2022年曲线积分与曲面积分测试题解答 .pdf

1 曲线积分与曲面积分测试题解答1已知曲线弧:L21(01)yxx，计算Lxyds。解：dxdxdyds21dxxx2211dxx211，Lxyds2110 xdx。注：计算曲线积分时，对圆弧宜用参数方程。2设L是曲线21,1xtyt上从点（ 1, 1）到点（ 2, 2）的一段弧，计算2(2)LIydxx dy解：1022)1()1(2dttttI=3)22(10dtt。3计算Ldxydyx33，L为圆周222xyx沿逆时针方向。解：设xyxD2:22，由格林公式得Ldxydyx33Ddxdyyx)33(22cos203223drrd224cos12d204cos24d292214324。4计算(sin2 )(cos2)xxLeyy dxeydy，其中L为上半圆周22yaxx沿逆时针方向。解：记1L为0y上从ax2到0 x的有向线段，220:xaxyD，由格林公式得1)2c o s()2s i n(LLxxdyyedxyyeDdy22a，又10)2cos()2sin(Lxxdyyedxyye，所以(sin2 )(cos2)xxLeyy dxeydy2a。5证明曲线积分(1,1)22(0,0)()(2sin)xy dxxy dy与路径无关，并计算积分值。解：yxP2，1yP，yxQ2sin2，1xQ，yPxQ，故曲线积分(1,1)22(0,0)()(2sin)xy dxxy dy与路径无关，(1,1)22(0,0)()(2sin)xy dxxy dy102102)sin21(dyydxxdyy102cos3111sin 232。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 6利用线积分计算星形线33cos,sinxat yat所围成图形的面积。解：LydxxdyA21202323)sin(cos3sincossin3cos21dtttatattata20222sincos23tdtta202)4cos1(163dtta238a。7计算曲线积分LyxydxxdyI224，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周 （1R） ，取逆时针方向。解：取14:221yxL，沿逆时针方向。记D为L与1L所为环域，224yxyP，22222)4(4yxxyyP，224yxxQ，22222)4(4yxxyxQ，由格林公式得0)(4122DLLdxdyyPxQyxydxxdy，1224LyxydxxdyI1Lydxxdy。8设函数( , )Q x y在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2( ,)LxydxQ x y dy与路径无关，且对任意t恒有( ,1)(1, )(0,0)(0,0)2( , )2( , )ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy求( ,)Q x y。解：由曲线积分2( , )LxydxQ x y dy与路径无关，知xxQ2，)(),(2yCxyxQ，)1 ,()0, 0(),(2tdyyxQxydx102)(dyyCt102)(dyyCt，), 1()0, 0(),(2tdyyxQxydxtdyyC0)(1 tdyyCt0)(，由题设知102)(dyyCttdyyCt0)(，两边对t求导得)(12tCt，12)(ttC，从而12)(yyC，所以2( ,)21Q x yxy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 9 在 变 力kxyjzxiyzF的 作 用 下 ， 质 点 由 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面1222222czbyax上第一卦限的点),(，问,取何值时，力F所作的功W最大？并求出W的最大值。解：原点到点M),(的直线段OM为：tztytx,，t从 0 到 1，功W为OMxydzzxdyyzdxW1023dtt，下面求W在条件1222222cba)0,0,0(（1）下的最大值。作拉格朗日辅助函数)1(),(222222cbaL，建立方程组)1 (0020202222式即LcLbLaL解此方程组，得3,3,3cba，由问题的实际意义知，abcW93max。10计算3Iz dS，其中为上半球面221zxy。解：在xOy面上的投影区域为1:22yxD，dxdyyzxzdS221dxdyyx2211，DdxdyyxI)1 (2210220)1 (r d rrd2。11计算2Ixdydzydzdxzdxdy，其中为曲面221zxy在第一卦限的部分取上侧。注：由dSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos(，可得公式dxdyRyzQxzPRdxdyQdzdxPdydz)(。解：在xOy面上的投影区域为10,10:2xxyD，由公式dxdyRyzQxzPRdxdyQdzdxPdydz)(得dxdyzyxI)222(2222Ddxdy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 12计算曲面积分dxdyzdzdxydydzxI) 1(322233, 其中是曲面)0(122zyxz的上侧。解：取1为xOy平面上圆122yx的下侧，记为由与1围成的空间闭区域1)1(322233dxdyzdzdxydydzxI1) 1(322233dxdyzdzdxydydzx由高斯公式知1)1(322233dxdyzdzdxydydzxId x d y d zzyx)(6222101020)(6rr d zrzdrd102322)1()1(2112drrrrr2，而1)1(322233dxdyzdzdxydydzx3)3(122yxdxdy因此32I。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -