2022年直线与方程知识点归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向 与直线 l 向上方向 之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 . 特殊地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 = 0 ° . 2、 倾斜角 的取值范畴：3、直线的斜率 : 0° 180° . 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 ° . 一条直线的倾斜角 90° 的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , =0° , k = tan0° =0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 ° , k 不存在 . 由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 肯定存在 , 但是斜率 k 不肯定存在 .4、 直线的斜率公式 : 给定两点 P1x1,y1,P2x2,y2,x 1 x2, 用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式 : k=y 2-y 1/x 2-x 1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合,假如它们平行,那么它们的斜率相等；反之,假如它们的斜率相等,那么它们平行,即（充要条件）留意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提, 结论并不成立即假如 k1=k2, 那么肯定有 l 1 l 22、两条直线都有斜率,假如它们相互垂直,那么它们的斜率互为负倒数；反之,假如它们的斜率互为负倒数,那么它们相互垂直,即k k21l1l （充要条件）kxx 03.2.1 直线的点斜式方程1、直线的 点斜式 方程：直线 l 经过点P 0x 0,y 0,且斜率为 kyy02、直线的 斜截式 方程：已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为0 ,bykxb3.2.2 直线的两点式方程x 2,y 1y21 、 直 线 的 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点P 1x 1,x 2,P 2x2,y2其 中x 1y-y1/y-y2=x-x 1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线yl 与 x 轴的交点为Aa, 0 ,与 y 轴的交点为B0 ,b ,其中a0 b0的二元一次方程AxByC0（ A, B 不同时为 0）3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,2、各种直线方程之间的互化；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3.3 直线的交点坐标与距离公式PP 2y 2y 12 x 2x 123.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0 解：解方程组L2：2x+y +2=0 3x4 y202x2 y20得 x=-2 , y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M （-2,2）3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式 1点到直线距离公式：点Px0y 0到直线l:AxByC0的距离为：dAx 0A2By 02CB2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线01l 和2l的一般式方程为1l ：AxByC 10,2lAxByC2,就1l与2l的距离为dC 1C2A2B2名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基础练习一挑选题60°的直线方程是 1经过点 3,2,倾斜角为Ay23x3 By23 3 x3 Cy23x3 Dy23 3 x3 答案： C 2如下图所示,方程yax1 a表示的直线可能是 答案： B 3已知直线l 1：y kxb,l2：ybxk,就它们的图象可能为 答案： C 4经过原点,且倾斜角是直线2x y2 2 x1 倾斜角 2 倍的直线是 Ax0 By0 Cy2x Dy2答案： D 名师归纳总结 5欲使直线 m 2xy3 0与直线 3m2xy10 平行,就实数 m 的值是 第 3 页,共 44 页A1 B2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C3 D不存在学习必备欢迎下载解析：把直线化为斜截式,得出斜率,通过直线平行的条件运算答案： B 6直线 ykx 23 必过定点,该定点为 A3,2 B 2,3 C2, 3 D 2,3 解析：直线方程改写为 答案： B y3 kx2,就过定点 2,37如直线 m2x m22m3y2m 在 x 轴上的截距是3,就 m 的值是 A.2B6 5C2D 6 5解析：令 y0,得 m2x2m,将 x3 代入得 m 6,应选 D. 答案： D 8过 P12,0,P20,3两点的直线方程是 A.3y 21 B.x 2 y 31 C.x 3y 21 D.x 2 y 31 答案： B 9直线x a 2y b 2 1 在 y 轴上的截距为 D b2A|b| B±b 2 C b答案： D 10以下四个命题中是真命题的是 A经过定点 P0x 0,y0的直线都可以用方程 yy0 kxx0表示 B经过任意两个不同的点 P1x 1,y1,P2x 2,y2的直线都可以用方程 yy 1 ·x 2x1x x1 ·y 2y1表示C不经过原点的直线都可以用方程 x ay b1 表示D经过定点 A0 ,b的直线都可以用方程 ykx b 表示 答案： B 名师归纳总结 11直线 axby1a, b 0与两坐标轴围成的三角形的面积是 第 4 页,共 44 页A.1 2ab B. 1 2|ab| C.1D.12ab2|ab|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载S1 211 |b|1 2|ab|. 解析：直线 axby 1 可化为xy1,故其围成的三角形的面积为1 1|a|ab答案： D 12过点 1,3且垂直于直线x2y30 的直线方程为 A2xy10 B2x y50 Cx2y50 Dx2y70 答案： A 13直线 l 1：xay60 与 l2：a2x 3y2a0 平行,就 a 的值等于 A 1 或 3 B1 或 3 C 3 D 1 解析：由题意,两直线斜率存在,由 l1 l 2 知 a 2 1a 32a, a 1 6答案： D 14直线 3x 2y40 的截距式方程是 A.3x 4y 41 B.xy 14 132C. 3x 4 y2 1 D.xy21 43答案： D 15已知点 A1,2 , B3,1,就线段 AB 的垂直平分线的方程是 A4x2y5 B4x 2y5 Cx2y5 Dx2y5 名师归纳总结 解析： kAB12 311 2,由 k·k AB 1 得 k2. 第 5 页,共 44 页由中点坐标公式得x13 22,y21 23 2,中点坐标为2,3 2 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由点斜式方程得学习必备欢迎下载y32x2,即 4x 2y5. 2答案： B 16直线 a2x1ay30 与a1x 2a3y20 相互垂直,就a A 1 B1 C±1 D32解析：由 a2a11a2a30 化简得 1a 20, a±1. 答案： C 17直线 l 的方程为 Ax By C 0,如直线 l 过原点和二、四象限,就 AC0,B>0 BA>0 ,B>0, C0 CAB<0 ,C0 DAB>0 ,C0 答案： D 18 直线的截距式方程ay b 1 化为斜截式方程为y 2xb,化为一般式方程为bxay80.求 a,b 的值（）解析：由x ay b1,化得yb ax b 2xb,又可化得：bx ayabbxay80,就b a2,且 ab 8. 解得 a 2,b4 或 a 2,b 4. 19直线 x2y20 与直线 2xy 30 的交点坐标为 A4,1 B1,4 C. 3, 1 D. 3,4答案： C 20已知两直线 a1xb1y10 和 a2x b2y10 的交点是 P2,3,就过两点 Q1a1,b1,Q2a2,b2的直线方程是 A3x2y0 B2x3y 50 C2x 3y1 0 D3x2y 10 答案： C 名师归纳总结 21两直线 3axy20 和2a1x5ay10 分别过定点A,B,就|AB|等于 第 6 页,共 44 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.89B.17 5学习必备欢迎下载C.13 5D.11 55解析：易知 A0 , 2,B 1,2 5,|AB| 13 5 . 答案： C 22设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上, AB 的中点是 P2, 1,就 |AB|等于 A5 B4 2 C2 5 D2 10 |AB|解析：设 Ax,0 ,B0,y,由中点公式得x4,y 2,就由两点间的距离公式得042202202 5. 答案： C 23已知 M1,0 ,N 1,0,点 P 在直线 2xy10 上移动,就 |PM| 2|PN| 2 的最小值为 _答案： 2.4 24已知点 3,m到直线 x3y40 的距离等于1,就 m 等于 A.3 B3 C3D.3或333解析：|33m4|1,解得 m23或3 3 . 答案： D 25两平行线ykxb1与 ykxb2之间的距离是 Ab1b2B.|b1b2|1k2C|b1 b2| Db2 b1解析：两直线方程可化为d|b1b2| 2. 1k 答案： B kxyb10,kxyb20. 26过点 1,2且与原点距离最大的直线方程是 Ax2y50 B2xy4 0 Cx3y70 D3xy5 0 解析：所求为过 A1,2 ,且垂直 OA 的直线,k1 2,y21 2x 1,即 x2y50. 答案： A 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 27点 Pmn, m到直线x m学习必备欢迎下载 y 1 的距离等于 nA. m 2n 2B. m 2n 2C. n 2m 2D. m 2±n 2解析：直线方程可化为 nxmymn 0,故 d| mnm nm2n 2 2mn|mnnm 2m2n 2mn|2m 2n 2. 答案： A 28已知直线3x2y30 和 6xmy10 相互平行,就它们之间的距离是 A4 B.2 13 13C. 5 2613 D. 7 2613 解析：由题意m 4,就 d|61| 36 167 527713 26 . 2 13答案： D 29垂直于直线 x3y10 且到原点的距离等于 5 的直线方程是 _解析：由题意,可设所求直线方程为 3xy c0,就|c| 2 5. |c| 10,即 c±10. 答案：3xy100 或3xy100 2y2 的最小值是 30点 Px,y在直线 xy40 上,就 xD16 A8 B 2 2 C. 2 答案： A 31到直线 3x4y10 的距离为 2 的直线方程为 A3x4y110 B3x 4x9 0 C3x 4y110 或 3x4y90 D3x4y110 或 3x4y90 答案： C 强化练习名师归纳总结 一挑选题y 轴上的截距分别是 第 8 页,共 44 页1直线 y 2x3 的斜率和在A 2,3 B3, 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C 2, 2 学习必备欢迎下载D3,3 答案 A 2过点 1,3且斜率不存在的直线方程为Ax1 Bx3 Cy1 Dy3 答案 A 3方程 y y0 kxx0 A可以表示任何直线B不能表示过原点的直线C不能表示与 y 轴垂直的直线D不能表示与 x 轴垂直的直线答案 D 解析 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线,即不能表示与 x 轴垂直的直线4已知两条直线 yax2 和 y2ax1 相互平行,就 a 等于 A2 B1 C0 D 1 答案 B 解析 依据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是 k1a,k22a.两直线平行,就有 k1k2. 所以 a2 a,解得 a1. 名师归纳总结 5方程 y ax1 a表示的直线可能是 第 9 页,共 44 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 B 学习必备欢迎下载解析 直线 yax1a的斜率是 a,在 y 轴上的截距是1 a.当 a>0 时,斜率 a>0,在 y 轴上的截距是1 a>0,就直线 yax1a过第一、二、三象限,四个选项都不符合；当 a<0 时,斜率 a<0,在 y 轴上的截距是1 a<0,就直线 yax1a过其次、三、四象限,仅有选项 B 符合6与直线 y 2x3 平行,且与直线 y 3x4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是 1Ay 2x4 By2x4 8 1 8Cy 2x3 Dy2x3答案 C 4解析 y3x4 与 x 轴交点为 3, 0,又与直线 y 2x3 平行,名师归纳总结 故所求直线方程为y 2x4 3 135°,就直线 l 在 y 轴上的截距是 第 10 页,共 44 页即 y 2x8 3应选 C. 7直线 l：y1kx2的倾斜角为A1 B 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C. 2 2学习必备欢迎下载D 2 答案 B 135°,解析 倾斜角为ktan135° tan45 ° 1,直线 l ：y1 x2,令 x 0 得 y 1. 8等边 PQR 中, P0,0、 Q4,0,且 R 在第四象限内,就分别为 Ay±3xBy±3x4 Cy3x 和 y3x4 Dy3x 和 y3x4 答案 D 解析 直线 PR,RQ 的倾斜角分别为 120°,60°,斜率分别为3,3.数形结合得出9过 x1,y1和x2,y2两点的直线方程是 A. y2y1 y y1x x1x2x1B. y2 y1 yy1x x2x1x2Cy2y1xx1x2x1yy10 Dx2x1xx1y2y1yy10 答案 C 2 B b10直线x a 2y b 21 在 y 轴上的截距是 A|b| Cb2D±b答案 C 11直线ay b1 过一、二、三象限,就PR 和 QR 所在直线的方程名师归纳总结 Aa>0, b>0 Ba>0,b<0 第 11 页,共 44 页Ca<0,b>0 Da<0,b<0 答案 C 1220222022 ·邯郸高一检测 以下说法正确选项 A.yy1 xx1k 是过点 x1,y1且斜率为k 的直线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B在 x 轴和 y 轴上的截距分别是学习必备欢迎下载y 1 ba、b 的直线方程为x aC直线 ykxb 与 y 轴的交点到原点的距离是 bD不与坐标轴平行或重合的直线方程肯定可以写成两点式或斜截式答案 D 13已知ABC 三顶点 A1,2,B3,6, C5,2,M 为 AB 中点, N 为 AC 中点,就中位线 MN 所在直线方程为 A2xy80 B2xy80 C2xy120 D2xy120 答案 A 解析 点 M 的坐标为 2,4,点 N 的坐标为 3,2,由两点式方程得 42 y2x323,即 2xy80. 14过两点 1,1和3,9的直线在 x 轴上的截距为 3 2A2 B3C.2 5 D2 答案 A 解析 直线方程为 y919x313,化为截距式为3 xy 31,就在 x 轴上的截距为32. 215已知 2x13y1 4,2x23y24,就过点 Ax1,y1,Bx2,y2的直线 l 的方程是 A2x3y4 B2x3y0 C3x2y4 D3x2y0 答案 A 解析 x1,y1满意方程 2x13y14,就 x1,y1在直线 2x3y 4 上同理 x2,y2也在直线 2x3y 4 上由两点打算一条直线,故过点 是 2x3y4. Ax1,y1, Bx2,y2的直线 l 的方程名师归纳总结 点评 利用直线的截距式求直线的方程时,需要考虑截距是否为零第 12 页,共 44 页16过 P4, 3且在坐标轴上截距相等的直线有 A1 条B2 条C3 条D4 条答案 B 解析 解法一：设直线方程为y3kx4k 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载令 y0 得 x34k,令 x0 得 y 4k3. k由题意,34kk 4k 3,解得 k3 4或 k 1. 因而所求直线有两条,应选 B. 解法二： 当直线过原点时明显符合条件,当直线不过原点时,设直线在坐标轴上截距为a,0,0,a,a 0,就直线方程为 ay a 1,把点 P4, 3的坐标代入方程得 a1. 所求直线有两条,应选 B. 17在 x 轴与 y 轴上的截距分别是2 与 3 的直线方程是 A2x3y60 B3x2y60 C3x2y60 D2x3y60 答案 C 解析 由于直线在 x 轴, y 轴上的截距分别为2,3,由直线方程的截距式得直线方程为x2y 31,即 3x2y 60. 18如直线 l 的一般式方程为 2xy10,就直线 l 不经过 A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限答案 D 19以下各组中的两条直线平行的有 12xy110,x 3y180 22x3y40,4x6y80 33x4y70,12x16y 70 A0 组 B1 组C2 组 D3 组答案 B 解析 第一组相交,其次组重合,第三组平行,应选 B. 20如直线 x2ay10 与a1x ay10 平行,就 a 的值为 A.1 2 B.1 2或 0 C0 D 2 答案 B 解析 由已知得 1× a2aa10,即 2a 2a0,解得 a0 或1 2,应选 B. 21直线 3ax2a1y70 与直线 2a 1xa5y60 相互垂直, 就 a 值是名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1 1A3 B. 7C.1 2 D.1 5答案 B 1解析 由3a2a12a1a 5 0 得 a7. 22直线 l 过点 1,2且与直线 2x3y40 垂直,就 l 的方程是 A3x2y10 B3x2y70 C2x3y50 D2x3y80 答案 A 解析 由直线 l 与直线 2x3y40 垂直,可知直线 l 的斜率是3 2,由点斜式可得直线 l 的方程为 y23 2x1,即 3x2y10. 23直线 l 1：ax yb0, l2：bxya0ab 0的图像只可能是下图中的 答案 B 解析 l1：yax b,l2：y bxa,在 A 选项中,由l 1 的图像知a>0,b<0,判知l 2的图像不符合 在 B 选项中, 由 l1的图像知 a>0,b<0,判知 l2的图像符合, 在 C 选项中,由 l1 知 a<0,b>0, b<0,排除 C；在 D 选项中,由 D.所以应选 B. l1 知 a<0,b<0,由 l 2 知 a>0,排除名师归纳总结 24直线 l 的方程为 AxBy C0,如 l 过原点和二、四象限,就 第 14 页,共 44 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.C0学习必备欢迎下载C0B.B0B0A0名师归纳总结 C.C0D.C0 第 15 页,共 44 页AB 0AB0答案 D 解析 l 过原点, C0,又 l 过二、四象限,l 的斜率A B<0,即 AB>0. 25直线3xy0 与 xy 0 的位置关系是 A相交B平行C重合D垂直答案 A 解析 A1B2A2B13× 11× 13 1 0,又 A1A2B1B23× 11× 131 0,就这两条直线相交,但不垂直26直线 2x3y8 0 和直线 xy 10 的交点坐标是 A2, 1 B1, 2 C1,2 D2,1 答案 B 解析 解方程组2x3y80,xy10,得x 1,即交点坐标是 1, 2y 2,27直线 ax3y5 0 经过点 2,1,就 a 的值等于 A2 B1 C0 D 1 答案 B 解析 由题意得 2a350,解得 a1. 28如三条直线2x3y80,xy 1,和 xky0 相交于一点, 就 k 的值等于 A 2 B12C2 D.12答案 B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 由xy1学习必备欢迎下载得交点 1, 2,2x3y8 0代入 xky0 得 k1 2,应选 B. 29直线 kx y13k,当 k 变动时,全部直线都通过定点 A0,0 B0,1 C3,1 D2,1 答案 C 解析 方程可化为 y1kx3,即直线都通过定点 3,130已知点 M0, 1,点 N 在直线 xy10 上,如直线 MN 垂直于直线 x2y30,就 N 点的坐标是 A2, 3 B2,1 C2,3 D2, 1 答案 C 解析 将 A、B、C、D 四个选项代入 xy 10 否定 A、 B,又 MN 与 x2y30垂直,否定 D,应选 C. 31过两直线 3xy10 与 x2y70 的交点, 并且与第一条直线垂直的直线方程是 Bx3y130 Ax3y70 C2xy70 D3xy50 答案 B 解析 由3xy10,得交点 1,4x2y70,所求直线与3xy 10 垂直,所求直线斜率k1 3, y41 3x1,即 x3y130. 名师归纳总结 32已知直线 mx4y20 与 2x 5yn 0 相互垂直,垂足为1,p,就 mnp 为第 16 页,共 44 页 A24 B20 C0 D 4 答案 B 解析 两直线相互垂直, k1·k2 1, m 4·2 5 1, m10.又垂足为 1,p,代入直线10x4y20 得 p 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载将1, 2代入直线 2x5yn0 得 n 12, m np20. 33已知点 Aa,0,Bb,0,就 A,B 两点间的距离为 Aab BbaC. a 2 b2 D|ab| 答案 D 解析 代入两点间距离公式34一条平行于 x 轴的线段长是 5 个单位,它的一个端点是 A2,1,就它的另一个端点B 的坐标是 A3,1或7,1 B2, 3或2,7 C3,1或5,1 D2, 3或2,5 答案 A 解析 AB x 轴,设 Ba,1,又 |AB|5, a 3 或 7. 35已知 A5,2a1,Ba 1,a4,当 |AB|取最小值时,实数 a 的值是 A7 2 B1 21 7C. 2 D. 2答案 C 解析 |AB|a4 2 a3 22a 22a252 a1 2 249 2,当 a1 2时,|AB|取最小值36设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上, AB 的中点是 P2, 1,就 |AB|等于 A5 B4 2 C2 5 D2 10 答案 C 解析 设 Ax,0、B0,y,由中点公式得 x4,y 2,就由两点间的距离公式得 |AB|04 2 20 2202 5. 37 ABC 三个顶点的坐标分别为 A4, 4、 B2,2 、C4, 2,就三角形 AB 边上的中线长为 A. 26 B. 65 C. 29 D. 13 答案 A 解析 AB 的中点 D 的坐标为 D 1, 1|CD |14 2 1 2 226；应选 A. 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载38已知三点 A3,2,B0,5,C4,6,就 ABC 的外形是 A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案 C 解析 |AB|30 2 25 23 2,|BC|04 2 56 217,|AC|34 2 26 217,|AC|BC| |AB|,且|AB| 2 |AC| 2 |BC| 2. ABC 是等腰三角形,不是直角三角形,也不是等边三角形39两直线 3axy20 和2a1x5ay1 0 分别过定点A、B,就 |AB|等于 A.89B.17 5513 C. 5D.115答案 C 解析 易得