线性规划与几何概型.doc
-/线性规划与几何概型【线性规划】一、基本概念1.约束条件：关于变量的不等式（或方程）组。2.线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组。3.目标函数：求最值的关于变量的函数解析式。4.线性目标函数：求最值的关于变量的一次解析式。5.线性规划：一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。6.可行解、可行域、最优解满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。二、基本题型类型一、求线性目标函数的最值方法总结：在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：（1）根据约束条件作出可行域；（2）将目标函数变形为将求的最值问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题；（3）画出直线并平行移动，一般地，平移过程中最先或最后经过的点为最优解；（4）求出最优解并代入目标函数，求出目标函数的最值.注意：最优解一般在可行域顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚。例1（1）如果实数满足条件， 那么的最大值为（ ） A B C D（2）设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D练习：1.设满足则( )A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 2设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D类型二、实际应用问题例2（1）某厂生产甲产品每千克需用原料和原料分别为，生产乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料各千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（ ）（A） （B）（C） （D）（2）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）(A) (B) (C) (D)（3）已知点 P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。练习：1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 （ ( )A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 2某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （ ）（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱KS*5U.C#O（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱类型三、非线性目标函数的最值方法总结：（1）对于形如型的目标函数均可化为求可行域内的点与间的距离的平方的最值问题；（2）对于形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题转化为可行域内的点与连线斜率的倍的最值问题；（一）距离型例3已知实数对满足不等式组，求的最大值。例4已知满足不等式组，求的最大值。 练习： 1.已知满足约束条件,则的最小值是（ ）A B C D2.已知点在不等式组所表示的平面区域内，则的值域为 。（二）斜率型：例5若满足约束条件，求的取值范围.练习：满足约束条件，求的范围.（三）约束条件含有参数型1. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D2练习：若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D2【几何概型】一、要点精讲1随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。2随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到01之间的随机数；（2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生01或ab之间的随机数。3几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；4几何概型的概率公式：P（A）=。5几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：P=v的体积/V的体积二典例解析题型1：线长问题例1一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。例2（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息 然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？例3假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 题型2：面积问题例4投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。例5（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？例6(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：（a）一张大馅饼，（b）一张中馅饼，（c）一张小馅饼，（d）没得到馅饼的概率。题型3：体积问题例7（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。例8在线段0，1上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。题型4：随机模拟例9随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
