2022年高三复习中导数及应用易错题型 .pdf

经典易错题会诊命题角度1导数的概念与运算1 （典型例题） 设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则 f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 考场错解 选 A 专家把脉 由f 1(x)=f 0(x)=(sinx) =cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(- sinx)=-cosx,f4(x)=(- cosx) =sinx, ,f2005(x)=f 2004(x)= =f0(x0=sinx前 面 解 答 思 路 是 正 确 的 ， 但 在 归 纳 时 发 生 了 错 误 。 因f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x), 所以 f2005(x)=f1(x)=cosx. 对症下药 选 C 2 （典型例题）已知函数f(x) 在 x=1 处的导数为3，f（x）的解析式可能为（）A f （ x ） =(x-1)3+32(x-1) B f(x)=2x+1 C f()=2(x-1)2 Df(x)-x+3 考场错解 选 B f(x)=2x+1,f (x)=(2x+1) =2x+1|x=1=3. 专家把脉 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为 （ 2x+1） =2x+1. 正确的是（ 2x+1） =2,所以 x=1 时的导数是2，不是 3。 对症下药 选 A f(x)=(x-1)3+3(x-1)f (x)=3(x-1)2+3,当 x=1 时 ,f (1)=3 3.( 典型例题 ) 已知 f(3)=2f (3)=-2 ，则3)(32lim3xxfxx的值为（）A-4 B0 C8 D不存在 考场错解 选 D x 3,x-3 0 3)(32lim3xxfxx不存在。 专家把脉 限不存在是错误的，事实上，求00型的极限要通过将式子变形的可求的。 对诊下药 选 C 3)(32lim3xxfxx=326)3()( 3lim3xxfxfx=323) 3()(32lim3xfxfx.8) 2(32)3( 323) 3()(lim3fxfxfx4 （ 05，全国卷）已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足 f (x)=0 的所有正数x 从小到大排成数列；（2）记 Sn是数列 xnf(xn) 的前项和。求nlimnSSSn21 考场错解 f (x)=e-x(cosx+sinx) +(e-x) (cosx+sinx) =e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx 令 f (x)=0,x=n+2（ n=1， 2， 3， ）从而 xn=n+2。 f(xn)=e-( n +2)(-1)n)()(1nnxfxf=-e2. 数列 f(xn) 是公比为q=-e-的等比数列。 专家把脉 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x ） =e-x 是错误的，由复合函数的求导法则知（ e-x ） =e-x(-x) =-e-x才是正确的。对诊下药（1）证明：f (x)=(e-x) (cos+sinx)+e-x(cosx+sinx) =-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页令 f (x)=0 得-2e-xsinx=0 ， 解出 x=n,(n 为整数，从而 xn=n(n=1,2,3,)， f(xn)=(-1)ne-nexfxfnn)()(1, 所以数列 |f(xn)|是公比 q=-e- 的等比数列，且首项f(x1)=-e- (2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+ +xnf(xn) =nq(1+2q+ +nqn-1) aSn=q(q+2q2+nqn)= q(qqn11-nqn) 从而 Sn=qq1(qqn11-nqn) 2232221)1 ()1 ()1(2)1(qqqqnqqqnSSSnnn|q|=e- 0 时， f(x)=ln(2x), f (x)=c f(x)= xx1)2(21. 5 已知函数f(x)=ln(x-2)-)0(22aaax为常数且(1)求导数 f (x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页答案：f(x)=).2(21xaxx(2)解不等式 :f (x)0答案：令f(x)=).2(021xaxx即.440202022aaxxaxxx的（i）当 a -1 时， x2+2x-a恒成立， x2. (ii) 当 a-1 时，02,02axx的解集为 x|x1111axa或 当 -18 时，11a2, x11a. 综合得，当a8 时， f(x)0 的解集为（ 2，+） . 当 a8 时， f (x)0 的解集为（11a，+） . 命题角度2 导数几何意义的运用1.(典型例题 )曲线 y=x3在点 (1,1)的切线与x 轴、直线x=2 所围成的三角形面积为_. 考场错解 填 2 由曲线 y=x3在点（ 1，1）的切线斜率为1，切线方程为y-1=x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=21 2 2=2。专家把脉 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1 显然是错误的。对症下药 填38。f (x)=3x2当 x=1 时 f (1)=3. 由导数的几何意义知，曲线在点 （1，1）处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1) 得 y=3x-2. 联立223xxy得交点（ 2，4） 。又 y=3x-2 与 x 轴交于（32，0） 。三条直线所围成的面积为S=21 4 （ 2-32）=38。2 （典型例题）设t0,点 P（t,0）是函数f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx3+c 的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用 t 表示 a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x) 在（ -1，3）上单调递减，求t 的取值范围。考场错解 （ 1）函数f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像的一个公共点P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c.又两函数的图像在点P 处有相同的切线，f (t)=g (t) 3t3+a=2bt.由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3. 专家把脉 上面解答中得b=t 理由不充足， 事实上只由、 两式是不可用t 表示 a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t) 是不准确的，准确的结论应是f(t)=0 ，即 t3+at=0，因为 t0, 所以 a=-t2. g(t)=0即 bt2+c=0, 所以 c=ab 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页又因为 f(x) 、g(x) 在（ t,0 ）处有相同的切线，所以 f (t)=g;(t).即 3t2+a=2bt, a=-t2, b=t. 因此 c=ab=-t2t=-t3. 故 a=-t2,b=t,c=-t3(2) 解法 1 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y =3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当 y =(3x+t)(x-t)0时, 函数 y=f(d)-g(x)单调递减。由 y 0, 若 t0, 则 tx0, 则-3txt. 则题意， 函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减， 则（-1 ，3）（-3t,t ）或（-1，3）（t ，-3t）所以 t 3或 -3t3。即 t -9 或 t 3。又当 -9t0 故 f(x) 在(- ,-1 )和(1,+ )上都是增函数。若 x (-1,1),则 f (x)0f(x)在(-,-1 )与(1，+)上是增函数。若 x-1,1 时， f (x)0, 故 f9x) 在-1 ，1 上是减函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页f(-1)=2是极大值。 f(1)=-2是极小值。（2）解：曲线方程为y=f(x)=x3-3x, 点 A（0，16）不在曲线上。设切点M （x0,y0）, 则点 M在曲线上， y0=x30-3x0. 因 f (x0)=3x20-3. 故切线的方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0). 点 A（0，16）在曲线上，有16-（ x20-0 ）=3(x20-1)(0-x0), 化简得 x30=-8，得 x0=-2. 专家会诊设函数 y=f(x),在点 (x0,y0) 处的导数为f (x0) ， 则过此点的切线的斜率为f (x0), 在此点处的切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0). 利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。考场思维训练1 曲线 y=2x-x3在点（ 1，1）处的切线方程为_. 答案： x+y-2=0 解析 : y=2-3x2.y|x=1=2-3=-1, 切线方程为y-1=-(x-1). 即 x+y-2=0. 2 曲线 y=x3在点（ a,a3）(a 0)处的切线与x 轴，直线 x=a 所转成的三角形的面积为61，则a=_. 答案： 1 解析：曲线在（a,a3）处的切线斜率为3a2. 切线方程为y-a3=3a2(x-a). 且它与 x 轴.x=a 的交点为（0 ,32a） 、 （a,a3）,S=.613213aaa4=1,解得 a=1.3 已知函数f(x)=lnx,g(x)=21ax2+bx(a0) (1)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x) 存在单调递减区间，求a 的取值范围。答案：b=2 时， h(x)=lnx-21ax2-2x, 则 h(x)=x1-ax-2=-.122xxax函数 h(x)存在单调逆减区间，h(x)0,则 ax2+2x-10 有 x0 的理 . 当 a0 时， ax2+2x-10 总有 0 的解 . 当 a0 总有 0 的解 . 则 =4+4a0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根，此时-1a0. 综上所述 ,a的取值范围是（-1，0）（ 0，+）（2）设函数 f(x) 的图像 C1与函数 g(x) 图像 C2交于点 P、Q ，过线段 PQ的中点作x 轴的垂线分别交 C1、C2于点 M 、N，证明 C1在点 M处的切线与C2在点 N处的切线不平行。答案：证法1.设点 P、 Q 的坐标分别是（x1、y1） ， （ x2,y2）,0 x11 时， r (t)0, 所以 r(t)在1，+上单调递增，故r(t)r(1)=0. 则 lnttt1) 1(2.这与矛盾 ,假设不成立 . 故 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行,证法 1 得(x2+x1)(lnx2-lnx1)=2(x2-x1). 因为 x10,所以 (112xx)ln(112xx). 令 t=12xx,得(t+1)lnt=2(t-1),t1 令 r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t1, 则 r (t)=lnt+t1-1. 因为 (lnt-t1)=2211ttt-,所以 t1 时 ,(lnt+t1) 0.故 lnt+t1在1,+ 上单调递增 .从而 lnt+t1-10,即 r1(t)0. 于是 r(t)在1， +上单调递增 . 故 r(t)r(1)=0. 即（ t+1）lnt2(t-1). 与矛盾，假设不成立。故 C1 在点 M 处的切与C2 在点 N 处的线不平行.4 已知函数f(x)=|1-x1|,(x0) (1) 证明： 0a1; 答案：由f(a)=f(b) 得|1-a1|=|1-b1|. 若 1-a1与 1-b1同号，可得1-a1=1-b1ba这与 0ab 矛盾 . 故 1-a1与 1-b1必异号，即a1-1=1-b1ba11=2.1, 1,22abababbaab即故(2) 点 P （x0,y0）(0 x01)求曲线 y=f(x)在点 P处的线与x 轴、y 轴的正方向所围成的三角形面积表达式（用x0表示） 。答案： 0 x1时， y=f(x)=| 1-x1|=x1-1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页f (x0)=.10,1020 xx曲线 y=f(x)在点 P（x0,y0）处的切线方程为：y-y0=-201x(x-x0)即y=-.20020 xxxx切线与 x轴、 y轴、正向的交点为(x0(2-a0),0) 和（ 0，)2(100 xx）故所求三角形面积表达式为A（x0）=.)2(21)2(1)2(21200000 xxxxx命题角度 3 导数的应用1 （典型例题）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1) 求 f(x)的单调递减区间；（2）若 f(x) 在区间 -2 ，2 上最大值为20，求它在该区间上的最小值。 考场错解 （1）f (x)=-3x2+6x+9, 令 f (x)0,解得 x3, 函数 f(x) 的音调递减区间为（ - ， -1 ） （ 3，+）（2）令 f (x)=0, 得 x=-1 或 x=3 当-2x-1时,f (x)0; 当-1x0;当 x3 时， f (x)0. x=-1, 是 f(x)的极不值点，x=3 是极大值点。f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7. f(x)的最小值为f(-1)=-1+3-9+a=-14. 专家把脉 在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较大小才能产生最大（小）值点，而上面解答题直接用极大（小）值替代最大（小）值，这显然是错误的。 对症下药 （1） f (x)=-3x2+6x+9, 令 f (x)0, 解得 x3. (2) 因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(x)在-1 ，2 因为在 （-1，3）上 f (x)0,所以 f(x)在-1 ，2 上单调递增， 又由于 f(x)在-2 ，-1 上单调递减， 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间 -2 ，2 上的最大值和最小值，于是22+a=20, 解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2, 因此 ,f-1=1+3-9-2=-7 即函数 f(x) 在区间 -2 ， 2 上的最小值为 -7 。2 （典型例题）已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R上是减函数，求a 的取值范围。 考场错解 f (x)=3ax2+6x-1, 因为 f(x)在 R上是减函数， 所以 f (x)=3ax2+6x-10 对任何xR 恒成立。0123603aa解得 a0 时， f(x) 是减函数，但反之并不尽然，如f(x)=-x3是减函数， f (x)=3x2并不恒小于0， （ x=0 时 f (x)=0 ）.因此本题应该有f (x) 在 R 上恒小于或等于0。对症下药 函数 f(x) 的导数： f (x)=3x2+6x-1. 当 f (x)=3ax2+6x-10 对任何 xR 恒成立时， f(x) 在 R 上是减函数。对任何xR,3ax2+6x-10 恒成立，a0 且 =36+12a0a-3. 所以当 a-3 时，由 f (x)-3 时， f (x)=3ax2+6x-10 在 R 上至少可解得一个区间，所以当a-3 时， f(x) 是在 R上的减函数。综上，所求a 的取值范围是（-， -3 ） 。3 （典型例题）已知a R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1) 的极值点的个数。考场错解 f (x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1). 令 f (x)=0 得 x2+(a+2)x+(2a+1)=0,(*) =(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a. 当 a2-4a0,即 a4 或 a0时，方程（ * ）有两个不相等的实数根x1、x2，因此函数f(x)有两个极值点。当 a2-4a=,即 a=或 a=0 时，方程（ *）有两个相等实数根x1=x2。因此函数f(x)有一个极值点。当 a2-4a0,即 0a0 即 a4 时,方程 x2+(a+2)x+(2a+1)=0 有两个不同的实根x1、x2,不妨设 x1x2. 于是 f (x)=ex(x-x1)(x-x2),从而有下表X (-,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+ ) F (x)+ 0 - 0 + F(x) f(x1)有极大值f（x2）有极小值即此时 f(x) 有两个极值点。（2）当 =0，即 a=0 或 a=4 时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0 有两个相同的实根x1=x2于是 f (x)=ex(x1-x1)2.故当 x0; 当 xx1时， f (x)0 因此 f(x) 无极值。（3） 当 0， 即 0a0 ,f (x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0, 故 f(x) 为增函数，此时 f(x) 无极值点，因此，当a4 或 a1 时，方程f(x)=0 ，在 e-m-m,e2m-m内有两个实根。考场错解 令 f(x) 0,x ln(x+m). m ex-x m取小于或等于ex-x 的整数。 专家把脉 上面解答对题意理解错误，原题“当m为何值时， f(x) 0 恒成立”，并不是对x 的一定范围成立。因此，m ex-x 这个结果显然是错误的。 对症下药 （1）函数f(x)=x-ln(x+m),x (-m,+ )连续，且f (x)=1 -mx1,令 f (x)=0, 得x=1-m. 当-mx1-m 时， f (x)1-m 时， f (x)0,f(x) 为增函数。根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且对 x(-m,+ )都有 f(x) f(1-m)=1-m ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页故当 1-m=f(xmin) 0, 即 m 1 时， f(x)0. 即 m 1 且 m Z 时， f(x)0. (2) 证明：由（ 1）可知，当整数m1 时， f(1-m)=1-m0,又 f(x) 为连续函数，且当m1时， f(e-m-m)与 f(1-m) 异号，由所给定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m), 使 f(x1)=0,而当 m1 时，f(e2m-m)=e2m-3m(1+1)2m-3m1+2m+2)12(2mm-3m0. (m12m-11). 类似地， 当整数 m1 时，f(x)=x-ln(x+m) 在1-m,e2m-m 上为连续增函数，且 f(1-m) 与 f(e2m-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x+（ 1-m,e2m-m）使 f(x2)=0. 故当整数m1 时，方程f(x)=0 在e-m-m,e2m-m 内有两个实根。5 （典型例题）用长为90cm，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 考场错解 设容器的高为x, 容器的容积为V，则 V=（90-2x ） （48-2x ） x=4x3-276x2+4320 x V =12x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 又 x10 时， V 0,10 x0,x36 时, V 0 当 x=36 时， V有极大值V（36） 0 故 V没有最大值。 专家把脉 上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f (x) 的符号时，计算错误， x0;10 x36,V 36,V 0. 对症下药 设容器的高为x，容器的容积为V。则 V=（90-2x ） （ 48-2x ） x =4x3-276x2+4320 x (0 x24) V =12x2-552x+4320 由 V =12x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 x0,10 x36 时， V 36 时 V 0. 所以，当x=10 时 V有最大值V（ 10）=1960cm3又 V(0)=0,V(24)=0 所以当 x=10 时,V 有最大值V（10）=1960。所以该窗口的高为10cm ，容器的容积最大，最大容积是1960cm3. 专家会诊1证函数f(x) 在（ a,b ）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（ a、b）内个别点上满足f (x)=0( 或不存在但连续)其余点满足 f(x)0(或 f(x)0，则 f(x)=0有两个不相等的实x1和 x2 (x10时，函数f(x) 在(- ， +) 上有极值由 A=4m2-12m-160 得m4 ，因此，当m4时， Q是正确的综上，使 P 正确且 Q 正确时，实数m 的取值范围为(-， -1)(4，5) 6， +2 已知函数f(x)=xx27240,1 (1)求 f(x) 的单调减区间和值域；答案：对函数F(x) 求导，得f(x)=)2()72)(12()2(716422xxxxxx令 f(x)=0解得 x=21或 x=27当 x 变化时 f(x)、f(x)的变化情况如下表X (- ,x0) X0(x0+) F (x) + 0 + 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页X 0 (0, 21) 21(21,1) 1 F (X) - 0 + -27-4 -3 所以，当x(0 ，21) 时 f(x)是减函数；当 x(21，1) 时 f(x) 是增函数当 x 0，1时 f(x) 的值域为 -4， 3（2）设 a1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a,x 0,1 若对于任意x10，1，总存在 x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立，求 a 的取值范围 . 答案：对函数g(x) 求导，得g(x)=3(x2-a2) 因为 a 1 时，当 x(0，1)时， g(x)3(1-a2)0因此当x(0， 1)时， g(x) 为减函数，从而求 x0，1时有 g(x) 1-2a-3a2,-2a任给 x10，1,f(x1)-4，-3存在 x00，1使得g(x0)=f(x0)，则 1-2a-3a2，2a-4， -3即1231. 3242321aaaa解得3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1) 求函数 f(x) 的最大值；答案： 函数的定义域为(-1 ，+),f(x)=x11-1，令 f(x)=0，解得 x=0，当-1x 0，当 x0 时 f(x)0，f(0)=0 ，故当且仅当a=0 时,f(x)取得最大值，最大值为0(2) 设 0ab, 证明 0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a) 答案：g(x)=xlnx，g(x)=lnx+1，设F(x)=g(a)+g(x)-2g(2xa)则F(x)=g(x)-2g(2xa) =lnx-ln，当0 xO ，F(x)a 时， F(x)0，因此 F(x) 在(a ， +) 上为增函数从而x=a 时， F(x) 有极小值F(a) 因为 F(a)=0 ，ba所以 F(b)0 即 00，G(x)a，所以 G(b)0 即 g(a)+g(b)-2g(2xa)(b-a)ln2 4 设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8, 其中 aR, (1)若 f(x)在 x=3 处取得极值，求实数a 的值。答案：f(x)=6x2 6(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因 f(x) 在 x=3 取得极值，所以f(3)=6(3-a)(3-1)=0 ，解得 a=3经检验当a=3 时 x=3 为 f)(x) 的极值点（2）若 f(x)在（ -， 0）上为增函数，求a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页答案：令f(x)=6(x-a)(x-1)=0得 x1=a,x2=1当 a0，所以 f(x) 在(- ， a)和(1 ， +) 上为增函数故当 0 o1 时 f(x) 在(-， 0)上为增函数5 某企业有一条价值a 万元的流水生产线，要提高该流水生产线的生产能力，提高产品的增加值，就要对充水生产线进行技术改造，假设增加值y 万元与技改把风入x 万元之间的关系满足 y 与（ a-x） x2成正比例；当 x=2a时， y=23a;0)(2xax t, 其中 t 为常数且t 0,2. (1)设 y=f(x), 求出 f(x) 的表达式，并求其定义域；答案：f(x)=8a2x212x3=(0 xtta212，21t2)（2）求出增加值y 的最大值，并求出此时的技改投入x 值。答案： f(x)=16a2x-36x2，令 f(x)=0，得 x=32a，当21t1 时 f(x)=36(x2-94a2)32a) f(x) 在0，tta212上是减数，当x=tta212t 时， ymas=f(tta212)=33)21 (16tta,当 1t2 时f(x)=-36(x2-94a2)tta21232a 0 x0 ；xa32时 f(x)0 y=0 得 x=x0+0200202222xxxxS=2102022xx(x20+2) (x00) =020404441xxxS =41(3x20+4-204x) 令 S =0 得 x0=36又 0 x036时， S 0; 360. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页当 x0=36时， S最小。把 x0=36代入得l 的方程为：26x+3y-8=0. 2由原点O 向三次曲线y=x3-3ax2（a0）引切线，切于点P1（ x1,y1）(O,P1两点不重合 )，再由 P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2）(P1，P2不重合 )。如此继续下去，得到点列Pn(xn,yn)(1) 求 x1; (2) 求 xn与 xn+1满足的关系式；(3) 若 a0，试判断xn与 a 的大小关系并说明理由 解题思路 利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到xn、 xn+1的递推关系，通过递推关系求出xn 的通项公式，最后按n 为奇数和偶数两种情况的讨论可得xn与 a 的大小关系。 解答 （1）由 y=x3-3ax2, 得 y =3x2-6ax 过曲线上点P1（x1,y1）的切线L1的斜率为 3x21-6ax1. L1的方程为y-(x31-3ax21)=(3x21-6ax1)(x-x1). 又 L1过原点，故有：- （x31-3ax21） =-x1(3x21-6ax1) 2x31=3ax21, x1=23a (2) 过曲线上的点Pn+1(xn+1,yn+1) 的切线方程是y-(x3n+1-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(x-xn+1) Ln+1 过曲线上点Pn(xn,yn). 故 x3n-3ax2n-(x3n+1,-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1). 即 x3n-x3n+1-3a(x2n-x2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1). xn-xn+10, x2n+xnxn+1+x2n+1-3a(xn+xn+1)=3x2n+1-6axn+1. x2n+xnxn+1-2x2n+1-3a(xn+xn+1)=0 (xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0. xn+2xn+1=3a. (3) 由（ 2）得 xn+1=-axn2321xn+1-a=-21(xn-a) 故数列 xn-a是以 x1-a=21a 为首数，公比为-21的等比数列。xn-a=2a(-21)n-1 当 n 为偶数时， xn-a=-a(-21)n0. xn0. xna. 预测角度 2 利用导数探讨函数的单调性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页1已知 m R,研究函数f(x)=xemxmmx63) 1(32的单调区间解题思路 先求 f (x),再令 f (x)0 和 f (x)0, 只需 g(x) 的正负即可。（1）当 m=0时， g(x)=-3x-3. 当 g(x)0 时， x0 当 g(x)-1,f (x)0 当 m=0时， f (x) 的增区间为（ - ， -1 ） ，减区间为（ -1 ， +） 。（2）当 m 0 时,g(x)有两个根： x1=-m3,x2=-1. 当 mx2,在区间（ -， -1 ） (-m3,+ ) 上， g(x)0, 即 f (x)0. f(x)在（ -， -1 ） (-m3,+ ) 上是增函数。在区间（ -1，-m3）上， g(x)0 ，即 f (x)0. f(x)在（ -1 ，-m3）上是减函数。当 0m3 时， x1x2.在区间（ -， -m3）（ -1 ，+）上 g(x)0,即 f (x)0 ， f (x)0. f(x)在（ -m3，-1 ）上是增函数。m=3 时， x1=x2. 在区间 (- , -1)（ -1 ， +）上 g(x)0 ，f (x)3时 x1x2。在区间 (- , -1)（ -m3，+）上， g(x)0 ，f (x)0 ，即 f (x)0. f(x)在（ -1 ，-m3）上是增函数。2. 已知函数 f(x)=axxaxbx22234234在 x=1 处取极值，且函数 g(x)= axxaxbx2342134在区间（ a-6,2a-3）内是减函数，求a 的取值范围。 解答 f (x)=x3-bx2-(2+a)x+2a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页由 f (1)=0 得 b=1-a. f (x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a =(x-1)(x+2)(x-a) 若 a=1 时 f (x)=(x-1)2(x+2). x(-2,1) f (x)0 x (1,+ ),f (x)0.x=1 不是极值点。a1 又 b=1-a.g (x)=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1). 当 xa 时,g (x)0, g(x) 在(- ,a) 上递减，（ a-6,2a-3 ）(- ,a) a-62a-3 a,-3a 3. 综合，得a 的范围为（ -3 ，1）（ 1，3） 。3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d 是定义在R 上的函数，其图像交x 轴于 A、B、C 三点，若点B的坐标为（ 2，0） ，且f(x)在-1 ，0 和4 ，5 上有相同的单调性，在0 ，2 和4 ，5 上有相反的单调性。（1）求 C的值；（2）在函数 f(x) 的图像上是否存在一点M （x0,y0）使得 f(x)在点 M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 解题思路 根据题设条件作出f(x)的图像知 ,f(x)有两个极值点， 一个为 x=0，另一个极值点在 2 ，4 之间，借助这个结论可判定在点M处的切线的斜率能否等于3b， 解答 （1）由题意可知f(x) 在-1 ，0 和0 ， 2 上具有相反的单调性。x=0 是 f(x) 的一个极值点，故f (0)=0 。即 3ax2+2bx+c=0 有一个解为x=0c=0。（2） f(x)交 x 轴于点 B（2，0） 。8a+4b+d=0, 即 d=-4(b+2a). 令 f (x)=0 ，则 3ax2+2bx=0,x1=0,x2=ab32f(x)在0 ，2 和 4 ，5 上具有相反的单调2-ab32 4， -6 ab-3 。假设存在点M（x0,y0） ， 使得 f(x) 在点 M处的切线斜率为3b， 则 f (x0)=3b 。 即 3ax20+2bx0-3b=0 。 =（2b）2-4 3a (-3b)=4b2+36ab=4ab(ab+9) 又 -6 ab-3, 0.不存在点M （x0,y0） ，使得 f(x)在点 M处的切线斜率为3b。4已知函数f(x)=331x+21（b-1）x2+cx(b,c 为常数 ) （1）若 f(x) 在 x(-,x1)及 x（ x2+）上单调递增，且在x（ x1,x2）上单调递减，又满足 0 x2-x11.求证 b2x1, 试比较 t2+bt+c 与 x1的大小，并加以证明。 解题思路 由 f(x) 的单调性可知x1、x2是 f (x)=0的两根， x2-x11 可证明（ 1） ， （2）可用作差比较法。 解答 f(x)在 x（ -， x1）及 x（ x2,+ ）上单调递增，且在x（ x1,x2）上单调递减， x=x1或 x=x2是函数 f(x)的极值点，即f (x1)=0，f (x2)=0。f (x)=x2+(b-1)x+c. x1、x2是方程 x2+(b-1)x+c=0的两根，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页cxxbxx21211又 0 x2-x11, (x2-x1)21, 即(x1+x2)2-4x1x21. (1-b)2-4c1. b2x1,x2-x10,x1x1+10 t2+bt+cx1. 预测角度 3 利用导数求函数的极值和最值1已知函数f(x)=ax3+cx+d(a 0) 是 R上奇函数，当x=-1 时， f(x)取得极值2。（1）求 f(x) 的单调区间；（2）若对于x1、x2-1，1，不等式 |f(x1)-f(x2) |m ，求 m的最小值。 解题思路 由题设条件易求得a、b、 c 的值。因此由f (x)0 和 f (x)0 ，解得 x1 或 x-1. f (x)0 ，解得 1-x-1，试判断f(x)在0 ， 1 上的单调性；（3）是否存在a，使得当x（ 0，1）时， f(x) 有最大值 -6 。 解题思路 （1）利用函数f(x)的奇偶性可求得x（ 0，1）时， f(x)的解析式；（2）可用导数法判断； （3）分 a-1 和 a -1 两种情况讨论f(x)的最大值。 解答 （1）设 x（ 0， 1） ，则 -x-1， 0，f(-x)=-2ax+21x. f(x)是奇函数， f(x)= 2ax-21x， x（ 0，1） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页（2）f (x)=2a+32x=2(a+31x), a-1; x (0,1),31x1 a+31x0, 即 f (x)0. f(x)在（ 0，1）上是单调递增的。（3）当 a-1 时，f(x)在（0，1）单调递增， fmax（x）= f(1)=-6。 a=-25( 不合题意舍去) 当 a-1 ，令 f (x)=0 ，x=a13当 x（ -，a13）时， f (x)0 x（a13，+）时， f (x)0 x=a13时， f(x)有最大值f （a13） 。令 f(a13)=-6a=-22. 此时 x=22（ 0，1） 。存在 a=-22, 使 f(x) 在（ 0，1）上有最大值-6 。3已知 f(x)=-x3+ax, 其中 a R,g(x)=2123x, 且 f(x)g(x)在（ 0，1）上恒成立，求实数a的取值范围。 解题思路 设 F(x)=f(x)-g(x)。由 f(x) g(x) 在（ 0，1）上恒成立，即 F(x)0 在(0 ，1)上恒成立，F（xmin）0。或用分离参数法。 解答 设 F(x)=f(x)-g(x)=-x3+ax+2123xf(x) g(x)在（ 0，1）上恒立F(x)0 在（ 0，1）上的最小值。a0, x=41. 又 x(0,41)时， h (x)0.x=41时， h(x) 有最小值h(41)=-163精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页a0.3 已知函数f(x)=xx