2022年直角坐标系伸缩变换.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学问梳理：课前案学习必备欢迎下载曲线 C经过伸缩变换x'1x后的曲线方程是4x'29y'236,3 一 、直角坐标系：例 2、在同一平面直角坐标系中,y'y11、直线上点的坐标：求曲线 C的方程；22、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：例3. （ 1 ） 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 曲 线C 经 过 伸 缩 变 换x'3x后 的 曲 线 方 程 是（二）、平面上的伸缩变换：y'y1、定义：设 Px,y 是平面直角坐标系中任意一点,在变换x2 '9y2 '9,求曲线 C的方程；:x'x0y'y0的作用下,点 Px,y 对应 Px ,y 称.为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（ 1）0,0（2）把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同始终角坐标系下进行伸缩变换；（ 2）、在同一平面直角坐标系中,求直线x-2y=2 变成直线 2 'y'4的伸缩变换课中案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件,求出原图形的方程：名师归纳总结 （1）、已知点（ x,y ）经过伸缩变换x'x '3x后的点的坐标是3,4,就 x= ,y= . 例 4. 曲线 C经过伸缩变换x '1x后的曲线方程是4x'29y'236,求曲线 C的方程；第 1 页,共 15 页y '2y3（2）、已知点 x,y经过伸缩变换1x后的点的坐标是（-2 ,6）,就 x= ,y= ；y '1y22y'3y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 2 页,共 15 页课后案A. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）31将点（ 2, 3）变成点（ 3,2）的伸缩变换是（）A.x '2x B.x '3x C.x 'y D.x'x1B. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）332C. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）y'3yy '2yy 'xy'y123D. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）2.将点Px,y的横坐标伸长到原先的2 倍,纵坐标压缩为原先的1 ,得到点 P 的坐标为 39. 曲线ys i nx6经过伸缩变换x '3x后的曲线方程是；（）A.x 2,3y B.2x ,yC. 3x ,yD.x 3,2y y '2y3210. 曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是 . 3.曲线 C 经过伸缩变换xx 13y后得到曲线 C 的方程为ylog2 x2 ,就曲线 C 的11. 曲线9x24y236经过伸缩变换x '1x后的曲线方程是 . y2y '1y方程为（）A.y1 3log2 x2B.y3log2 x23C.ylog21 3x2D.ylog2 3 x2 12. 将直线x2 y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是 . 4. 把函数ysin 2x 的图像作怎样的变换能得到ysin2x3的图像（）13. 函数y12 c o sx3s i n xc o s x,1xR. 22A向左平移6 B向右平移6 C向左平移3 D向右平移3（ 1）当函数 y 取得最大值时,求自变量x 的集合；5. 将yf x 的图像横坐标伸长到原先的3 倍,纵坐标缩短到原先的1 ,就所得函数的解析式为 3（ 2）该函数的图像可由ys i n x xR 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到. （）Ay3 3 x B. y1f3 x C. y3 1x D. y1f1x 33336点x,y经过伸缩变换x '1x后的点的坐标是（-2,6）,就 x, y；2y'3y7将直线x2 y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是 . 8为了得到函数y2sinx6,xR的图像,只需将函数y2s i n x ,xR的图像上全部的点3（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1点21,经过伸缩变换x '2 x后的点的坐标是；学习必备欢迎下载3在伸缩变换x '2x与x'2x的作用下,单位圆x2y21分别变成什么图形？y'yy '2y4. 函数y3x1,经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y1？xx1点x,y经过伸缩变换x '3 x后的点的坐标是3,4,就 x, y . y'2y2将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是 . 3为得到函数y2sinx6,xR的图像,需将y2sinx,xR的图像上全部的点（）3A. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）3B. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）3C. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）D. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）4曲线ysin x6经过伸缩变换x '3x后的曲线方程是；y'2y5将曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是 . 6. 函数f x 的图像是将函数log x1的图像上各点的横坐标变为原先的1,纵坐标变为原先3的1 2而得到的,就与f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是；y '3y名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 5 页,共 15 页问题一：（1）点（ 2,-3 ）经过伸缩变换x'1x后的点的坐标是；4. 函数y3x1,经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y1？xx2y'y解：分析：可考虑先伸缩,再平移；也可考虑先平移,再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩；1方法一、（先伸缩,再平移）3y伸长到原先的3 倍：1 3y3x1得y33 x1解：变式 1（ 1,-1 ）；xx（2）点x,y经过伸缩变换x '1x后的点的坐标是（-2 ,6）,就 x, y；x 伸长到原先的3 倍：y3 1 x 33 1 x 31xx11x11得y1x112y '3y向左平移1 个单位,再向下平移1 个单位：y11x11得y1；解：变式 2x4 y21x问题二：（1）曲线9x24y236经过伸缩变换x'1x后的曲线方程是x '2y'21 . 方法二、 先平移,再伸缩 向左平移1 3个单位 : y3x1111得y1123 1 31y'yx39x39x3（ 2）曲线C 经过伸缩变换x'1x后的曲线方程是4x'29y'236,就曲线C 的方程是再向下平移1 3个单位：y111得y1339x9x3x 伸长到原先的9 倍：y91x11y 'y1x29x'2y'21 . 方法三、（平移与伸缩的交替运用）x 伸长到原先的3 倍：y31 x 31 x 311x得3yxx11x1131点21,经过伸缩变换x '2 x后的点的坐标是,3 ；x1向左平移1 个单位：3y1x1111y '3y1x3在伸缩变换x'2x与伸缩变换x'2x的作用下,单位圆x2y21分别变成什么图形？y 伸长到原先的3 倍：31y11得y11y'yy'2y3xx向下平移1 个单位：y111得y1解：在x'2x的作用下,单位圆变成椭圆x'2y'21；在x '2x的作用下,单位圆变成圆xxy'y4y '2y评注：这是一道培育发散思维才能的好题；x'2y'24；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,五,作业3 x后的点的坐标是3,4 ,就 x . xxR学习必备欢迎下载而得到的,就与f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是；的1 21点x,y经过伸缩变换x ',解：ylog x1以 3 , 2 y 分别代,x y 得2yl o g 31 y '2y1 log 3 2x1有f x 1log 3x1,它的图像关于原点对称的图像的解析式是yy2.2x'y'4的伸缩变换是x'x的图像上全部的点y2y1 log 1 23 2将直线x2 y2变成直线y'4y3为了得到函数y2sinx6,xR的图像, 只需将函数x ,y2sin3（C ）名师归纳总结 A. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）3典例剖析3 倍后的点的坐标：第 6 页,共 15 页【例 1】：求以下点经过横坐标变为原先的2 倍,纵坐标变为原先的B. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）3（ 1） （1,2）；（2） （-2 ,-1 ）. x '2x后的图形：【例 1】解：（ 1）（2,6）；（ 2）（-4 ,-3 ）. C.向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）【变式与拓展1】D.向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）4曲线ysinx6经过伸缩变换x'3x后的曲线方程是y '2sinx '6；【例 2】：在平面直角坐标系中,求以下方程所对应的图形经过伸缩变换y '3yy'2y3（ 1）2x3y0；（2）x2y21. 【例 2】解：（ 1）x ' y'0；（2）x '2y'215将曲线x2y22x0变成曲线x '216y'24x'0的伸缩变换是x'2x . 49y'1 2y6. 函数f x 的图像是将函数log x1的图像上各点的横坐标变为原先的1,纵坐标变为原先3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标压缩变换：学习必备欢迎下载xxx ,0 ,可将其代入其次个方程,得2xy4,与x2 y2比分析：设变换为yy ,0 ,较,将其变成24y4,比较系数得,14.4 倍【解】 1x yx,直线x2 y2图象上全部点的横坐标不变,纵机坐标扩大到原先的4y可得到直线2xy4；达标检测设 Px,y是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标x 缩为原先1/2,得到A2点x ,y经过伸缩变换x'1x后的点的坐标是（-2,6）,就 x2x, y；点 Px ,y 坐标对应关系为：x''1 x2y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换；2yy'3y后的图形：摸索 2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sinx. 写出其坐标变换；A4将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是 . 设 Px,y是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x 不变,将纵坐标y 伸长为原先3 倍,B6. 在平面直角坐标系中,求以下方程所对应的图形经过伸缩变换x'x'xy'3y得到点 Px ,y 坐标对应关系为：y'3y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换；（ 1）2x3y0；摸索 3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x. 写出其坐标变换；（ 2）x2y21.老城高中高二数学选修4-4 导学案编号：1.2.1极坐标系的的概念名师归纳总结 定义：设 Px,y 是平面直角坐标系中任意一点,在变换:' xx ,y0 的作用下, 点 Px,y情境 2：如图为某校内的平面示意图,假设某同学在教学楼处；M,x第 9 页,共 15 页y'y ,0 （ 1）他向东偏60° 方向走 120M后到达什么位置？该位置唯独确定吗？对应 Px ,y . 称为平面直角坐标系中的伸缩变换；（ 2）假如有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述？【典型例题】在同始终角坐标系中,求满意以下图形变换的伸缩变换；问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢？将直线x2 y2变成直线2xy4,问题 2：如何刻画这些点的位置？二、新课导学O- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载 探究新知 （预习教材 P8P10,找出疑问之处）一般地, 由yxx y,所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为向着 y 轴的伸缩变换 当>11、如右图,在平面内取一个O ,叫做；自极点 O引一条射线 Ox ,叫做；再选定一个,一个（通常取）及其（通常取方向）,这样就建立了一个；时,表示伸长；当<1 时,表示压缩 ,即曲线上全部点的纵坐标不变,横坐标变为原先的倍2、设 M 是平面内一点, 极点 O 与 M 的距离| OM|叫做点 M 的,记为；以极轴 Ox 这里P x ,y是变换前的点,Px,y是变换后的点 . 同理,由xyxy,所确定的伸为 始边, 射线 OM 为 终边 的角 x O M叫 做点 M的,记为；有序数对叫做点 M缩变换, 是按伸缩系数为向着 x 轴的伸缩变换 当>1 时,表示伸长； 当<1 时,表示压缩 ,的,记作；3、摸索：直角坐标系与极坐标系有何异同？即曲线上全部点的横坐标不变,纵坐标变为原先的倍 这里P x ,y 是变换前的点,_. 应用示例Px,y是变换后的点 . 由x yx y,所确定的伸缩变换,是按伸缩系数向着 x 轴和按例题 1：1写出图中 A,B,C,D,E,F,G各点的极坐标,002. （2）：摸索以下问题,给出解答；伸缩系数向着 y 轴的伸缩变换 当1时,表示伸长,1时,表示压缩；当1时,平面上一点的极坐标是否唯独？如不唯独,那有多表示伸长, 当<1 时,表示压缩 ,即曲线上全部点的横坐标和纵坐标分别变为原先的倍和少种表示方法？坐标不唯独是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？倍 这里P x ,y 是变换前的点,Px,y是变换后的点 . 此题点 G 的极坐标统一表达式；答：问题一：（1）求点（ 2, -3 ）经过伸缩变换x'1x后的点的坐标；2 反馈练习y'1y在下面的极坐标系里描出以下各点A 3,0B6, 2 C3,23D5,4E3,5F4,36（ 2）点x,y经过伸缩变换x '1x后的点的坐标是（-2 ,6）,求点x,y G6,523y '3yOX小结：在平面直角坐标系中,一个点对应个坐标表示, 一个直角坐标对应个点； 极坐标第 10 页,共 15 页系里的点的极坐标有种表示,但每个极坐标只能对应个点；三、总结提升2.有关曲线伸缩变换的一般性结论：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 问题二：（1）求曲线9x24y236经过伸缩变换x'1x后的曲线方程；学习必备欢迎下载4. 函数y3x1,经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y1？xx2y'y,五,作业11点x,y经过伸缩变换x '3 x后的点的坐标是3,4,就 x, y . 3y'2y（2）曲线 C经过伸缩变换x'1x后的曲线方程是4x'29y'236,求曲线 C的方程；2将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是 . 3为得到函数y2sinx6,xR的图像,需将y2sinx,xR的图像上全部的点（）33y'1yA. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）321一般地,由kx = x' ,所确定的伸缩变换,是伸缩系数为k 向着 y 轴的伸缩变换；B. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）3C. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）y = y'当 k > 1 时,表示伸长；当k < 1 时,表示压缩,即曲线上全部的点的纵坐标不变,横坐标变D. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）为原先的k 倍；这里 P（x, y是变换前的点,P'x' ,y'是变换后的点；2同样由x = x' ,所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着 x 轴的伸缩变换；4曲线ysin x6经过伸缩变换x '3x后的曲线方程是；ky = y'y'2y4,我生成的问题：三,我的收成：本节课的学问结构、学到的方法、易错点5将曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是 . 四,课堂检测：1点21,经过伸缩变换x '2 x后的点的坐标是；6. 函数f x 的图像是将函数log x1的图像上各点的横坐标变为原先的1,纵坐标变为原先y '3y32将点（ 2, 3）变成点（ 3,2）的伸缩变换是（）的1 2而得到的,就与f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是；A.x'2x B.x'3x C.x 'y D.x 'x132y'3yy'2yy 'xy 'y1问题一：（1）点（ 2,-3 ）经过伸缩变换x '1x后的点的坐标是；233在伸缩变换x'2x与x '2x的作用下,单位圆x2y21分别变成什么图形？y'yy '2y2y'1y3第 11 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载解：变式 1（ 1,-1 ）；1点21,经过伸缩变换x '2x后的点的坐标是,3 ；（2）点x,y经过伸缩变换x '1x后的点的坐标是（-2 ,6）,就 x, y；y'3y2将点（ 2,3）变成点（ 3,2）的伸缩变换是（B ）2y '3yA.x '2x B.x '3x32解：变式 2x4 y2y'3yy'2y问题二：（1）曲线9x24y236经过伸缩变换x'1x后的曲线方程是x '2y'21 . 23C.x 'y D.x 'x12y'1yy 'xy'y133在伸缩变换x '2x与伸缩变换x'2x的作用下,单位圆x2y21分别变成什么图形？（ 2）曲线C 经过伸缩变换x'1x后的曲线方程是4x'29y'236,就曲线C 的方程是y'yy'2y3y 'y解：在x '2x的作用下,单位圆变成椭圆x'2y'21；在x'2x的作用下,单位圆变成圆1y'y4y'2y2x '2y'24；x'2y'21 . 4. 函数y3x1,经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y1？1一般地,由kx = x' ,y = y'xx解：分析：可考虑先伸缩,再平移；也可考虑先平移,再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩；方法一、（先伸缩,再平移）所确定的伸缩变换,是伸缩系数为k 向着 y 轴的伸缩变换；y伸长到原先的3 倍：1 3y3x1得y33 x1当 k > 1 时,表示伸长；当k < 1 时,表示压缩,即曲线上全部的点的纵坐标不变,横坐标变xx为原先的k 倍；x 伸长到原先的3 倍：y3 1 x 33 1 x 31xx11x11得y1x11这里 P（ x,y是变换前的点,P'x' ,y'是变换后的点；2同样由x = x' ,所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着 x 轴的伸缩变换；ky = y'向左平移1 个单位,再向下平移1 个单位：y11x11得y1；4,我生成的问题：1x三,我的收成：本节课的学问结构、学到的方法、易错点方法二、 先平移,再伸缩 向左平移1 3个单位 : y3x1111得y113 1 3四,课堂检测：x39x39x第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再向下平移1 3个单位：y111得y11x11 . xxR学习必备欢迎下载A. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）3339x9xx 伸长到原先的9 倍：y91x 1B. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）31x9C. 向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）方法三、（平移与伸缩的交替运用）x 伸长到原先的3 倍：y1 x33 1 x 311x得3yxx1D. 向右平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原先的3 倍（纵坐标不变）3 x14曲线ysin x6经过伸缩变换x '3x后的曲线方程是y'2sinx'6；y'2y3向左平移 1 个单位：3y1x11111xy 伸长到原先的3 倍：31y 11得y113xx,就 x,x '2x向下平移 1 个单位：y111得y15将曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是y '1y . xx2评注：这是一道培育发散思维才能的好题；6. 函数f x 的图像是将函数log x1的图像上各点的横坐标变为原先的1,纵坐标变为原先3,五,作业的1 2而得到的,就与f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是；1点x,y经过伸缩变换x '3 x后的点的坐标是3,4 解：ylog x1以 3 , 2 y 分别代,x y 得2yl o g 31 y '2yy1 log 3 2x1有f x 1log 3x1,它的图像关于原点对称的图像的解析式是2yy2.y1 log 1 23 x'x2将直线x2 y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是y'4y3为了得到函数y2sinx6,xR的图像, 只需将函数y2sinx ,的图像上全部的点典例剖析3（C ）名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 1】：求以下点经过横坐标变为原先的2 倍,纵坐标变为原先的3 倍后的点的坐标：学习必备欢迎下载（1） （1,2）；（2） （-2 ,-1 ）. 【例 1】解：（1）（2,6）；（2）（-4 ,-3 ）. 【变式与拓展 1】名师归纳总结 【例 2】：在平面直角坐标系中,求以下方程所对应的图形经过伸缩变换x '2 x后的图形：5.将对数函数ylog3x曲线的横坐标拉伸为原先的2 倍,第 14 页,共 15 页y '3 y（1）2x3y0；（ 2）x2y21. 求所得曲线的方程. 【例 2】