB 0，得yz0，2x2y 0，取 y 1，得 n1(1， 1,1)PA n1220， PAn1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载又 PA?平面 BDE ， PA平面 BDE. (2)由(1)知 n1(1， 1,1)是平面 BDE 的一个法向量，又 n2DA(2,0,0)是平面 DEC 的一个法向量设二面角 BDEC 的平面角为 ，由图可知 n1，n2 ，cos cosn1， n2n1 n2|n1| |n2|23 233. cos 33， sin 63. tan 2，故二面角BDE C 的正切值为2. 20如图，长方体ABCD A1B1C1D1 中， AA1 2，AB 1，AD m，E 为 BC 的中点，且 A1ED 90 . (1)求直线 A1E 与直线 CD 所成的角；(2)点 M 满足 BM12MB1，问是否存在实数 ，使得 AN AD，且 MN 平面 A1ED 同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解析：建立空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)，A1(0,0 ，2)， B(1,0,0)， D(0，m,0) ，E 1，m2，0 . (1)A1E 1，m2，2 ， ED 1，m2， 0 ，又 A1ED 90 ，1m240. m2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载EA1(1， 1，2)，CD(1,0,0)，cosEA1，CDEA1 CD|EA1| |CD|12，即直线 A1E 与 CD 所成的角为60 . (2)依题意 M 1， 0，23，AN AD， N(0,2 ，0)，MN 1，2 ，23. 设平面 A1ED 的法向量为n(p，q,1)，则n A1E0，n ED0，即p 1 q 120，q 11 00.得 n22，22，1 . n MN0，即22(1)22 2 1 230，解得 56，故当 56时，使得 AN AD，且 MN 平面 A1ED 同时成立21如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BECF，BC CF，AD 3，EF2，BE3，CF4. (1)求证： EF平面 DCE；(2)当 AB 的长为何值时，二面角AEFC 的大小为60 . 解析： (1)证明：在 BCE 中， BCCF，BC AD3，BE3， EC23. 在 FCE 中， CF2EF2CE2， EFCE. 由已知条件知，DC平面 EFCB， DC EF，又 DC 与 EC 相交于 C，EF平面 DCE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载(2)方法一：过点B 作 BHEF 交 FE 的延长线于H，连接 AH. 由平面 ABCD 平面 BEFC，平面 ABCD 平面 BEFC BC，ABBC，得 AB 平面 BEFC，从而 AH EF. 所以 AHB 为二面角AEFC 的平面角在 RtCEF 中，因为EF2，CF4，EC23，ECF30 ， CEB30 ，得 BEH 60 ，又在 RtBHE 中， BE 3，BH BE sin BEH3 32. 由二面角 AEF C 的平面角 AHB 60 ，在 RtAHB 中，解得ABBH tanAHB 92，所以当 AB 92时，二面角AEFC 的大小为60 . 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB，CF 和 CD 分别作 x 轴， y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz. 设 ABa(a0)，则 C(0,0,0)， A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3， 3,0)， F(0,4,0)，从而 EF(3，1,0)，AE(0,3， a)设平面 AEF 的法向量为n(x，y，z)，由EF n0， AE n0，得3xy0，3yaz0，取 x 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载则 y3，z3 3a，即 n1，3，3 3a，不妨设平面EFCB 的法向量为 BA(0,0，a)，由条件，得|cosn，BA|n BA|n|BA|3 3aa 4a22712，解得 a92. 所以当 AB 92时，二面角AEFC 的大小为60 . 22已知四棱锥PABCD ，底面 ABCD 为矩形，侧棱PA底面 ABCD ，其中 BC2AB 2PA6，M，N 为侧棱 PC 上的两个三等分点，如图所示(1)求证： AN 平面 MBD ；(2)求异面直线AN 与 PD 所成角的余弦值；(3)求二面角MBDC 的余弦值解析： (1)证明：连接AC 交 BD 于 O，连接 OM ，底面 ABCD 为矩形， O 为 AC 中点M， N 为侧棱 PC 的三等分点，CM MN ， OM AN. OM ? 平面 MBD ，AN?平面 MBD ，AN 平面 MBD. (2)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载则 A(0,0,0) ，B(3,0,0) ，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)， M(2,4,1) ，N(1,2,2) ，AN(1,2,2)，PD(0,6， 3)，cosAN，PDAN PD|AN|PD|0 1263 3 52 515，异面直线AN 与 PD 所成角的余弦值为2 515. (3)侧棱 PA底面 ABCD ，平面 BCD 的一个法向量为AP(0,0,3)，设平面 MBD 的一个法向量为m(x，y，z)，BD(3,6,0)，BM(1,4,1)，并且 mBD，mBM，3x6y0，x4yz0，令 y1，得 x2，z 2，平面 MBD 的一个法向量为m(2,1， 2)cosAP， mAP m|AP|m|23，由图可知二面角MBDC 的大小是锐角，二面角MBD C 大小的余弦值为23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页