初中数学专题初数专题资料 第21章一元二次方程.pdf

1 / 教管教学教研部 第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程 基础知识通关基础知识通关 21.121.1 一元二次方程一元二次方程 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 2.一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边 的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 21.221.2 解一元二次方程解一元二次方程 3.直接开平方法： 形如 x2=p 或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 如果方程化成 x2=p 的形式，那么可得 x=； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p0）的形式，那么 nx+m= . 4.配方法： 配方法解一元二次方程的一般步骤： 先将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为 1； 常数项移到右边； 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个 ； 变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q0，方程的根是 x=-pq；如果 q0,方程无实根 5.公式法：一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 时，将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca 就得到方程的根这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 6.因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项，使方程的右边化为零； 将方程的左边分解为两个一次因式的 ； 令每个因式分别为 ，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解 7.一元二次方程根的判别式： 利用一元二次方程根的判别式（=b2-4ac）判断方程的根的情况 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac 有如下关系： 当 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有 根； 2 / 教管教学教研部 当0 时，方程 上面的结论反过来也成立 8.一元二次方程的根与系数的关系 （1）若二次项系数为 1，常用以下关系：x1，x2是方程 x2+px+q0 的两根时，x1+x2p， x1x2q，反过来可得 p（x1+x2） ，qx1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数 （2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2= ba，x1x2=ca，反过来也成立 21.321.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 9.列一元二次方程解应用题一般步骤： 1审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系； 2设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程； 4解：准确求出方程的解； 5验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题； 6答：写出答案 3 / 教管教学教研部 单元检测单元检测 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx+1x 2 C（x1）（x+1）0 D3x2+4xyy20 2若关于 x 的方程（m2）x2+mx30 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm0 3若关于 x 的一元二次方程 x23x+a0 的一个根是 1，则（ ） Aa2 Ba1 Ca2 Da0 4若方程（x4）2a 有实数解，则 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da0 5如果用配方法解方程 x22x10，那么原方程应变形为（ ） A（x1）21 B（x+1）21 C（x+1）22 D（x1）22 6一元二次方程 x2+x10 的根是（ ） A x=1- 5 B-1+ 5x=2 Cx=-1+ 5 D-15x=2 7一个菱形的边长是方程 x28x+150 的一个根，其中一条对角线长为 8，该菱形的面积为（ ） A48 B24 C24 或 40 D48 或 80 8已知关于 x 的一元二次方程 x24x+c0 有两个相等的实数根，则 c（ ） A4 B2 C1 D4 9已知 x1，x2是一元二次方程 2x23x+10 的两个根，下列结论正确的是（ ） Ax1+x23-2 Bx1x21 Cx1，x2都是有理数 Dx1，x2都是无理数 10一个长 30cm，宽 20cm 的长方形纸板，将四个角各剪去一个边长为 xcm 的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为 200cm2的无盖长方体盒子，根据题意可列方程（ ） A（30 x）（20 x）200 B（302x）（202x）200 C30204x2200 D30204x2（30+20）x200 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11把一元二次方程（x1）23 化为一般形式是 12若 m 是方程 2x23x20 的一个根，则 4m26m+2015 的值为 13方程 8（x+1）227 的解为 14如果方程 x2+4x+n0 可以配方成（x+m）23，那么（mn）2018 15一元二次方程 x2+2x60 的根是 4 / 教管教学教研部 16当 x 时 x2+x 的值为 12 17关于 x 的一元二次方程 x2+4x+2k10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 18设，是方程 x2x20190 的两个实数根，则2+的值为 19若 x1，x2分别是一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根，则1211+xx 的值是 20某商品每件 300 元，经过两次降价后，售价为 243 元，若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件 元 三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题） 21已知关于 x 的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20 的常数项为 0 （1）求 m 的值； （2）求此时一元二次方程的解 22方程（m3）2m -7x+（m2）x+50 （1）m 为何值时，方程是一元二次方程； （2）m 为何值时，方程是一元一次方程 23解下列方程： （1）用配方法解方程：3x22x10； （2）用公式法解方程：（x+3）（2x1）1 24某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆其中一边靠墙，另外三边用长为 40m 的篱笆围成已知墙长为 18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 为 xm （I）用含有 x 的式子表示 AD，并写出 x 的取值范围； （）若苗圃园的面积为 192m2平方米，求 AB 的长度 5 / 教管教学教研部 25请阅读下列材料： 问题：已知方程 x2+x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍 解：设所求方程的根为 y，则 y2x，所以 xy2 把 xy2代入已知方程，得（y2）2+y210 化简，得 y2+2y40， 故所求方程为 y2+2y40 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） （1）已知方程 x2+x20，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程 2x27x+30，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数 四、附加题（共四、附加题（共 2 2 小题）小题） 26阅读下列材料并解答后面的问题： 利用完全平方公式（ab）2a22ab+b2，通过配方可对 a2+b2进行适当的变形，如 a2+b2（a+b）22ab 或 a2+b2（ab）2+2ab，从而使某些问题得到解决 例：已知 a+b5，ab3，求 a2+b2的值 解：a2+b2（a+b）22ab522319 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知 ab2，ab3，分别求 a2+b2 ； （2）若，求的值； （3）若 n 满足（n2019）2+（2018n）21，求式子（n2019）（2018n）的值 6 / 教管教学教研部 27材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为a1b2a2b1 如5（4）2（3）14 材料 2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程例如，求解部分一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解 如解方程：x2+3x+20 x2+3x+2（x+1）（x+2） （x+1）（x+2）0故 x+10 或 x+20 因此原方程的解是 x11，x22 根据材料回答以下问题 （1）二阶行列式 ；二阶行列式3 中 x 的值为 （2）求解12 中 x 的值 （3）结合材料，若 m，n，且 mn0，求 x 的取值范围 7 / 教管教学教研部 基础知识通关答案基础知识通关答案 1一个，2，ax2+bx+c=0（a0） 2相等 4. 完全平方式 5. b2-4ac0 6.乘积，零 7. 0，两个相等的实数根，无实数根 单元检测单元检测答案答案 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1【分析】由一元二次方程定义可求解 【解答】解：A、不一定是一元二次方程，当 a0 时，是一元二次方程，故该选项错误； B、是分式方程，故该选项错误； C、是一元二次方程，故该选项正确； D、是二元二次方程，故该选项错误 故选：C 【知识点】1 2【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【解答】解：由题意，得 m20， m2， 故选：A 【知识点】1 3【分析】把 x1 代入方程 x23x+a0 得到关于 a 的方程，然后解关于 a 的方程即可 【解答】解：把 x1 代入方程 x23ax+a0 得 13+a0，解得 a2 故选：A 【知识点】2 4【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于 a 的不等式方程，然后求得 a 的取值范围 【解答】解：方程（x4）2a 有实数解， x4， a0； 故选：B 【知识点】3 5【分析】常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可 【解答】解：x22x1， x22x+11+1， 则（x1）22， 故选：D 【知识点】4优网版权所有 6【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况 8 / 教管教学教研部 【解答】解：124（1）50 方程有两个不相等的两个实数根 即 x 故选：D 【知识点】5优网版权所有 7【分析】利用因式分解法解方程得到 x15，x23，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为 5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为 6，然后计算菱形的面积 【解答】解：（x5）（x3）0，所以 x15，x23， 菱形一条对角线长为 8， 菱形的边长为 5， 菱形的另一条对角线为 26， 菱形的面积6824 故选：B 【知识点】6 8【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 c 的一元一次方程，解方程即可得出结论 【解答】解： 方程 x24x+c0 有两个相等的实数根， （4）241c164c0， 解得：c4 故选：A 【知识点】7菁优网版权 9 【分析】利用根与系数的关系对 A、B 进行判断；根据根的判别式对 C、D 进行判断 【解答】解：x1+x2，x1x2，所以 A、B 选项错误， 因为（3）24211， 所以 x1，x2都是有理数，则 C 选项正确，D 选项错误 故选：C 【知识点】8 10【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（302x）cm，宽为（202x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， （302x）（202x）200， 故选：B 【知识点】9菁优网版权所有 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11【分析】方程利用完全平方公式化简，整理即可得到结果 【解答】解：方程整理得：x2+2x+13，即 x2+2x20， 9 / 教管教学教研部 故答案为：x2+2x20 【知识点】1权所 12【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案 【解答】解：由题意可知：2m23m20， 2m23m2， 原式2（2m23m）+20152019 故答案为：2019 【知识点】2有 13【分析】系数化成 1，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解： 8（x+1）227， （x+1）2， x+1， x11+，x21， 故答案为：x11+，x21 【知识点】3 14【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出 m、n 的值，即可得到结果 【解答】解： 由（x+m）23，得：x2+2mx+m230 2m4，m23n m2，n1 （mn）20181 故答案为：1 【知识点】4菁优网版权所有 15【分析】找出 a，b，c 的值，代入求根公式即可求出解 【解答】解： 这里 a1，b2，c6 8+2432 x 即 x1，x23 故答案为：x1，x23 【知识点】5 16【分析】根据题意列出方程 x2+x12，然后将其转化为一般式方程，利用因式分解法解方程即可 【解答】解：依题意得：x2+x12 整理，得（x+4）（x3）0 所以 x+40 或 x30 10 / 教管教学教研部 解得 x4 或 x3 故答案是：4 或 3 【知识点】6 17【分析】根据根的判别式即可求出 k 的取值范围 【解答】解： 由题意可知：164（2k1）0 解得：k. 故答案为：k， 【知识点】7菁优网版权所有 18【分析】根据根与系数的关系即可求出答案 【解答】解：由题意可知：+1，且2+2019， 2+2019 1+2019 2020 故答案为：2020 【知识点】8 19【分析】利用根与系数的关系可得出 x1+x22，x1x21，将其代入+中即可求出结论 【解答】解： x1，x2分别是一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根 x1+x22，x1x21 +2 故答案为：2 【知识点】8菁优网版权所有 20【分析】设每次降价的百分比为 x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值，再利用第一次降价后的售价原价（1降价的百分比）即可求出结论 【解答】解： 设每次降价的百分比为 x， 依题意，得：300（1x）2243 解得：x10.110%，x21.9（舍去） 第一次降价后的售价为 300（110%）270（元/件） 故答案为：270 【知识点】9版权所有 三解答题（共三解答题（共 7 7 小题）小题） 21【分析】（1）直接利用常数项为 0，进而得出关于 m 的等式进而得出答案； （2）利用（1）中所求得出方程的解 11 / 教管教学教研部 【解答】解： （1）由题意，得：m23m+20 解之，得 m2 或 m1 由 m10，得：m1 由，得：m2； （2）当 m2 时，代入（m1）x2+5x+m23m+20， 得 x2+5x0 x（x+5）0 解得：x10，x25 【知识点】1,6 22【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m272 且 m30，由此可以求得 m 的值； （2）由一元一次方程的定义得到：m30 且 m20 或 m271，由此可以求得 m的值 【解答】解： （1）关于方程（m3）+（m2）x+50 是一元二次方程 m272 且 m30 解得 m3 故 m 为3 时，方程是一元二次方程； （2）关于（m3）+（m2）x+50 是一元一次方程 m30 且 m20 或 m271 或 m270 解得 m3 或 m2或 m 故 m 为 3 或2或时，方程是一元一次方程 【知识点】1 23【分析】 （1）移项，系数化成 1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）整理后求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可 【解答】解： （1）3x22x10 3x22x1 x2x x2x+（）2+（）2 （x）2 x x11，x2； （2）整理得：2x2+5x40 b24ac5242（4）57 12 / 教管教学教研部 x x1，x2 【知识点】4,5 24【分析】 （I）由矩形的周长公式求得 AD 的长度；由 AD 长度意义求得 x 的取值范围； （）根据矩形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再由（1）中 x 的取值范围即可确定 x 的值 【解答】解： （I）AD402x 0402x18 x 的取值范围为：11x20 （）根据题意得：x（402x）192 整理，得 x220 x+960 解得：x18，x212 11x20 当 x8 时，402x40162418 不合题意，舍去 x12，即 AB 的长度为 12 答：若苗圃园的面积为 192 平方米，则 AB 的长度为 12 米 【知识点】9菁 25【分析】 （1）利用题中解法，设所求方程的根为 y，则 yx，所以 xy，然后把 xy 代入已 知方程得（y）2+（y）20； （2）设所求方程的根为 y，则 y，所以 x然后把 x代入已知方程得 2（）27+30再化成整式方程即可 【解答】解： （1）设所求方程的根为 y，则 yx，所以 xy 把 xy 代入已知方程，得（y）2+（y）20 化简得 y2y20 故所求方程为 y2y20; （2）设所求方程的根为 y，则 y，所以 x 把 x代入已知方程，得 2（）27+30 化简得 3y27y+20 即所求方程为 3y27y+20 【知识点】1,2所有 四、附加题（共四、附加题（共 2 2 小题）小题） 13 / 教管教学教研部 26【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值； （2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求； （3）原式利用完全平方公式计算即可求出值 【解答】解： （1）ab2，ab3 原式（ab）2+2ab4+610； 故答案为：10； （2）把 a+6 两边平方得：（a+）2a2+236，则 a2+34； （3）（n2019）2+（2018n）21 1（n2019）+（2018n）2（n2019）2+（2018n）2+2（n2019）（2018n）， 则（n2019）（2018n）0 【知识点】4 27【分析】（1）利用题中新定义化简，计算即可得到结果； （2）利用题中的新定义化简，然后解方程即可得到结果; （3）利用题中的新定义化简，然后解不等式即可求得 【解答】解： （1）326462418 3 x32x3，解得 x 故答案为：18； （2）12 x（x+4）（2x4）12，解得 x14，x22； （3）根据题意得：x2（3x）（8x+6）0 （x6）（x+1）0 解得1x6 所以 x 的取值范围是1x6 【知识点】6 声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布 日期：2019/7/29 1 1:55:15；用 户：135214813 47；邮箱：13 521481347； 学号：2044019 7