初中数学专题初数专题资料 第14章整式的乘法与因式分解.pdf

1 / 教管教学教研部 第十四第十四章章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 基础知识通关基础知识通关 14.114.1 整式的乘法整式的乘法 1. 同底数幂的乘法：底数不变，指数 . (m,n 都是正数) 2. 幂的乘方：底数不变，指数 . (m,n 都是正数) 3. 积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. nnnaba b（n 为正整数） 4.同底数幂相除：底数不变，指数相减. mnm naaa（a0，m，n 都是正整数，并且 mn） 5. 整式的乘法 （1） 单项式乘法法则： 单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与多项式相乘： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 6. 整式的除法 （1）单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； （2）多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 7. 零次幂：任何 的数的 0 次幂都等于 1，即010aa . 1414. .2 2 乘法公式乘法公式 8. 平方差公式: . 9. 完全平方公式 完全平方和：222()2abaabb ；完全平方差：222()2abaabb. 10. 添括号去括号法则 （1）去括号法则： 如果括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项 ； 如果括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号. （2）添括号法则： 添加小括号，括号前是加号(或正号)，括号里的运算符号不变； 添加小括号，括号前是减号(或负号)，括号里的运算符号 . nmnmaaamnnmaa)().(),()( ,为奇数时当为偶数时当一般地nanaannn22)(bababa 2 / 教管教学教研部 1 14.34.3 因式分解因式分解 11. 因式分解：把一个多项式化成几个 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式. 【注意】 （1）结果一定是乘积的形式； （2）每一个因式都是整式； （3）相同因式的积要写成幂的形式； （4）结果中不能含有 和 ； （5）每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否继续分解； （6）结果中的 因式写在 因式前面； （7）每个多项式因式第一项系数一般不为负； （8）若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止 12. 提公共因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 确定公因式的步骤 （1）系数取多项式各项系数的 （2）字母取各项都含有的字母的 13. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解. 22()()abab ab 2222()aabbab 2222( - )-aabba b 14. 十字相乘法 2()()()xpq xpqxp xq 延伸知识点： 对形如2pxqxr的二次三项式进行因式分解： ac bd 需满足：acp；bdr；adbcq. 因式分解结果为：2pxqxraxbcxd. 口诀：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”. 15. 分组分解法 一般地，分组分解大致分为三步： （1）将原式的项适当分组； （2）对每一组进行因式分解； （3）将经过处理的每一组当作一项，再进行分解. 四项多项式常见的分组方法： （1）两两分组：一般配合的基本方法是提取公因式法和公式法（平方差公式） （2）一三分组：一般配合的基本方法是公式法（完全平方公式和平方差公式） 3 / 教管教学教研部 本讲知识结构图本讲知识结构图 4 / 教管教学教研部 单元检测单元检测 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a5 C（a2）3a6 D2a3bab2a2b 2计算：（12x）7（12x）结果是（ ） A164x6 B132x6 C164x6 D116x6 3如果（2x18）（x+p）的乘积中不含 x项，则 p 等于（ ） A1 B3 C9 D9 4面积为 9a26ab+3a的长方形一边长为 3a，另一边长为（ ） A3a2b+1 B2a3b C2a3b+1 D3a2b 5若（x2）x1，则 x的值是（ ） A0 B1 C3 D0或 3 6若多项式 x2+nx+81是一个整式的平方，则 n的值是（ ） A9 B18 C9 D18 7下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A（x+2y）2x2+4xy+4y2 Bx22y+4（x1）2+3 Cma+mb+mcm（a+b+c） D3x22x1x（3x2）1 8下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（ ） x210 x+25：4a2+4a1；x22x1；m2+m14；4x4x2+14 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9如果一个三角形的三边 a、b、c 满足 ab+bcb2+ac，那么这个三角形一定是（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形 10已知 a2019x+2018，b2019x+2019，c2019x+2020则多项式 a2+b2+c2abbcac 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11计算：（a3）（a2+3a+9） 12计算：（4m32m2）（2m） 13计算：（c）3（c）2m+1 14已知 42a2a+129，且 2a+b8，求 ab 15若 x2+mxn（x+2）（x5），则 mn 16已知 a2+a30，则 2019a34a2 17分解因式：x416 18已知（xy）22x+2y+10，则 xy 19已知 4x2+20 x+m是完全平方式，则 m的值为 5 / 教管教学教研部 20观察下面的解题过程，然后化简： （2+1）（22+1）（24+1） （21）（2+1）（22+1）（24+1） （221）（22+1）（24+1） （241）（24+1） 281 化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1） 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 21若 an2，am3，求下列式子的值： （1）am+n （2）a2mn 22计算： （1）（3.14）0|4|+（23）2 （2）m2（3m3m7m4） （3）化简：（y+2）（y2）（y1）（y+5） 23将下列各式分解因式 （1）x4y48x2y2+16 （2）a2（xy）b2（xy） （3）x2xy6y2 （4）x3+x2yxy2y3 6 / 教管教学教研部 24若已知（a+b）211，（ab）25求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）a2ab+b2 25阅读下列材料： 材料 1、将一个形如 x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 qmn且 pm+n，则可以把 x2+px+q 因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3（x+1）（x+3）（2）x24x12（x6）（x+2） 材料 2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令 x+yA，则原式A2+2A+1（A+1）2 再将“A”还原，得：原式（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料 1，把 x26x+8 分解因式 （2）结合材料 1和材料 2，完成下面小题： 分解因式：（xy）2+4（xy）+3； 分解因式：m（m+2）（m2+2m2）3 7 / 教管教学教研部 四附加题（共四附加题（共 2 小题）小题） 26阅读下面的材料并填空： （112）（1+12）1122，反过来，得 1122=（112）（1+12）=1232 （113）（1+13）1132，反过来，得 1132=（113）（1+13） . （114）（1+14）1142，反过来，得 1142= =3454 利用上面的材料中的方法和结论计算下题： （1122）（1132）（1142）（1120162）（1120172）（1120182） 27阅读材料：对于（x1）（x3）0，这类不等式，我们可以进行下面的解题思路分析：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得（1）x 10 x 30或（2）x 10 x 30从而将未知的一元二次不等式转化为学过的一元一次不等式组，分别解这两个不等式组，即可求得原不等式的解集. 即：解不等式组（1）得 x3，解不等式组（2）得 x1 所以（x1）（x3）0 的解集为 x3或 x1 请根据以上材料回答下面问题： （1）直接写出（x2）（x5）0 的解集； （2）仿照上述材料，求x3x+20的解集 8 / 教管教学教研部 基础基础知识通关答案知识通关答案 1. 相加 2. 相乘 7. 不等于 0 10. 不变号，改变 11. 整式的积，大括号，中括号，单项式，多项式 12. 最大公约数，最低次幂 单元单元检测答案检测答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项错误； B、a2a3a5，故此选项正确； C、（a2）3a6，故此选项错误； D、2a3bab2a2，故此选项错误； 故选：B 【知识点】3，5，6 2【分析】根据整式的除法即可求出答案 【解答】解：原式（12x）71（12x）6=164x6 故选：A 【知识点】3，6 3【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，即可得出 2p180，求出即可 【解答】解：（2x18）（x+p） 2x2+2px18x18p 2x2+（2p18）x18p （2x18）（x+p）的乘积中不含 x 项 2p180 解得：p9 故选：D 【知识点】5 4【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：面积为 9a26ab+3a 的长方形一边长为 3a 另一边长为：（9a26ab+3a）3a3a2b+1 故选：A 【知识点】6 5【分析】根据零指数幂的性质解答即可 【解答】解：（x2）x1 x21 或 x0 解得 x3 或 x0 故选：D 【知识点】7 9 / 教管教学教研部 6【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出 n 的值 【解答】解：多项式 x2+nx+81是一个整式的平方 n18 故选：D 【知识点】9 7【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可 【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是因式分解，故本选项符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 【知识点】11 8【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案 【解答】解：x210 x+25（x5）2，故此选项正确； 4a2+4a1，无法运用公式分解因式； x22x1，无法运用公式分解因式； m2+m14= （m2m+14）（m12）2，故此选项正确； 4x4x2+14，无法运用公式分解因式； 故选：B 【知识点】13 9【分析】把原式变形因式分解得出（bc）（ab）0，得出 bc0或 ab0，即可得出结论 【解答】解：ab+bcb2+ac， ab+bcb2ac0， （bc）（ab）0， bc0 或 ab0， 这个三角形一定是等腰三角形； 故选：B 【知识点】15 10【分析】把已知的式子化成12（ab）2+（ac）2+（bc）2的形式，然后代入求解 【解答】解：a2019x+2018，b2019x+2019，c2019x+2020 ab1，ac2，bc1 则原式=12（2a2+2b2+2c22ab2ac2bc） =12（a22ab+b2）+（a22ac+c2）+（b22bc+c2） =12（ab）2+（ac）2+（bc）2 =121+4+1 3 故选：C 【知识点】15 10 / 教管教学教研部 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加 【解答】解：原式a3+3a2+9a3a29a27a327 故答案为 a327 【知识点】5 12【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：（4m32m2）（2m）2m2+m 故答案为：2m2+m 【知识点】6 13【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案 【解答】解：（c）3（c）2m+1（c）2m+4c2m+4 故答案为：c2m+4 【知识点】1，3 14【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案 【解答】解：42a2a+129，且 2a+b8 222a2a+129 2+a+a+19解得：a3 故 23+b8 解得：b2 ab329 故答案为：9 【知识点】1 15【分析】直接利用多项式乘法计算进而得出 m，n的值进而得出答案 【解答】解：x2+mxn（x+2）（x5） x23x10 m3，n10 mn31013 故答案为：13 【知识点】14 16【分析】根据 a2+a30，可得 a2+a3；然后把 a3+4a2适当变形，代入求出算式的值即可 【解答】解：a2+a30 a2+a3 2019a34a2 2019a（a2+a）3a2 20193a3a2 20193（a2+a） 201933 20199 2010 故答案为：2010 【知识点】11，12，15 11 / 教管教学教研部 17【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：x416 （x2+4）（x24） （x2+4）（x+2）（x2） 故答案为：（x2+4）（x+2）（x2） 【知识点】13 18【分析】运用公式法分解因式即可得到结果 【解答】解：（xy）22x+2y+1 （xy）22（xy）+1 （xy1）2 0 xy10 xy1 故答案为：1 【知识点】12，13，15 19【分析】根据完全平方公式 a22ab+b2（ab）2可得答案， 掌握口诀“首末两项算平方，首末项乘积的 2 倍中间放” 【解答】解：4x2+20 x+25是完全平方式，因此 m25， 故答案为：25 【知识点】9 20【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值 【解答】解：原式=12（31）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1） =12（321）（32+1）（34+1）（38+1） =12（341）（34+1）（38+1） =12（381）（38+1） =12（3161） 故答案为：12（3161） 【知识点】8 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 21【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算； （2）根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算即可 【解答】解：（1）am+naman236 （2）a2mna2man（am）2an=92 【知识点】1，2，4 22【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算； （2）根据同底数幂的除法法则、单项式乘多项式的法则计算； （3）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算， 去括号合并即可得到结果. 12 / 教管教学教研部 【解答】解：（1）（3.14）0|4|+（23）2 14+64 61 （2）m2（3m3m7m4） m2（3m3m3） m22m3 2m5 （3）（y+2）（y2）（y1）（y+5） y24y24y+5 4y+1 【知识点】5，7 23【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）原式利用十字相乘法分解即可； （4）原式一、二项结合，三、四项结合，提取公因式，利用平方差公式分解即可 【解答】解：（1）原式（x2y24）2（xy+2）2（xy2）2 （2）原式（a2b2）（xy）（a+b）（ab）（xy） （3）原式（x3y）（x+2y） （4）原式（x3+x2y）（xy2+y3）x2（x+y）y2（x+y）（x+y）2（xy） 【知识点】12，13，14，15 24【分析】原式各项利用完全平方公式计算即可求出值 【解答】解：（1）已知等式整理得：（a+b）2a2+b2+2ab11 （ab）2a2+b22ab5 +得：2（a2+b2）16，则 a2+b28 （2）得：4ab6，即 ab=32 则原式832=132 【知识点】9 25【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得； （2）根据材料 2 的整体思想可以对（xy）2+4（xy）+3 分解因式； 根据材料 1 和材料 2可以对 m（m+2）（m2+2m2）3分解因式 【解答】解：（1）x26x+8（x2）（x4） （2）令 Axy 则原式A2+4A+3（A+1）（A+3） 所以（xy）2+4（xy）+3（xy+1）（xy+3） 令 Bm2+2m， 则原式B（B2）3 B22B3 （B+1）（B3） 所以原式（m2+2m+1）（m2+2m3） （m+1）2（m1）（m+3） 【知识点】12，13，14 13 / 教管教学教研部 四四、附加题附加题（共（共 2 小题）小题） 26【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案 【解答】解：（112）（1+12）1122，反过来，得 1122=（112）（1+12）=1232 （113）（1+13）1132，反过来，得 1132=（113）（1+13）=2343 （114）（1+14）1142，反过来，得 1142=（114）（1+14）=3454 故答案为：23，43，（114）（1+14） 利用上面的材料中的方法和结论计算下题： （1122）（1132）（1142）（1120162）（1120172）（1120182） =12322354 2017201820192018 =20194036 【知识点】8，13 27【分析】（1）将不等式转换为两个不等式组x 20 x 50或x 20 x 50，分别求解； （2）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求不等式 【解答】解：（1）根据有理数的乘法法则： 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数 因此，原不等式可转化为： x 20 x 50或x 20 x 50 解得：2x5 解得：无解 所以原不等式的解集是：2x5 （2）根据有理数的除法法则： 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数 因此，原不等式可转化为： x 30 x + 20或x 30 x + 20 解得：x3 解得：x2 所以原不等式的解集是：x3或 x2 【知识点】5，6