2022年高一数学平面向量知识点及典型例题解析 .pdf

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一 【要点精讲】1向量的概念向量 ：既有大小又有方向的量。几何表示法ABuuu r，a；坐标表示法),(yxjyi xa。向量的模（长度） ，记作 |ABuuu r|. 即向量的大小，记作a| 。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量 ：长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，规定0r平行于任何向量。 （与 0 的区别）单位向量0a 1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作ab相等向量记为ba。大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx2向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a，b， 在平面内任取一点A，作ABu uu ra，BCuuu rb，则向量AC叫做 a 与 b的和，记作a+b，即a+bABBCACu uu ruuu ruuu r特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbbabaAABBCC)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRARu uu ru uu ruuu ru uu ru uu ruuu rL，但这时必须“首尾相连”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页向量减法：同一个图中画出ab abrr rr、要点 :向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积3两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。二 【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例 1 判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若baba则,(3)单位向量都相等(4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若ba，cb，则ca；(7)若ba /，cb /，则ca /(8) ba的充要条件是|ba且ba /；(9) 若四边形 ABCD是平行四边形 ,则DABCCDB,A练习 . (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中， “AB2DC”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题型二 : 考查加法、减法运算及相关运算律例 2 化简)()(BDACCDAB= 练习 1.下列命题中正确的是AOAOBABuuu ruu u ru uu rB0ABBAuuu ru uu rC00ABr u uu rrDABBCCDADuuu ru uu ru uu ru uu r2.化简ACuu u rBDuu u rCDuu u rABuuu r得AABuuu rBDACBCD0r3如图， D、E、F分别是 ABC的边 AB、BC、CA的中点，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页() A.ADBECF0 B.BDCFDF0 C.ADCECF 0 D.BD BEFC0 题型三 : 结合图型考查向量加、减法例 3 在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCABuu u ru uu ru uu ru uu r，则PBC与ABC的面积之比是 ( ) A13B12C23D34例 4 重心、垂心、外心性质练习 : 1如图，在 ABC中， D、E为边 AB的两个三等分点，CA=3a，CB=2b，求 CD， CE2 已知ababrrrr=求证abrr3 若O为ABC的内心，且满足() (2)0OBOCOBOCOAuuu ruuu ru uu ru uu ruuu r，则ABC的形状为（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4已知 O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足 2ACCB 0，则 OC() A2OAOBB OA2OBC.23OA13OBD13OA23OB5已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA3OB2OC0，则| AB| BC|等于 _6已知平面内有一点P及一个 ABC，若 PAPBPCAB，则 () A点 P 在ABC外部B点 P 在线段 AB上C点 P在线段 BC上D点P 在线段 AC上A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页7在 ABC中，已知 D 是 AB边上一点，若AD2DB，CD13CA CB，则 等于 () A.23B.13C13D23题型四 : 三点共线问题例 4 设21,ee是不共线的向量,已知向量2121212,3,2eeCDeeCBekeAB,若A,B,D 三点共线 ,求 k 的值例 5 已知 A、B、C、P为平面内四点，A、B、C 三点在一条直线上PC=mPA+nPB，求证：m+n=1练习： 1已知：2121212CD,BC),( 3eeeeeeAB，则下列关系一定成立的是（）A、A，B，C三点共线B、A，B，D 三点共线C、C，A，D 三点共线D、B，C，D 三点共线2(原创题 )设 a，b 是两个不共线的向量，若AB 2akb，CB ab，CD2ab，且 A，B，D 三点共线，则实数k 的值等于 _第 2 讲 平面向量的基本定理与坐标表示一 【要点精讲】1平面向量的基本定理如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的_单位向量 _ ir、jr作为基底任作一个向量ar，有且只有一对实数x、y，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页B C A O M D 使得axiyjr 1，把),(yx叫做向量ar的（直角） 坐标，记作( ,)ax yr 2其中x叫做ar在x轴上的坐标，y叫做ar在y轴上的坐标，2 式叫做 向量的坐标表示与ar相等的向量的坐标也为),(yx特别地，(1,0)ir，(0,1)jr，0(0,0)r特别提醒：设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标 因此， 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3平面向量的坐标运算（1） 若11(,)axyr，22(,)bxyr，则abrr=1212(,)xxyy，abrr=1212(,)xxyy（2） 若),(11yxA，),(22yxB，则ABuu u r（3）若( , )ax yr和实数，则ar(,)xy4向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中baab(b0)的充要条件是12210 x yx y二 【典例解析】题型一 . 利用一组基底表示平面内的任一向量例 1 在 OAB 中，OBODOAOC21,41，AD与 BC交于点 M，设OA=ar，OB=br，用ar,br表示OM. 练习 :1若已知1e、2e是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是( ) A1e与2eB 31e与 22eC1e2e与1e2eD1e与 21e2在平行四边形ABCD中， E和 F分别是边CD和 BC的中点，若 AC AE AF，其中 、 R，则 _. 题型二 : 向量加、减、数乘的坐标运算例3 已 知A（ 2,4 ） 、 B（ 3, 1） 、 C（ 3, 4 ） 且CACM3,CBCN2,求点 M、N 的坐标及向量MN的坐标 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页练习 :1. (2008 年高考辽宁卷)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B( 1，2)，C(3,1)，且BC2AD，则顶点D 的坐标为 () A(2，72) B(2，12) C(3,2) D(1,3) 2若 M(3, -2) N(-5, -1) 且12MPuu u rMN, 求 P点的坐标；3若 M(3, -2) N(-5, -1)，点 P在 MN 的延长线上，且12MPMNuuu ruuu u r, 求 P点的坐标；4.(2009 年广东卷文 )已知平面向量a=,1x（），b=2, x x（）， 则向量ab( ) A 平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线5在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8， 4)，点 G(2， 1)在中线 AD 上，且 AG2GD，则点 C的坐标是 () A(4,2) B (4， 2) C(4， 2) D (4,2) 6设向量a(1， 3)，b(2,4)，c(1， 2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 () A(2,6) B(2,6) C(2， 6) D(2， 6) 7已知 A(7,1)、B(1,4)，直线 y12ax 与线段 AB交于 C，且 AC2CB，则实数a 等于 () A2 B1 C.45D.53题型三 : 平行、共线问题例 4 已知向量(1sin,1)a，1(,1sin)2b，若ab，则锐角等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页A30B45C60D75例 5 （2009 北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),abckab kRdab，如果/cd那么( ) A1k且c与d同向B1k且c与d反向C1k且c与d同向D1k且c与d反向练习： 1若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x 2已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及ABtOAOP，求 (1)t 为何值时， P在 x 轴上？ P在 y 轴上？ P在第二象限。(2)四边形 OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能， 请说明理由。3已知向量a(1,2)，b(0,1)，设 u akb，v2a b，若 uv，则实数 k 的值为 () A 1 B12C.12D1 4已知向量a(2,3)，b( 1,2)，若 ma nb 与 a2b 共线，则mn等于 () A12B2 C.12D 2 5已知向量 OA(1， 3)，OB(2，1)，OC (m1，m2)，若点 A、B、C能构成三角形，则实数 m 应满足的条件是() Am 2 Bm12Cm 1 Dm 1 6已知点)6 , 2(),4, 4(),0 ,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页题型四：平面向量综合问题例 6已知 ABC 的角 A、 B、 C所对的边分别是a、 b、 c， 设向量( , )ma bu r，(sin,sin)nBAr，(2,2)pbau r. （ 1）若mu r/nr，求证： ABC 为等腰三角形；（ 2）若mu rpu r，边长 c = 2，角 C = 3，求 ABC 的面积. 练习已知点A(1,2)，B(2,8)以及 AC13AB，DA13BA，求点 C、D 的坐标和 CD的坐标第三讲平面向量的数量积及应用一 【要点精讲】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a 与 a，作OAa，OBb，则 AA （ ）叫a与b的夹角；说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0 180。（2）数量积的概念非零向量ar与br，arbr=ar brcos叫做ar与br的数量积（或内积） 。规定00arr；向量的投影： brcos=|a barrrR， 称为向量br在ar方向上的投影。 投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义：arbr等于ar的长度与br在ar方向上的投影的乘积.C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页注意：只要ab就有ab=0，而不必a=0或b=0 由ab=ac及a 0 却 不 能 推 出b=c 得 |a| |b|cos 1=|a| |c|cos 2及|a| 0，只能得到 |b|cos1=|c|cos2，即b、c在a方向上投影相等，而不能得出b=c(见图 ) (ab)ca(bc)，向量的数量积是不满足结合律的对于向量a、b，有 |ab| |a| |b| ，等号当且仅当ab时成立（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：22|a aaarrrr。乘法公式成立2222ababababrrrrrrrr；2222abaa bbrrrrrr222aa bbrrrr；向量的夹角：cos=cos,aba bab?rrrrrr=222221212121yxyxyyxx。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)ax ybxyrr，则arbr=1212x xy y。（6）垂直：如果ar与br的夹角为900则称ar与br垂直，记作arbr。两个非零向量垂直的充要条件：ababO02121yyxx（7）平面内两点间的距离公式设),(yxa，则222|yxa或22|yxa。221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式) . 二 【典例解析】题型一：数量积的概念例 1判断下列各命题正确与否：（1）00ar； （2）00arr；（3）若0,aa ba crrrr r，则bcrr；（4）若a ba crrr r，则bcrr当且仅当0arr时成立；12bca精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页（5）()()a bcab crrrrrr对任意, ,a b crrr向量都成立；题型二 . 求数量积、求模、求夹角的简单应用例 2 23120oababrrrr已知，与 的夹角为，求2212323a babababr rrrrrrr（）；（ ）；（ ）（） （）；4 abrr（ ）题型三：向量垂直、平行的判定例 3已知向量)3 ,2(a，)6,(xb，且ba/，则x。例 4已知4,3ar，1,2br，,mabrrr2nabrrr，按下列条件求实数的值。（1）mnrr； （2）/mnrr；(3) mnrr。例 5已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）（1）若|c|52，且ac/，求c的坐标；（2）若 |b|=,25且ba2与ba2垂直，求a与b的夹角. 练习 1 若非零向量u r、u r满足u ru ru ru r，证明 :u ru r2 在 ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且 ABC的一个内角为直角，求 k 值3已知向量)1,1(a，),2(nb，若baba|，则n（）A3B1C1D3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页4.12ababaabrrrrrrr已知，且与 垂直，求与 的夹角。5知abc， ，为ABC的三个内角ABC， ，的对边，向量(31)(cossin)AA，mn若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为（）A 63，B2 36，C 36，D 33，题型四：向量的夹角例 6 已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，求ba与ba的夹角练习 1 已知两单位向量ar与br的夹角为0120，若2,3cab dbar rrrrr， 试求cr与dr的夹角。2| a|=1 ，| b|=2 ，c= a+ b，且ca，则向量a与b的夹角为（）A30 B 60 C120D1503设非零向量a、b、c 满足 | a| | b| | c| ，abc，则 a，b () A150B120C60D304已知向量a(1,2)，b( 2， 4)，| c| 5，若 (ab) c52，则 a 与 c 的夹角为 () A30 或 150B60 或 120C 120D1505.过 ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点 D、E若ADxABuuu ruuu r，AEyACuuu ruuu r，0 xy，则11xy的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页（A）4 （B）3 （C） 2 （D）1解析：取 ABC为正三角形易得11xy3选 B4. 设向量a与b的夹角为，)3 , 3(a，)1 ,1(2ab，则cos5在 ABC中， (BC BA) AC| AC|2，则三角形ABC的形状一定是() A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形. 6 已知向量)2,(sina与)cos, 1 (b互相垂直，其中(0,)2（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值题型五：求夹角范围例 7 已知| 2 |0abrr,且关于x的方程2|0 xa xa brr r有实根 ,则ar与br的夹角的取值范围是A.0,6B.,3C.2,33D.,6练习 1设非零向量a=xx 2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围2已知)2,(a，)2,3(b,如果a与b的夹角为锐角 ,则的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页3设两个向量1e、2e，满足2|1e，1|2e，1e、2e的夹角为60，若向量2172eet与向量21ete的夹角为钝角，求实数t的取值范围 . 4如图，在RtABC中，已知 BC=a，若长为2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值. （以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）题型六：向量的模例 8已知向量ar与br的夹角为120o，3,13,aabrrr则br等于（）A5B4C3D1 练习 1 平面向量a 与 b 的夹角为060，a (2,0), | b | 1，则| a 2b | 等于（）A.3B.23C.4 D.12 2已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，（1）求证：)(bac； （2）若1|cbak)(Rk，求k的取值范围 . 3平面向量,a br r中，已知(4,3),| 1abrr，且5a brr，则向量br_. 4已知 |a|=|b|=2 ，a与b的夹角为600，则a+b在a上的投影为。5设向量,a br r满足| | 1,|32 | 3ababrrrr，则|3|abrr。6已知向量,a br r的方向相同，且| 3,|7abrr，则|2|abrr_ _。A C a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页7、已知O， N， P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PA PBPBPCPCPA?，则点 O，N，P依次是ABC的（) A.重心 外心垂心B.重心外心 内心C.外心 重心垂心D.外心重心内心题型七：向量的综合应用例 9已知向量 OA(2,2)，OB(4,1)，在 x 轴上一点P，使 AP BP有最小值，则P点的坐标是_练习 1已知向量a 与向量 b 的夹角为120 ，若向量ca b，且 a c，则| a| b|的值为 () A.12B.233C2 D. 3 2已知圆 O 的半径为a，A， B是其圆周上的两个三等分点，则OA AB () A.32a2B32a2 C.32a2D32a24(原创题 )三角形 ABC中 AP为 BC边上的中线， | AB| 3，AP BC 2，则 | AC| _. 5在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 m(cos3A2，sin3A2)，n (cosA2，sinA2)，且满足 | mn| 3. (1)求角 A的大小；6 在ABC中 ，0ACAB，ABC的 面 积 是415， 若3| AB，5| AC， 则BAC( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页()A6()B32()C43()D657已知O为原点， 点,A B的坐标分别为)0 ,(aA，),0(aB，其中常数0a，点P在线段AB上，且有ABtAP)10(t，则OPOA的最大值为（）()Aa()Ba2()Ca3()D2a8已知向量33(cos,sin)22axxr，(cos,sin)22xxbr。（1）当2,0 x，求,|a b abr rrr；（2）若|2)(bambaxf23对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。9. 若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则)(PDPBAP的取值范围是-2，41 10. 已知,a b是两个互相垂直的单位向量, 且1c a,1c b,|2c,则对任意的正实数t,1|ttcab的最小值是2 2. 各区期末试题10. 在矩形ABCD中，3AB，1BC，E是CD上一点，且1AE ABu uu r uuu r，则AE ACuuu r uuu r的值为（）A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页19.如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P是点P关于AB的对称点，2 (0)ABa a. （）当点P是弧?AB上靠近B的三等分点时，求AP ABuuu r u uu r的值；（）求AP OPuuu r uuu r的最大值和最小值. （6）如图所示，点C在线段BD上，且3BCCD=，则AD =u uu r（）（A）32ACABuuu ruuu r（B）43ACABuuu ruuu r（C）4133ACABu uu ru uu r（D）1233ACABu uu ruuu r(16) 在平面直角坐标系xOy中，已知点(3,3)A，(5,1)B，(2,1)P，点M是直线OP上的一个动点 . （）求PBPA-uuu ru u u r的值；（）若四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标；（）求MA MBuuu r u uu r的最小值 . 3 已知A、B、C三点的坐标分别为30A，、03B，、cossinC，且322，. 若ACBCu uu ru uu r，求角的值； 若1AC BCuuu ruuu r，求22sinsin 21tan的值 . A B P PO DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页2 已知二次函数fx对任意xR，都有11fxfx成立，设向量1sin22sincos21122axbxcxd， 当0 x，时 ， 求 不 等 式fa bfc d的解集 . 2.若点M是ABC所在平面内一点，且满足3143AMABACuuu u ruu u ruu u r，则:ABMABCSS等于（）A.12B. 13C. 14D. 156. 已 知O为 一 平 面 上 的 定 点 ，A，B，C为 此 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 若(2)0BCOBOCOAu uu ruuu ru uu ruu u r， 则ABC的形状是. 8.已知向量3(sin,)2xa，(cos ,1)xb. （1）当ab时，求2cossin 2xx的值；（2）设1x，2x为函数2( )()4fxabb的两个零点，求12xx的最小值(5)如图，用向量e1，e2表示向量a-b 为( ) (A)-2e 2-4e 1(B)-4e 2-2e 1(C)e 2-3e 1(D)-e 2+3e1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页(12)已知OMu uu u r=23 OAuu u r+13 OBuuu r，设AMu uu u v=ABuuu r，那么实数的值是_(16)已知向量 a=(1，3)，b=(-2，0)()求向量 a-b 的坐标以及a-b 与 a 的夹角； ()当 t-1，1时，求 | a-tb| 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页