初中数学九年级秋季学生版 九年级秋季班-第8讲：二次函数综合应用.pdf

1 / 28 二次函数的综合应用主要包括以下几个方面： （1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化； （2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等； （3）拟二次函数图像问题，包括拱桥问题，物体的运动轨迹问题等，可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题； （4）二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程和不等式等的代数综合； （5）二次函数与相似三角形、二次函数与动点、二次函数与圆等的几何综合 二次函数综合应用主要考察学生灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力，难点在于不同知识点的融会贯通，是最近中考压轴题主要的考察题型之一 二次函数综合应用 内容分析内容分析 知识结构知识结构 2 / 28 1、 利润利润问题问题 求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值 这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围 【例1】 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价若设平均每次降价的百分率为 x，降价后的价格为 y 元，原价为 a 元，则 y 与 x 之间的函数关系为（ ） A21ya x B21yax C21yax D21yax 【例2】 某化工材料经销公司购进一种化工原料 7 吨，价格为每千克 30 元物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于每千克 30 元经市场调查发现： 单价为 70 元时， 日均销售 60 千克； 单价每降低 1 元， 日均多售出 2 千克 在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元设销售单价为 x 元，日均获利为 y元 （1）求 y 与 x 的函数关系式，写出 x 的取值范围 （2）若商店期望日均获利不少于 1800 元，则单价应定为多少？ （3）在满足商店期望获利条件下，若要尽早销售完毕，则应如何定价？ 模块一：利润问题 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 3 / 28 A B C D O 90 x y 130 42 60 120 【例3】 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等如图，折线 ABD、线段 CD 分别表示该产品每千克的生产成本1y（单位：元）、销售价2y（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系 （1）解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段 AB 所表示的1y与 x 之间的函数解析式； （3）当该产品的产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【例4】 为了改善城市环境， 某市规划在市中心修建一个市民休闲广场 设计如图所示，中间为一个矩形，分别以矩形的四条边为直径向外作半圆，要求整个广场的外围周长为 628 米准备在中间的矩形区域内种植花木和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为 428 元；在四个半圆区域内种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为 400 元（取 3.14） （1）试写出矩形相邻两边长 x（米）、y（米）满足的函数关系式； （2）设该项工程总造价为 W 元，求 W 与矩形一边长 x（米）的函数关系式； （3）市政府预算投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由； （4）根据题意，显然中间的矩形区域面积越小，总造价越低考虑到整体美观，要求矩形尽量接近黄金矩形（宽与长之比为510.6182）结果通过企业募捐，又增加了部分资金，工程结束后核算，总造价为 1064.82 万元问建成后矩形区域的长和宽各是多少？ 4 / 28 O t Q 150 100 50 150 250 【例5】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价 P（元/100 kg）与上市时间 t（2 月 1 日开始的天数）有函数关系：30002002300 200300ttPtt ，西红柿的种植成本 Q（元/100 kg）与上市时间 t 也存在如图所示的二次函数关系式设市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 【例6】 四川汶川大地震发生后，某工厂 A 车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求不超过 12 天完成已知每顶帐篷的成本价为 800 元，该车间平时每天能生产车间 20 顶 为了加快进度， 车间组织工人加班， 挖掘潜力， 生产效率得到了提高 这样，第一天生产了 22 顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多 2 顶由于机器损耗能原因，当每天生产的帐篷数达到 30 顶后，每增加一顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加 20 元设第 x 天生产的帐篷为 y 顶 （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2） 若这批帐篷的订购价格为没顶 1200 元， 该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区设该车间每天的利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？ 5 / 28 【例7】 某产品每件成本 50 元，出售价 70 元，2014 年销售量 5 万件为了进一步拓展销路，厂家投入一定资金做广告2015 年和 2016 年分别支出广告费用 10 万元和 20 万元，年销售量分别是做广告前的 1.5 倍和 1.8 倍设做广告后年销售量与原销售量的比值 y 是关于广告费 x（万元）的二次函数 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）设年销售总额减去成本和广告费后所得的利润为 S 万元，求 S 与 x 的函数关系式； （3）你认为厂家是否应该继续投入大量广告费，以求年利润随广告费投入的增加而无限增加？ 6 / 28 门 门 门 A B C O x y 1、 面积问题面积问题 求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围 而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多 【例8】 二次函数23yx的图像如图所示，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B、C 在二次函数的图像上，四边形 OBAC 为菱形，且120OBA，则菱形 OBAC 的面积为_ 【例9】 一边靠长为 15 米的围墙， 其他三边用总长 40 米的篱笆围成一个矩形花圃， 如何围法，可使花圃的面积最大？ 【例10】 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙壁（墙壁足够长） ，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27 m，则能建成的饲养室的面积最大为_m2 模块二：面积问题 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 7 / 28 A B C D E F G H P x y 【例11】 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 80 米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设 BC 的长度是 x 米，矩形区域 ABCD 的面积为 y 平方米 （1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 【例12】 如图，某市在城建规划中，准备在市中心一块长方形空地 ABCD 上建一块长方形绿化区域因为空地一角有一个文物保护设施，所以规划时不能超越线段EF，进入AEF内已知长方形的长 AB = 200 米，宽 AD = 160 米，AE = 60 米，AF = 40 米如何规划能使这个绿化区的面积最大？ A B C D E F G H 岸堤 8 / 28 【例13】 如图 1，为美化校园，某校计划在一块长为 60 米，宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 a 米 （1）用含 a 的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价1y（元） 、2y（元）与修建面积x （平方米） 之间的函数关系如图 2 所示， 如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米，那么当通道的宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 通道 1200 48000 62000 800 x y 图 1 图 2 9 / 28 A B C D E F O N M x y 1、 拟二次函数拟二次函数图像图像问题问题 拟二次函数函数图像问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关问题主要包括拱桥问题、运行轨迹问题等 【例14】 一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度 h（m）与足球被踢出后经过的时间 t（s）之间具有函数关系：219.6hatt，已知足球被踢出后经过 4 s 落地，则足球距地面的最大高度是_m 【例15】 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度 AB = 20 米，顶点 M 距水面 6 米（即 MO = 6 米） ，小孔顶点 N 距水面 4.5 米（即 NC = 4.5 米） 当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大孔的水面宽度 EF 模块三：拟二次函数图像问题 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 10 / 28 x y A B C O x y O 3 米 3 米 4米 4 米 【例16】 学校的围墙上端由一排相同的凹拱形栅栏组成， 如图所示， 已知拱形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，每隔相同的间距 0.3 米用 1 根立柱加固，拱高 OC为 0.6 米 （1） 建立如图所示的平面直角坐标系， 则抛物线的解析式为_； （2）一段这样的栅栏所需立柱的总长度（精确到 0.1 米）为_ 【例17】 某校初三年级的一场篮球比赛中， 队员甲正在投篮， 若球出手时离地面209米，与篮圈中心的水平距离为 7 米设篮球运行的路线为抛物线，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，已知篮圈离地面 3 米 （1）建立如图所示的平面直角坐标系，试问此球能否准确投中？ （2）若对方队员乙再甲前面 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1米，那么他能否拦截成功？ 11 / 28 O x y 3 1 10 池边 跳台支柱 【例18】 跳水运动员在空中运动时，身体的重心所经过的路线是一条抛物线在某项10 米跳台的一个规定动作中，正常情况下运动员在跳台边缘向上跃起，重心上升 1 米到达最高点，这时跃出水平距离 0.4 米，然后下落在距离水面 5 米处完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势 （1）建立如图所示的坐标系，求出抛物线解析式（图中数值的单位是米） （2）运动员入水时距池边多少米（精确到 0.1 米）？ （3）运动员在空中调整好入水姿势时，与水池边的水平距离是多少米（精确到 0.1 米）？ 12 / 28 A 【例19】 如图，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点 A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的路线固定不变，且落在中线上在乒乓球运行时，设乒乓球与端点 A 的水平距离为 x（m） ，与桌面的高度为 y（m） ，运行时间为 t（s） ，经过多次测试后，得到如下部分数据： t / s 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 x / m 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 y / m 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 （1）当 t 为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点 A 的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与 x 满足23ya xk 1用含 a 的代数式表示 k； 2球网高度为 0.14 m，球桌长（1.42）m若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点 A，求 a 的值 13 / 28 x y x y x y x y 1、 代数综合代数综合 二次函数与代数的综合涉及到二次函数与一次函数、反比例函数在同一直角坐标系中的图像性质问题、交点问题等难点是函数思想与方程思想、不等式思想的相互转化和结合 【例20】 一次函数yaxb与二次函数2yaxbx在同一坐标系中的图像可能是（ ） A B C D 【例21】 利用函数图像，求解不等式2440 xx 模块四：代数综合 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 14 / 28 【例22】 已知关于 x 的方程231230mxmxm （1）当 m 取何整数值时，关于 x 的方程231230mxmxm的根都是整数？ （2）若抛物线23123ymxmxm向左平移一个单位后，过反比例函数kyx（0k ）上的一点（1，3） 1求抛物线23123ymxmxm的解析式； 2利用函数图像求不等式0kkxx的解 【例23】 已知一次函数2yx与二次函数2yxkxk （1）若两个函数图像交点的横坐标的平方和等于 9，求二次函数解析式； （2） 若二次函数图像与x轴的两个交点位于一次函数图像与x轴交点的两侧，求 k 的取值范围； （3）k 能否取值，使得 y 轴右侧抛物线总在直线的下方？若能够，求出 k 的取值范围；若不能，试说明理由 15 / 28 【例24】 已知抛物线2yxpxq上有一点 M（0 x，0y）位于 x 轴下方 （1）求证：此抛物线与 x 轴有两个交点； （2） 设此抛物线与 x 轴交点为 A （1x， 0） ， B （2x， 0） ， 且， 求证：102xxx； （3）当 M 的坐标为（1，2）时，求整数1x，2x 【例25】 已知关于 x 的一元二次方程21210mxmx （m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2） 在 （1） 的条件下， 求证： 无论 m 取何值， 抛物线2121ymxmx总过 x 轴上的一个固定点； （3）若 m 是整数，且关于 x 的一元二次方程21210mxmx 有两个不相等的整数根，把抛物线21210mxmx 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式 16 / 28 A B C O x y x y A B C D O 1、 几何几何综合综合 二次函数与几何的综合，主要是将几何图形与二次函数的图像相结合，求解面积问题、 角相等问题、 相似问题等 难点是数形结合的思想， 这也是中考要求的重点和难点 【例26】 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线222yxx上运动，过点 A 作ACx轴于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连接 BD，则对角线 BD 长的最小值为_ 【例27】 如图所示， 抛物线2122yxbx 交 x 轴于 A、 B 两点 （点 B 在点 A 的左侧） ，交 y 轴于点 C，其对称轴为32x ，O 为坐标原点 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求证：ACB是直角 模块五：几何综合 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 17 / 28 x y O P N M A B A B C O P l M Q x y 【例28】 如图，一条直线过点（0，4） ，且与抛物线214yx交于 A、B 两点，其中点 A的横坐标是2 （1）求这条直线的函数解析式及点 B 的坐标； （2）在 x 轴上是否存在点 C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过线段 AB 上一点 P，作 PM / x 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限，点 N 的坐标为（0，1） ，当点 M 的横坐标为何值时，MN + 3MP 的长度最大？最大值是多少？ 【例29】 已知抛物线2221yxmxmm（m是常数） 的顶点为P， 直线 l：1yx （1）求证：点 P 在直线 l 上； （2）当3m 时，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，与直线 l 的另一个交点为 Q，M 是 x 轴下方抛物线上的一点，ACMPAQ（如图） ，求点 M 的坐标； （3） 若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 m 的值 18 / 28 x y x y O P Q O P Q A B A B T 【例30】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线2yx的对称轴绕着点 P（0，2）顺时针旋转 45后与该抛物线交于 A、B 两点，Q 是抛物线上一点 （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）如图 1，若点 Q 在直线 AB 的下方，求点 Q 到直线 AB 的距离的最大值； （3）如图 2，若点 Q 在 y 轴左侧，且点 T（0，t） （t 0， x 0） 图像上的两点， BC / x 轴，交y轴与点C， 动点P从坐标原点O出发， 沿OABC匀速运动， 终点为C 过P 作PMx轴，PNy轴，垂足分别为 M、N设矩形 OMPN 的面积为 S，点P 运动时间为 t，则 S 与 t 的函数图像大致为（ ） A B C D 课后作业课后作业 25 / 28 x y A B C D O E O A B M x y 【作业4】 如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y = x + 1 相交于 A、B 两点，且点A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM、BM （1）求抛物线的函数解析式； （2）判断ABM的形状，并说明理由 【作业5】 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 米，宽是 4米按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用216yxbxc 表示，且抛物线上的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 米，到地面 OA 的距离为172米 （1）求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； （2）一辆货车载一长方体集装箱后高为 6 米，宽为 4 米，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线形拱璧需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8 米，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 26 / 28 x y O A B C D 【作业6】 某商场在销售旺季临近时， 某品牌的童装销售价格呈上升趋势， 假如这种童装开始时售价为每件 20 元，并且每周涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30元的稳定价格销售，直到 11 周结束，该童装不再销售 （1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系式； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价 z（元）与周次 x 之间的关系为218128zx ，111x，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得的利润最大？最大利润为多少？ 【作业7】 如图，正比例函数和反比例函数的图像都经过点 A（3，3） ，把直线 OA向下平移后，与反比例函数的图像交于点 B（6，m） ，与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点 （1）求 m 的值； （2）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否另外存在点 E，使四边形 OECD 与四边形 OACD 的面积相等？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 27 / 28 x A B C O y 【作业8】 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2yxbxc与 x 轴交于 A、B两点，C 为抛物线上一点，且直线 AC 的解析式为2ymxm（0m ），45CAB，tan2COB （1）求 A、C 的坐标； （2）求直线 AC 和抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点 D，使得四边形 ABCD 为梯形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由 【作业9】 已知关于x的二次函数22422yxkxk的顶点在y轴的正半轴上 （1）求此抛物线的解析式； （2）设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 D，再过点 D 作 DC 垂直于 x 轴于点 C，可得到矩形 ABCD（B、C 两点在 x 轴上） 设矩形 ABCD 的周长为 l，点 A 的横坐标为 m，试求 l 关于 m 的函数关系式，并写出 m 的取值范围； （3） 当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时， 矩形 ABCD 能否成为正方形， 若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由 28 / 28 x y O P M Q A B C D 【作业10】 如图，已知抛物线213 3ya x（0a ）经过点 A（2，0） ，抛物线的顶点为 D， 过点 O 作射线 OM / AD， 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM于点 C，B 在 x 轴正半轴上，连接 BC （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点P 运动的时间为 t（s） 问当 t 为何值是，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若 OC = OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动， 当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动设它们的运动时间为 k（s） ，连接 PQ，四边形 BCPQ的面积为 S，求 S 关于 k 的函数关系式，并写出定义域