2022年随机变量及其分布列 .pdf

随机变量及其分布列一、基本要求、重点与难点（一）基本要求1理解随机变量的概念。2掌握离散型随机变量和连续型随机变理的描述方法。3理解分布列与概率密度的概念及其性质。4理解分布函数的概念及性质。5会应用概率分布计算有关事件的概率。6掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。7会求简单随机变量函数的分布。（二）重点1离散型随机变量的分布列和分布函数的概念及性质。2连续型随机变量的密度函数和分布函数的概念及性质。3掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。4随机变量的一些简单函数的概率分布的求法。（三）难点1离散型随机变量的分布列与分布函数的关系。2连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系。3随机变量函数的分布的计算。二、重点内容简介1 随机变量的概念及分类定义定义在样本空间上的一个实值函数X=X() ，使随机试验的每一个结果 都可用一个实数X() 来表示，且实数X满足1） X是由 唯一确定；2） 对于任意给定的实数x，事件 X x 都是有概率的，则称X为一 随机变量， 一般用大写字母X,Y,Z 等表示。引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示，这样，我们就把对事件的研究转化为对随机变量的研究。随机变量一般可分为离散型和非离散型两大类。非离散型又可分为连续型和混合型。由于在实际工作中我们经常遇到的是离散型和连续型的随机变量，因此一般情况下我们仅讨论这两个类型的随机变量。2 随机变量的分布函数及其性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - 定义设 X 为一随机变量，x 是任意实数 ,称函数F(x)=P(X x) (-x0 是一个常数， n 是任一正整数，设pn=/n，则对任一固定的非负整数k，有!)1(keppCLimkknnknknn（3）泊松（ poisson ）分布若 r.v.X 满足：0,0,1,2,!keP XkkNk其中 0 是常数，则称X 服从参数为 的泊松分布，记为X Po()。(4)超几何分布 : 设N个元素分为两类：有N1个属于第一类有N2个属于第二类（N1+ N2=N ）从中采取不重复抽样方式任取n 个，令 X表示这 n 个元素中第一类元素的个数，则X的分布称为超几何分布其分布律为(5) 若 d.r.v.X 取值正整数，且满足：) 10(,.2,1,)1 (1pkppkXPk则称 r.v.X 服从参数为p 的几何分布，记为XG(p)。 4 连续型随机变量1 定义若对于 r.v.X，存在一定义在R 上的非负函数f(x)，使对a R，满足：dxxfaXPa)()(则称 X 为连续型随机变量，简记：c.r.v.X；其中函数f(x)称为 X 的概率密度函数（probabilitydensity function ,简记为 p.d.f.） ，简称 概率密度 。由定义易知，概率密度具有下列性质：非负性）（)(0)(1xf2( )1()f x dx（ ） 规一性）（babadxxfbXaP)()()(3）。（：，则有概率密度果）如（RaaXPxfXvr,0)()()(.4nNknNkNCCCkXP21,min2.1 .01Nnk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - 处连续，则在）若（xxf)(5：）（*)()(0hhxXxPLimxfh2 几种连续型随机变量的分布（1）均匀分布（ Uniform distribution）定义若连续型随机变量X 具有概率密度：其它0)(,)(1babaxxfab则称 X 在区间a ,b 上服从均匀分布，记作,baUX。（2）指数分布（ Exponential distribution）定义若连续型随机变量X 的概率密度函数为：,0( )0,xexf x其他，其中 0 为常数，则称X 服从参数为 的指数分布，记作X)(Ex。（3） 正态分布（ Normal distribution）定义若连续型随机变量X 的概率密度为：xexfx222)(21)(其中 , 为常数且0，则称 X 服从参数为（ , 2）的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN (, 2)。特别地，若XN(0,12) 即 X 服从参数 =0, =1 的正态分布，则称X 为标准正态分布。称221( )2xxe为标准正态概率密度函数。 5 随机变量的函数的分布设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，如果当X取值 x时，随机变量Y的取值为 y=f(x)，那么我们称 Y是一维随机变量X的函数，记作Y=f(X) 。一、离散型随机变量的函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为：Xx1x2x3. xk.概率p1p2p3. pk.Y=f (X) 为随机变量X的函数， 当r . v. X取的它的某一可能值xk时， r . v.Y=f ( X) 取yk=f ( xk),如果yk的值互不相等，则 P Y=yk=PX=xk (k=1, 2, . . .) , 得r. v. Y =f ( X) 的概率分布为：Y=f （X）y1=f （x1） y2=f （x2） .yk=f （xk） 概率p1p2.pk.若有xixj而f (xi) =f (xj) (i j )，则应把那些相等的值分别合并起来，并根据概率的加法公式把对应的概率相加，就可得Y=f（X）的概率分布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - 一、型随机变量的函数的分布设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) ，y=g(x) 是一连续函数， 则Y=g(X)也是连续型随机变量。求Y的概率密度函数有两中方法。（1） 公式法设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fx(x)，又设y=g(x)处处可导，且严格单调，则Y=g(X)也是以个连续型随机变量，它的概率密度函数为：（2）分布函数法根据随机变量X的概率密度函数fX(x)寻找随机变量Y=g(X)的概率密度函数fY(y)，关键在于把Y=g(X)的分布函数在y的 函数值FY(y)转化为X的分布函数在g-1(y)处的值FXg-1(y)，这就建立了分布函数之间的关系，然后利用分布函数的定义以及分布函数与密度函数的关系，通过对y求导可得到Y的概率密度函数。三、重点与难点解答1引入随机变量是研究随机现象的重要手段。随机变量的引入使得概率论的研究从个别随机事件扩展为随机变量所表征的随机现象的研究。2随机不是自变量，它是定义域是样本空间，也就是说，当一个随机试验的结果确定时，随机变量的值也就确定了。因此，若不和某次试验联系，就不能确定随机变量的值。由此可见随机变量是一个特殊的函数，其自变量是样本点，而样本点不一定是数。3我们所研究的随机变量主要有两大类，即离散型与连续型，但实际上随机变量并非仅此两类，有既非离散型，又非连续型的随机变量，例如某随机变量的分布函数为1,031( ),0211,02xxexF xxex则该随机变量既非离散的，又不是连续的，我们称之为混合型随机变量。4离散型随机变量的统计规律用概率分布（分布律）来描述；而连续型随机变量的统计规律可用密度函数来描述。分布函数也是研究随机变量统计规律的重要工具。要注意连续型随机变量的分布函数是连续的，且取任意一个给定值的事件的概率为0，而离散型随机变量的分布函数总是阶梯函数。5对于连续型随机变量而言，分布函数F(x)是有界的，但密度函数并没有要求有界。6随机变量的函数仍然是随机变量。要掌握由已知的X的分布（ X的分布律或概率密度）去求得 Y=h(X) 的分布（ Y的分布律或概率密度）的一般方法。若X是连续型随机变量，y=h(x) 是连续函数，则Y=h(X) 的概率密度的求法的一般方法如下：（1）写出 X的分布；（2）根据分布函数的定义求出Y的分布函数； ( )|( )|,0,( )( )min(),(),max(),().Yh yh yyfh yg xggggxf（y）=其它其中是的反函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - ( )( )()( ()( )YXh xyFyP YyP h Xyfx dx（3）对分布函数求导，即可得Y的密度函数；( )( )( )( ).YYXh xydfyFyfx dxdy通常，我们称这种方法为分布函数法。7离散型随机变量的函数一般还是离散型随机变量，但连续型随机变量的函数不一定还是连续型随机变量。四、题解分析1一个半径为2 米的圆盘形靶子， 设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶。如果X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数。解：X 表示的是弹与圆心的距离，由题意可知0X2,且对任意实数x，当 0 x2 有F(x)=PX x=2k x由设射击都能中靶，知F(2)=PX 2=221k，得 k= 14所以，随机变量X 的分布函数为20,0( ),0241,2xxF xxx2设 F1(x)和 F2(x)都是分布函数，又0,0ab,且1ab，试证：12( )( )( )F xaF xbFx也是分布函数。证明： （ 1）由120( )1,0( )1F xFx得120( )( )1aF xbFxab，即0( )1F x1212()()()000()()()111FaFbFabFaFbFab（2）对任意实数12,xx，当12xx11122122()(),()(),FxFxFxFx又0,0ab，得11211222()()()()aFxbFxaF xbFx，即又12()()F xF x（3）由连续函数的运算法则知12( )( )( )F xaFxbFx也是右连续的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - 综合以上可知12( )( )( )F xaFxbFx也是分布函数。3设随机变量X 的分布函数为20,0( ),011,1xF xAxxx，求常数A 的值。解：由于 F(x)是分布函数，所以F（x）右连续，从而有(10)(1),FF即：211A，所以 A=1 4设一盒中有5 个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3 个，用 X 表示取出的 3 个纪念章上的最大号码，求随机变量X 的分布律及分布函数。解： X 表示的取出的3 个纪念章上的最号码，X 的取值只能是3，4，5 Px=k=3521CCk（K=3，4，5）X 的分布律 Fx(x)=0,31,34104,45101,5xxxx5设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,kP Xkbk，且0b，求常数。解：由分布律的性质可知=1(1)1lim11nknkbbb所以11b6以下四个函数中，哪个不能作随机变量X 的分布函数（）（A）10,01,013( )4,1221,2xxFxxx(B) 20,0( )ln(1),01xFxxxx（C）230,0( ),0241,2xxF xxx(D) 40,0( )1,0 xxFxex名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - 解：一个函数要是分布函数就必须满足分布函数的三个性质，验证四个选择项得：(B）不满足F（+）=1 F（+）=ln(1)lim1xxx=1lim01xx(B）是被选答案7设某批电子元件的正品率为0.8，次品率为0.2，现对这批元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试工作，求测试次数X 的分布律。解：我们这样来处理这个问题，把它看作电子元件的数量很大，每次测试要么是正品，要么为次品，且看成各次测试是相互独立的，由此可得X=k= “ k 次测试中 ,只有第 k 次是正品，前k-1 次都是次品 ”所以114,1,2,55kP Xkk8甲城长途电话局有一台电话总机，其中有5 个分机专供与乙城通话，设每个分机在1 小时内平均占线20 分钟，并且各分机是否占线相互独立。问甲、乙两城应设几条线路才能使分机与乙城通话时的畅通率不小于0.95? 解：设 X 表示任一时刻甲城需要与乙城通话的分机的台数，则1(5,)3XB再设甲乙两城应设k 条线路才能使每个分机与乙城通话时的畅通率不小于0.95， 也即接不通的概率不大于0.05 55512( )()0.0533jjjjkP XkC5140.00410.053P X,454512130.04530.05333P XC所以甲、乙两城应设3 条线路。9对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，且相互独立，求：（1）射击次数的概率分布；（2）射击次数的分布函数。解：设随机变表示直到击中为止射击的次数，则XG（p）（1）X 的概率分布为1P XkPkk前面次射击未击中，而第可次射击时击中111,2,kppk， （2）X 的分布函数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - 当 x1 时,1 1 1111(1)( )()(1)1(1)11(1)xxjjjjxppF xP Xxppppp1 11(1)1(1)xxpp注：x表示不大于x 的最大整数。当 xm）=111mkmkmq pqpqq（m 任意为正整数）P（Xn+m|Xn ）=(,)()()()()m nmnP Xnm XnP Xnmqqp xmP XnP Xnq（注：XnmXn）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - 所以P(xn+m|Xn)=PXm ）12袋中有12 个乒乓球，其中有2 个旧球（1）有放回地抽取，每次抽1 个，直到取得旧球为止，求抽取次数X1的分布律；（2）无放回地抽取，每次抽1 个，直到取得旧球为止，求抽取次数X2的分布律；（3）有放回地抽取，每次抽1 个，最多取4 次，取得旧球为止，求抽取次数X3的分布律；（4）无放回地抽取，每次抽1 个，最多取4 次，取得旧球为止，求抽取次数X4的分布律；解： （1）由题设知X1G(p) 又21126p, 651PqP（X1=K）=151,1,2,66kk（2）由题设知P（X2=k）=kkPCP1212110K=1，2，,11 （3）由题设知P（X3=1）=134102,1,2,3121210210,4121212kkk（4）P11012431410210412,1,2,34kkPkPXkP CPkP，13设事件A 在每次试验中发生的概率为0.3，当 A 不发生少于3 次时，指示灯发出信号。（1）进行 5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7 次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：设事件B 表示“指示灯发出信号”，即有14甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.今各投 3 次，求（ 1）两人投中次数相等的概率。（2）甲比乙投中次数多的概率。解：设 X,Y 分别表示“甲、乙投中的次数”。 ( 3 , 0 . 6 ) , ( 3 , 0 . 7 )XBY B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - （1）3300()(,)()()iiP XYP Xi YiP Xi P Yi333330(0.6) (0.4)(0.7) (0.3)0.321iiiiiiiCC（2）3311()(,)() ()jijiP XYP Xi YjP Xi P Yj333331(0.6) (0.4)(0.7) (0.3)0.243iiijjjjiCC15利用泊松定理，由于 =np=10000.0001=0.1 11210.10.0047P Xee又一般的当P5 时，就有 B（n，P）P（）故本题可以泊松定理来计算：1 .00001.01000nP)1()0(1)2(XPXPP=0047.0111.011. 01.0ee16名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - 17设随机变量X 的分布函数为( )arctan ,F xABxx试求： （ 1）常数 A 与 B； （2）X 落在(-1,1)内的概率；（3）X 的概率密度函数f (x). 解： （1） F（X）是分布函数 , F（-）=0 F（+）=1 即（()02AB，12AB得 A=21，B=1F（x）=21+1arctanx-x+（2）P(-1X1)=F(1) - F(-1)=（21+1arctan1）-21+1arctan (-1)=21（3）2111( )( )arctan 2(1)f xFxxx（x+）18设随机变量X 的密度函数为| |( ),xf xAex试求： （ 1）常数 A； （2）P(0X1) ； （ 3）X 的分布函数F(x). 解： （1）f (x)是密度函数 , | |( )1xf x dxAedx,即 2A10dxex得 A=21，所以 f（x）=| |1,2xex（2）P（0 x1）=316.0|)(21210110 xxedxe（3）F（x）=dxexx|21当 x0 时，F（x）=21xxedxex21当 x0 时， F（x）=21dxexdxexx0210=1-xe21所以 X 的分布函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - F（x）=xxee2112100 xx19某种电子管的寿命X(以小时计 )具有下列密度函数21000,1000( )0,xf xxx，现有一大批这种电子管（设各种电子管损坏与否相互独立），任取 5 只，问其中至少有2 只寿命大于1500 小时的概率是多少？解：任取一只电子管，其寿命小于1500 小时的概率为150021500100012|3pdxxx设 X 表示 5 只电子管中，寿命大于1500 小时的电子管的只数，则XB(5,13) 所求的概率为541511223221011333243P XP XP XC20设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度为51,0( )50,0 xXexfxx某顾客在窗口等待服务，如超过10 分钟，他就离开。他一个月要到银行5 次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。写出Y 的分布律，并求PY 1 。解：该顾客每次未得到服务而离开的概率为25101105xpP Xedxe所以2( 5 ,)YBe，即 Y 的分布律为2255() (1),0,1,2,3,4,5.kkkP YkCeek故251101(1)0.5167P YP Ye21设随机变量X 在(0，5)服从均匀分布，求方程4t2+4Xt+X+2=0 有实根的概率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - 解：为使 4t2+4X t+X+2=0 有实根，则必须2(4)44(2)16(1)(2)0XXXX即 X-1 或 X2,由于 XU(0,5) 521312)12055PXXP XP Xdx（所以，方程4t2+4X t+X+2=0 有实根的概率为3522设随机变量X 服从参数为 的指数分布，则k= 时，1(2 )4P kXk解：因为 Xe（） ，要 P（kX2 k）=41,即要2214kxkkkedxee即24()410kkee，解得21ke所以k=ln 223使用了t 小时的计算机，在以后t 小时内损坏的概率等于t+o(t)（o(t)表示 t的高阶无穷小 )，其中 为不依赖于t 的常数，假设在不相重叠的时间内，计算机损坏与否相互独立，求计算机在T 小时内损坏的概率。解：设 T 为计算机的寿命，其分布函数为F(t),由题意有(,)()(|)()()()P tTtt TtP tTttP tTtt TtttP TtP Tt即()( )()1( )F ttF tttF t，从而( )11( )dF tdtF t，解这个微分方程得( )1,tF tCe又(0)0F，所以1,( )1tCF te得24设 XN(3,4) (1) 求 P2X 5，P-42 ，PX5; (2) 确定 c，使得 PXc=PXc. 解： （1）532325()()(1)( 0.5)(1)(0.5)10.532822PX10343410()()(3.5)( 3.5)2(3.5)10.999622PX2323| 21|21()()1( 0.5)( 2.5)22PXPX(0.5)(2.5)10.6977535151()1(1)0.15872P XP X名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - (2) PXc=PXc即 1-PX c=PX c ，得 PX c=0.5 ，即3()0.5,2c又(0)0.5，所以 c=3. 25.某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg 计）服从N(110,122 )，在该地区任选一个 18 岁女青年，测她的血压X. (1) 求 PX 105,P100 x 0.05 解： （1）1051105105()()0.33841212P X,类似地1201101001101010100120()()()()12121212PX102()10.595212（2）由题意1101()0.0512xP Xx，即110()0.9512x得1101.6512x，所以，最小的129.8x26某厂生产的某种电子元件的寿命X（小时）服从正态分布N(1600,2)，如果要求元件的寿命在1200 小时以上的概率不小于0.96，求常数 的值。解： PX1200=1-PX1200=1-P160012001600X=1-400400()()要 PX1200 ）0.96，即要400()0.96，得228 27已知随机变量的分布律为X -3 -2 0 1 3 5 概率10115151152154307试求随机变量Y=2X - 1 的分布律解：由于 X 取不同值时， Y=2X-1 的值也不相同，所以Y=2X-1 的分布律为Y=2X-1 -7 -5 -1 1 5 9 概率1011515115215430728已知随机变量的分布律为X -2 -1 0 1 3 概率1516511151130试求随机变量Y=X2的分布律名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - 解： Y 的取值为 0,1,4,9,合并 Y 相同值对应的X 的取值的概率，得Y=X2的分布律为：Y=X2 0 1 4 9 概率1573051113029已知随机变量的分布律为1,1,2,2kP Xkk试求随机变量sin2XY的分布律。解： Y=Sin2X只能取 -1，0，1 这三个数P（Y=-1 ）=1(41)kP Xk=11421kk=181116=152P（Y=0）=1(2 )kP Xk=1221kk=14114=31P（Y=1）=0(41)kP Xk=01221kk=121116=158所以sin2XY的分布律为Y -1 0 1 概率1523115830设随机变量XU0 ，1，试求随机变量Y=Xe的概率密度函数解：因为 XU0 ，1，所以 X 的概率密度函数为1,01( )0,Xxfx其它FY(y)=P(Y y)=P(eXy）当 y1 时， FY(y)=0；当 ye时， FY(y)=1；当 1y0 时，111( )|1YFyPXPXyyy=112112111arctan1yydxxy所以随机变量1|YX的概率密度为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - 22,0(1)( )( )0,0YYyyfyFyy33设随机变量X的概率密度函数为232,0( )0,0 xx exf xx求（ 1）随机变量2YX的概率密度 ;(2) 随机变量lnYX的概率密度。解： （1）Y=X20 所以，当 y0 时，FY(y)=PY y=0 当 y0 时， FY（y）=P（Yy）=P（X2y）=P（yXy）2203300022yyxxydxx edxx edx因此 Y=X2的概率密度函数为,0( )( )0,0yYYyeyfyFyy（2）FY（y）=P（Yy）=P（lnX y）=P（Xey）=230( )2yyeexf x dxx edx因此lnYX的概率密度函数为24( )( )2,yyYYefyFyey34设随机变量X 的概率密度函数为,13( )0,axbxfx其它，且 P(2X3)=2P(1X2) ，试求（ 1）a,b 的值；（2）2(2)YX的概率密度函数。解： （1）由( )1f x dx，即3( )()4211fx dxaxb dxab（1）P（2X3 ）=dxbax)(23=ba25，P（1X2 ）=dxbax)(12=ba23由 P（2X3 ）=2P（1X2 ）得ba25=2（ba23）（2）（1）式（ 2）解得：6131ba（2）2( )(2)YFyP YyPXy当0( )0;YyFy时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - 当 0y1 时，22211( )(2)22()36yYyFyPXyPyXyxdxy；当 y1 时，13221311( )220()01;36yYyFyPyXydxxdxdx所以，2(2)YX的概率密度函数为1,012( )0,Yyyfy其它35设随机变量X 的概率密度函数为22,0( )0,xxfx其它求随机变量sinYX的概率密度。解：随机变量sinYX的分布函数( )YFy( )sinYFyP YyPXy当 y1 时，( )YFy=0；当 0y1 时，( )sin0arcsinarcsinYFyPXyPXyPyXarcsin220arcsin222arcsinyyxxdxdxy所以，随机变量sinYX的概率密度函数为22,01( )( )10,YYyfyFyy其它36在半径为R，中心在原点的圆周上任抛一点，试求：（1）点横坐标的概率密度函数；（2）该点到点（ -R，0）的距离 Z 的概率密度函数（设圆心角在（0，2）服从均匀分布） 。解：设圆周上随机点M（X,Y ）的圆心角为，为（0，2）上的均匀分布其密度为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1,02( )20,tft其它（1）随机点 M 的横坐标为XRcos，设其分布函数为( )XFx，则( )XxFxP XxP RcosxP cosR当 x-R 时，( )XFx=0；当 xR 时，( )XFx=1；|xR当时，有( )arccos2arccosXxxFxPRR2arccosarccos111arccos2xRxRxdtR所以圆周上点横坐标的概率密度函数为：2211,|( )0,XxRfxRx其它（2）由几何知识随机点M(Rcos,Rsin)到（ -R，0）的距离Z=22(1cos )R设其分布函数为( )ZFz，则2( )2(1cos )ZFzP ZzPRz当 z0 时，( )ZFz=0；当 z2R 时，( )ZFz=1；当 0z2R 时，22222( )2(1cos )cos2ZzRFzPRzPR22222222arccos22arccos212zRRzRRdt222121arccos2zRR所以 Z=22(1cos )R的概率密度函数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2221,02( )( )40,ZZzRfzFzRz其它五、综合练习综合练习题 A 1. 一批零件中有九个合格品三个不合格品。安装配件时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止。求在取得合格品以前以取出不合格品数的概率分布。2. 先掷一匀称的骰子，然后抛个数与骰子掷出的点数相同的硬币。（1）求国徽朝上个数的分布列；（2）若得到 3 个国徽朝上，问骰子掷出n 点的概率多大？3. 掷一颗匀称的骰子n 次，设 M 与 m 分别表示所得点子的最大值与最小值，求：P（m=2，M=5 ） 。4. 由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数为 =10.05，=0.06 的正态分布，规定长度在范围 10.050.12 内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。5. 已知 lnXN)2, 1(2，求21(P X )2。6. 点随机地落在中心在原点、半径为R 的圆周上 , 并且对弧长是匀称地分布的, 求落点的横坐标的概率密度。7. 抛掷一枚分币，直到出现“国徽朝上”为止，求抛掷次数的概率分布。8. 从一副扑克牌中发出5 张，求其中黑桃张数的概率分布。9. 甲、乙二人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投2 次，求：（1）二人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。10. 设 X 服从泊松分布，已知P(X=1）=P(X=2 ） ，求 P(X=4） 。11. 设 X 服从泊松分布（参数为） ，问： k 取何值时， P(X=k ）为最大？12. 设随机变量X 的概率密度为,01( )0,Cxxf x其他, 求： （1）常数C； （2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率。13. 设 X)2 .0 ,1 (2N，求：（1）) 8.12.0()2()0(XPXP；。14. 设 XU （22,） ， 证明：XYtan的概率密度函数为12)1()(yyfY，y，称 Y 是服从 Cauchy 分布的随机变量。15. 设随机变量X 的概率密度f (x）为：（1）其他。；）（其他；,021210,)(2,011,11)(2xxxxxfxxxf分别求出 X 的分布函数F (x)，并作出（ 2）中的 f(x)与 F (x)的图形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - 16. 设连续型 r.v.X的分布函数)()(xXPxF， 试证：r.v.)(XFY服从均匀分布U(0,1) 。17. 称 r.v.X 服从威布尔分布(Weibull distribution )，若它的p.d.f 为：)e xp ()(1mmxmxxf0,0,0mx（此分布在可靠性理论中常用）。试求mXY的 p.d.f.。18. 设 r.v.XU (0,1)，令XYln1，其中0为常数，求Y的 p.d.f.。19. 设 r.v.X)1 ,0(2N，求2XY及YZ的 p.d.f.。20. 设一批电子元件某指标XN)1 ,50(2（设批量为） ，按质量要求：当250X为合格品，否则为次品。求将产品中不合格元件全部剔除后，剩下元件指标的p.d.f.。21. 设某电子元件在工作时，其两端电压VN(220,400)。当 V200,240 时，其失效概率为0.05；当 V240 时，其失效概率为0.50，求： (1)此元件的失效概率；(2)当元件失效时，电压超过240 的条件概率。综合练习题 B 1设随机变量X 的分布函数为0,10.4,11( )0.8,131,3xxF xP Xxxx若若若若，则X 的概率分布为。2设随机变量X 服从参数为（ 2,p）的二项分布，随机变量Y 服从参数为（ 3,p）的二项分布,若51,19P XP Y则。3设随机变量X 的分布函数为0,0( )sin ,0212xF xAxxx若若，若, |6PX则. 4. 设随机变量的概率密度为2 ,01( )0,xxf x其他，以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件12X出现的次数，则PY=2= . 5设随机变量的概率密度为f(x),且 f(-x)=f(x),F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数a，有（）（A）0()1( );aFaf x dx（B）01()( );2aFaf x dx（C） F(-a)=F(a); (D) F(-a)=2F(a)-1. 6. 设随机变量X 与 Y 均服从正态分布XN(，42)，YN(，52)；记 p1=PX -4 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - p2=Y +5, 则（）（A）对任何实数 ，都有 p1=p2; （B）对任何实数 ，都有 p1p2; 7.设随机变量X 服从正态分布N( ,2)，则随 的增大，概率P|X- | ( ) (A) 单调增大；(B) 单调减少；(C) 保持不变；(D) 增减不定；8F1(x)与 F2(x)分别为随机变量X1与 X2的分布函数，为使12( )( )( )F xaFxbFx是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）3222(),;(),;55331313(),;(),;2222AabBabCabDab9假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=minX,2 的分布函数（ ）（A）是连续函数；（B）至少有两个间断点；（C）是阶梯函数；（D）恰好有一个间断点。10 设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为1( )fx和2( )fx，分布函数分别为1( )Fx和2( )Fx，则（ ）(A)1( )fx+2( )fx必为某一随机变量的概率密度；(B)1( )F x2(